具有混合耦合的多路定向反应-扩散神经网络同步问题

《Neural Networks》：Synchronization of multiplex directed reaction-diffusion neural networks with hybrid coupling

　　摘要：本文研究了具有混合耦合的多重有向反应-扩散神经网络（MDHCRDNN）的同步问题。混合耦合意味着状态信息与空间信息通过对应多个外矩阵的不同通道相互结合，从而共同促进同步。与以往多权重网络的研究相比，那些研究通常假设外矩阵是对称的、具有强连通性的，而本研究中的外矩阵则是非对称的、存在竞争关系甚至没有连通性。此外，内矩阵中还可能包含负元素。本文提出了一种新方法，通过将状态耦合转化为空间耦合，并将所有空间扩散矩阵与状态矩阵整合为新的组合矩阵，进而得出：若这些组合矩阵的集合具有强连通性，则同步性可呈指数级得到保证。此外，本文还解决了混合控制及自适应强度等相关问题。并通过仿真验证了所提结果的有效性。

引言：过去二十年来，复杂网络因其普遍存在性而受到广泛关注，例如神经网络（Priyanka等人，2026年；Yang等人，2025年）、开关系统（Wang等人，2025b年；Xiang等人，2025b年）以及多重网络（Park等人，2025年；Zakharova和Semenov，2025年）。借助定时控制器（Priyanka等人，2026年）、事件触发式增益调度策略（Wang等人，2025b年）以及多模态集成技术（Park等人，2025年），人们已经获得了关于神经网络系统的诸多研究成果。作为复杂网络的一个特殊类别，神经网络随着科学技术的发展，在图像加密（Kowsalya等人，2024年）和通信安全（Subramaniam和Mani，2024年）领域成为了备受关注的课题。过去，大多数神经网络模型基于原始微分方程构建，但如今更常见的是采用同时包含时间与空间因素的偏微分方程来描述神经网络，这样能更准确地刻画社交网络的行为（Du和Wang，2018年）。作为偏微分方程的子类，反应-扩散方程可用于描述空间域中的反应-扩散过程。在实际应用中，神经网络在电磁领域所体现的扩散过程往往具有强烈的传染效应。因此，人们开始重点研究反应-扩散神经网络（RDNN）的行为特性（Stamova等人，2022年；Wei等人，2023年；Wu等人，2023年；Zekraoui等人，2025年）。Stamova等人（2022年）提出了分数阶RDNN模型，并通过脉冲Lyapunov方法得到了稳定性判据。Zekraoui等人（2025年）借助预定时间控制器，Wei等人（2023年）采用混合脉冲策略，Wu等人（2023年）则使用了固定协议，这些方法都得出了相关的稳定性结论。

同步作为一种重要的集体属性，由于其在图像加密/解密（Wang等人，2023a年；Wang、Si和Huang，2026年）以及安全通信（Gularte等人，2023年）等实际应用中的重要性，一直受到研究者们的密切关注。根据收敛速度的不同，同步类型包括指数同步、集群同步以及有限/定时同步（Lin和Liu，2024年）。此前，Lu和Chen（2006年）提出了归一化左特征向量这一新方法，随后Chen等人（2007年）进一步发展了该方法，以此为依据建立了更多同步保障规则。至今，通过控制手段实现神经网络同步已成为一个重要研究方向（Li等人，2022年；Matusik等人，2024年；Wang等人，2023c年；Xiang等人，2025a年；Yang、Feng、He和Cao，2022年；Yang、Song、Cao、Lu和Rutkowski，2021年）。通过反馈控制器（Li等人，2022年）、量化控制器（Yang等人，2019年）、带触发事件的控制器（Yang等人，2022年）、采样数据固定策略（Wang等人，2023c年）以及定时控制器（Matusik等人，2024年），人们分别得出了更多的相关规则。

需要指出的是，以往的研究仅利用网络系统的状态信息进行通信，并未利用空间变量信息来实现同步。但实际上，扩散过程随时都在空间域中发生，因此对于神经网络而言，结合状态信息与空间信息来确保同步不仅是必要的，而且意义重大。这种结合通过多个对应不同外矩阵的通道实现，被称为混合耦合，旨在加速同步过程。近年来，人们开始研究具有混合耦合的反应-扩散神经网络的特性（Liu等人，2017年；Lu等人，2018年；Wu、Li、Du和Du，2020年；Wu、Liu、Hu和Feng，2018年；Zhang和Zeng，2023年）。Zhang和Zeng（2023年）探讨了同时具有状态耦合与空间耦合的反应-扩散神经网络，并采用自适应技术将其应用于具有混合耦合的多层网络，进而得出了更多相关规则（Wu等人，2018年）。Wu等人（2020年）研究了带有间歇控制器的混合耦合反应-扩散神经网络，而Liu等人（2017年）则引入了负空间耦合，用以加速同步。尽管存在空间扩散耦合，以往研究得到的同步结果却完全相同且具有对称性（Lu等人，2018年；Wu等人，2018年；Zhang和Zeng，2023年）。这些研究虽然区分了状态矩阵与空间矩阵，但这些矩阵仍受上述约束的制约。实际上，无论是状态域还是空间域，所有矩阵都保持不变的情况是不现实的。相比之下，由不同通道分别处理状态信息与空间信息才更符合现实，能够真实反映动态扩散网络的特点。遗憾的是，当混合耦合矩阵具有非对称性、竞争性以及无连通性时，问题会变得更加复杂。因此，如何调整这些矩阵以促进同步便成了一个亟待解决的难题。

在现实中，由多权重构成的通用网络会展现出各种复杂行为（An等人，2014年；Wang等人，2019年），这说明与单权重矩阵相比，网络的动态特性会受到多个对应不同外矩阵的通道的影响。例如，在交通网络中，人们更倾向于选择出租车、飞机或高速列车等便捷的出行方式（An等人，2014年），而这些不同的出行选择会影响乘客到达目的地的所需时间。在社交网络中，人们通过Facebook、Instagram、Twitter等平台与他人联系。与传统邮件相比，通过社交平台发送和接收信息要更快（Wang等人，2019年）。显然，这些场景都包含含有空间因素的状态信息的多重链接。目前，多重网络已经引起了众多学者的兴趣（Li等人，2026年；Lin等人，2020年；Liu等人，2024年；Sakthivel等人，2021年；Tong等人，2023年；Wang、Du和Liu，2023b年；Wang、Wang、Zhu和Huang，2025a年；Zhao等人，2025年）。基于固定控制策略（Liu等人，2024年）、有限时间控制（Tong等人，2023年）、容错控制（Sakthivel等人，2021年）、具有模糊规则的适应性控制（Wang等人，2023b年；Zhao等人，2025年）、H∞双分式协议（Li等人，2026年）以及事件触发控制（Lin等人，2020年），人们已经为确保系统达到期望状态建立了许多研究成果。需要注意的是，以往大多数研究的结果都是基于具有强连通性的对称外矩阵。但实际上，外矩阵往往应该是多个不同的、非对称的，甚至可能不存在连通性。Liu（2023年）研究了这种一般情形下的多权重网络，并在控制方法方面建立了更多准则（Lin、Liu，2023a年；Lin、Liu，2023b年；Lin、Liu，2025年；Wang、Liu，2022a年；Wang、Liu，2022b年；Xu和Liu，2023年），这些成果还在反应-扩散系统中得到了应用（Lin和Liu，2026年）。近期，Lin、Liu、2022a年和Lin、Liu、2022b年研究了多重且具有混合耦合的反应-扩散神经网络，但其局限性在于每个外矩阵都是相互协作且具有强连通性的，且内矩阵为正值；而在Lin和Liu（2022b年）中，当外矩阵之间不存在连通性时，他们开发了一种融合技术。随后，Lin和Liu（2023c年）研究了竞争-合作关系，或者考虑了混合耦合中的参数不确定性（Lin等人，2026年），他们认为必须首先通过不等式将空间耦合转化为状态耦合，但在Lin和Liu（2023c年）以及Lin等人（2026年）的研究中，当每个维度的空间耦合存在竞争性或无连通性因素时，这种方法可能并不适用。因此，有必要研究具有混合耦合的多重有向反应-扩散神经网络（MDHCRDNN）的同步问题，可通过其他可行方法，比如也将状态耦合转化为空间耦合，然后统一处理这些组合矩阵，从而在更一般的情况下解决这一难题。

如前所述，本文致力于解决MDHCRDNN的同步问题。本文的主要贡献如下：第一，针对具有零边界值的连续实值函数，利用Poincaré不等式对其进行了推广，证明了新不等式可以生成两个系数，这些系数揭示了原函数与其导函数之间的关系，其通用性比Lu（2008年）和Zhang等人（2021年）的研究更为广泛。第二，本文构建了一个更为通用且全面的MDHCRDNN模型，该模型包含多个非对称、存在竞争关系甚至无连通性的外矩阵，其内矩阵还可能包含负元素，这比Li等人（2026年）、Lin等人（2020年）、Liu等人（2024年）、Sakthivel等人（2021年）、Tong等人（2023年）、Wang、Du和Liu，2023b年；Wang、Wang、Zhu和Huang，2025a年；Zhao等人（2025年）的研究更具实用性。对于MDHCRDNN，本文提出了一种新策略，即仅通过重新排序技术将状态矩阵与空间矩阵整合为新的组合矩阵，从而可以保证同步性呈指数级增长。与Lin、Liu，2022a年、Lin、Liu，2022b年、Lin、Liu，2023c年以及Lin等人（2026年）的研究不同，本文建立了多重网络之间的同步机制，即状态耦合可以与空间耦合相互转化，同时也降低了Lin和Liu（2023c年）以及Lin等人（2026年）所得条件的保守性。第三，通过在部分节点上实施混合控制器，本文进一步确立了MDHCRDNN的同步规则，同时也解决了自适应强度等相关问题。

本文的其余结构如下：第2节介绍了通用不等式中所需的符号与引理。第3节构建了MDHCRDNN模型，仅通过重新排序技术将状态矩阵与空间矩阵整合起来以实现同步，并解决了自适应耦合与控制相关问题。第4节通过仿真验证了所获结果的有效性。第5节对本文的工作进行了总结。

章节要点：

初步概念：设任意对称矩阵M∈RN×N，若M<0则为负定矩阵，若M>0则为正定矩阵。λ1(M)、λ2(M)和λ0(M)分别表示实对称矩阵M的最大特征值、第二大特征值和最小特征值。Θ={x=(x1,?,xp]?,|xd|<|υd|,d=1,?,p}表示一个具有边界?Θ的有界紧致集。Ts={q*|q*∈RN,q*?1=0}表示横截空间，1=(1,?,1]?。

定义2.1：对于满足f(xa)=f(xb)=0，且傅里叶正弦级数最高频率有上限?f??πxb?xa的函数f(x)∈C1([xa,xb],Rn)，有f(x)=∑k=1

MDHCRDNN的网络模型：首先考虑RDNN的模型：?Hι(t,x)?t=∑d=1p??xd(κdι?Hι(t,x)?xd)?aιHι(t,x)+Oι+∑?=1nbι???(H?(t,x))，其中Hι(t, x)表示包含时间t与空间x的状态变量，ι=1,?,n；aι?>?0表示神经元活动恢复到基线或静止状态的速率；bι?表示从神经元?到神经元ι的连接边；Oι表示神经元ι上的常数；θ?(?·?)表示神经元ι上的激活函数，满足对于任意α1,α2∈R，有|θ?(α1)?θ?(α2)|?β?|α1?α2|，其中β?>0，对所有?均成立。κdι表示

数值示例：首先考虑Shi等人（2021年）提出的非线性三维RDNN模型（18），该模型假设H(t,x)=(H1(t,x),H2(t,x),H3(t,x)]?，p=1，κ11=κ12=κ13=0.1，a1=0.1，a2=0.2，a3=0.3，且θ(H(t,x))=(tanh(H1(t,x)),tanh(H2(t,x)),tanh(H3(t,x))]?，满足条件（19），其中β1=β2=β3=1，O1=O2=O3=0，B=(2?1.2021.710.9?4.701.1)。初始值设定为H1(0,x)=?0.2，H2(0,x)=0.4，H3(0,x)=0.7，同时满足边界条件（20），即当t?≥?0时，有Hι(t,±0.5)=0，其中ι=1,2,3，且υ1=0.5。通过两步Richtmyer算法结合Crank-Nicolson方法进行计算

结论：本文从内矩阵与外矩阵的角度出发，仅通过重新排序技术，解决了具有混合耦合的多重RDNN的同步问题。首先，对于多路扩散网络，本文提出了一种新的引理，通过将状态矩阵与空间矩阵整合到新增的矩阵中，从而将状态耦合转化为空间耦合。这样一来，如果每个维度上这些合并矩阵的加权集合满足特定条件，就能确保同步过程以指数速度进行。