分层非线性声学超材料中的光声模式耦合

《TRANSPORTATION RESEARCH PART E-LOGISTICS AND TRANSPORTATION REVIEW》：Optical-acoustic mode coupling in a hierarchical nonlinear acoustic metamaterial

　　摘要：局部共振的非线性声学超材料能够实现低频控制并扩展带宽，但许多此类设计具有窄带宽、可调性及稳定性有限的问题，同时还存在低频与厚度之间的权衡。为解决这些限制，本研究采用林德斯特德-庞加莱近似分析方法与数值模拟，研究了具有弱非线性的二维向内结构分层超材料中的波传播现象；分析模型用于描述声学分支和第一光学分支，而第二光学分支则通过数值方法进行表征。频谱空间分析揭示了声学分支与光学分支之间的耦合效应，从而拓宽了有效带宽。从色散关系可知，链式结构的硬化/软化作用主要会影响声学分支和第二光学分支的频率位置，而谐振器非线性则主要调控光学分支的频率；第一光学分支对链式非线性几乎不敏感。与这些变化相对应，在硬化非线性作用下，链结构会产生类孤子波包和色散波包，而在软化作用下，波传播则以色散为主。最后，通过数值研究两种无源、时不变的二极管结构，证明了分层结构所实现的光学-声学模式耦合能够产生方向依赖的传输特性，并存在效率与隔离度之间的权衡。这些结果表明，基于分层结构的光学-声学耦合可能为宽带波控技术以及方向选择性器件设计提供一种无源解决方案，其在能量传输和传感应用领域具有潜在应用价值。

引言：受光子晶体的启发，声子晶体以及局部共振声学超材料都是由带内部谐振器的单元格链构成的亚波长结构。它们的行为源于两种机制：一是布拉格散射，当晶格周期与波长相当时会产生能隙[1]、[2]；二是局部共振，通过可调谐的谐振器形成低频阻带，从而实现亚波长控制[3]、[4]。这类材料可应用于声学与振动绝缘[5]、[6]、吸音[7]、隐身[8]、传感[9]、[10]以及拓扑绝缘体领域[11]。此外，近期研究还利用结构不对称性来实现：一是通过热调控改变损耗和共振特性，以实现方向依赖的波传播[12]；二是通过交错排列的谐振器耦合与特殊点调制实现可切换的双向吸声功能[13]；三是设计出具有强跨域耦合特性的多功能结构材料[14]。然而，现有大多数研究都采用线性假设，这往往导致带宽较窄，且性能严重依赖于谐振器与宿主结构的质量比。为将声学超材料的性能提升至线性范围之外，人们开始在超材料中引入非线性效应[15]、[16]、[17]。非线性可以引入到内部谐振器中[18]、宿主链结构中[19]、[20]，或同时引入到两者之中[21]。非线性的来源会导致结构出现不同的光谱特性：宿主链中的非线性主要影响短波长区域的波行为，谐振器非线性则导致长波长区域的响应变化，而将链结构中的非线性与多个谐振器结合则会对两个区域都产生影响。这类非线性结构能够实现幅度依赖的传输特性[22]、产生孤子波包和色散波包[17]，以及非互易性[23]、[24]。例如，非线性谐振器可以扩大阻带宽度并实现准静态能隙可调，而强非线性晶格则可以支持多种类型的行波模式[25]。在非线性声学超材料中，结构设计与阻尼共同决定了波包的形态、频谱偏移以及工作范围。当存在阻尼时，非线性单谐振器结构[20]和非线性双原子链结构[26]会改变瞬态波包的特性：单谐振器链会导致波幅减小，而双原子链则会使波包的形状和幅度发生变化。在同一背景下，仅在空间上呈反对称结构的克雷斯林-折纸型超材料中，仅谐振器产生的非线性会导致与孤子波相关的线性特征，同时还会出现独立的色散模式[18]。此外，弱非线性机电谐振器会产生波形失真以及长波长方向的频率偏移[27]；再加入弱非线性链结构，则可以实现不同频率分量之间的能量传递。带有RL旁路的非线性局部谐振器虽然能增强波阻尼，但也会伴随波形失真[28]。不过，大多数分析都仅考虑单个谐振器，这使得其工作范围相较于包含多个质量元的单元结构更为有限。目前已有研究报道了由多个质量元并行构成的声学超材料[29]，尽管这类结构的色散关系中会出现多个模式分支，但其输出频谱仍局限于与输入激励相同的模式分支。为扩大工作范围，人们开始探索多谐振器单元结构。阿尔-谢亚布和布哈里研究了每个单元中含有一对并行局部谐振器的超材料[30]，他们发现振动冲击机制可以实现低频段与高频段之间的双向能量传递与模式转换，从而实现定向能量传递。多谐振器结构促使人们设计了分层结构，即在不同层级上布置谐振器[31]、[32]。此外，线性分层结构中的谐振器排列方式也会影响能带特性：已有研究针对机械谐振器和机电谐振器分析了向外延伸和向内延伸的分层结构[33]、[34]。线性分层结构不仅增加了可用的模式分支数量，还引入了额外的截止频率；在机械和机电应用中，这类结构还会改变能带的位置和宽度。分层结构还有助于实现轻量化结构设计[35]。与线性非分层结构相比，分层结构能够实现更精细的频谱控制，并在相同尺寸下提供更多的波导路径。尽管线性分层声学超材料具有诸多优势，但它们缺乏非线性超材料中所观察到的伪能隙现象[31]。在非线性超材料中，频率和波数的变化会生成伪能隙，从而阻止那些在线性介质中本应能够透过的波。周等人表明，局部共振非线性声学超材料中的汉宁调制瞬态波会引发这样的频率与波数偏移，进而形成伪能隙[19]。此外，将弱非线性链结构与机电谐振器相结合，还可以在机电二极管中实现宽频带的声学非互易性[36]。这些基于频率偏移的技术虽然可以实现方向依赖的滤波效果，但无法将工作范围扩展到光学模式的中长波长区域之外。超材料中的非线性效应还可以实现不同波模式之间的转换[37]。直接转换通常具有窄带宽、可调性弱且效率低的特点，而局部共振系统中的二次谐波产生技术则可以提高带宽和可调性[38]。非线性效应与局部谐振器之间的相互作用可以实现初始谐波与转换后谐波之间的相位匹配，从而提高转换效率；目前已报道的二次谐波产生机制包括耦合平移-旋转机制[39]、[40]以及非线性激活的模间隧穿机制[41]。然而，这些机制都是在现有的模式分支内部或之间起作用，因此其性能仍依赖于具体的模式分支，这就促使人们设计出能够重塑模式分支结构的新型架构。尽管非线性声学超材料已得到广泛研究，但大多数研究都集中在色散现象方面[42]、[43]。具体而言，以往的研究主要关注光学分支的中长波长区域内的孤子波、色散波以及频率偏移现象[27]，这导致了其工作频谱较窄，进而限制了基于波动的器件的稳定性和功能多样性。非线性系统中由于晶格属性的空间变化而产生的结构不对称性，会导致波的传输具有方向依赖性以及声学非互易性[44]。不过，由此产生的非互易响应通常仅限于单一通带范围内。此外，那些旨在在不同波长范围内实现声学模式与光学模式耦合的轻量化结构至今仍未被研究过[45]、[46]。正是这一不足促使我们设计了这种向内结构的分层非线性超材料（HNM），在这种结构中，非线性谐振器被刻意布置在一起，以促进光学-声学模式之间的耦合，从而提供更多的波传播路径。这种非线性分层光学-声学模式耦合机制能够实现多通道传输，突破了以往研究中仅存在单通道传输的限制。我们在主链结构和局部谐振器中都引入了非线性效应，以便研究它们在所有波长区域内的影响。在方法论方面，我们开发了一种近似分析方法来预测色散截止频率，并通过数值频谱空间分析来研究光学-声学耦合、频率偏移、波形失真以及模式间的相互作用。总体而言，这些结果证明了分层轻量化结构能够实现模式间的耦合以及带宽的扩展。

本文的其余部分安排如下：第2节介绍建模框架与求解方法；第3节从分析及数值两个方面研究色散关系，第4节则进行频谱空间分析，重点探讨时空波包的演化规律；第5节详细分析光学-声学模式耦合的底层机制；基于这些研究成果，第6节展示了如何设计方向选择性机械波导二极管，该二极管结合了两种互补技术，用以突出研究中的关键发现；最后，第7节总结了研究结论以及光学-声学耦合所带来的优势。

章节片段：

数学模型与扰动分析：在本节中，我们为这种分层非线性超材料建立了离散链模型，并采用林德斯特德-庞加莱方法进行了弱非线性分析。该模型在每个单元结构中都包含了一组向内级联的局部谐振器，同时保留了弱立方型的恢复力。

色散关系分析：为验证分析所得的色散关系，我们将其与通过数值方法计算得到的色散曲线进行比较。我们选取了由1500个单元结构组成的有限长链，用汉宁窗函数处理的瞬态波包对其施加激励，然后利用MATLAB内置的ode45求解器通过数值方法计算其动态响应。随后，通过对时空幅值响应进行二维快速傅里叶变换，从而在频率-波数域中重建出色散关系。色散曲线是通过……获得的。

频谱空间波包分析：基于第3节中得到的色散曲线趋势，我们现在采用频谱空间分析方法来研究有限时长波包的传播特性。虽然线性波传播能够保持波形不变，但非线性传播则会导致波形失真以及孤子波的产生[29]。此外，仅凭色散关系无法将空间信号分解为频率成分和波数成分。因此，在本节中，我们利用频谱空间分析方法来研究波……

光学-声学耦合：在本节中，我们通过分析分层结构中外部质量块与局部谐振器之间的相对运动，来研究之前观察到的光学-声学模式耦合现象。我们用对应于第一光学模式的波包分别对长波长、中波长和短波长下的链结构进行激励，这些相对运动就体现了第一光学分支的传播特性。对于非线性情况，为简化分析，此处仅介绍硬化响应，至于软化响应则……

用于声波导的机械二极管：基于前几节中研究得出的光学-声学模式耦合效应以及幅度依赖的频率偏移现象，我们现在提出了一种基于非对称混合线性-非线性分层结构的机械二极管。通过多种机制可以系统地引入结构不对称性，包括链结构中的非线性变化[36]、几何结构差异[12]以及不同质量分布的设计[44]。图11展示了该二极管中的结构不对称性。

结论：在本研究中，我们建立了一个统一的分析与数值计算框架，用于研究分层非线性声学超材料中的幅度依赖型色散现象以及光学-声学相互作用。该超材料被建模为一个由质量块和弹簧构成的链结构，每个质量块内部都嵌入有向内排列的局部谐振器。通过瞬态仿真和二维快速傅里叶变换分析对弱非线性色散关系进行了验证，结果表明，链结构与非线性谐振器都会对不同的物理特性产生调控作用……

作者贡献声明：Ashenafi Abebe Mebrat：撰写原文初稿、可视化处理、结果验证、软件应用、方法设计、实验研究、形式化分析、数据整理、概念构思。Joshua LeGrande：参与文章审阅与编辑、结果验证。Sunit K. Gupta：参与文章审阅与编辑、结果验证、研究指导、实验研究。Oumar Barry：参与文章审阅与编辑、研究指导、资源协调、项目管理、资金申请、概念构思。

利益冲突声明：作者声明自己不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢：本研究部分得到了美国国家科学基金会的资助，资助项目编号为CMMI-2038187。

Ashenafi Abebe Mebrat | Joshua LeGrande | Sunit K. Gupta | Oumar Barry