一种用于超高频固定式谐振器的色散引导设计方法

《Ultrasonics》：A dispersion-guided design methodology for super-high-frequency solidly mounted resonators

　　摘要
固装谐振器在射频滤波器和传感器中起着关键作用。然而，在未来运行于超高频频段及更高频段的6G通信系统中，为了实现小型化，固装谐振器的电极层占比显著增加。由于电极的质量载荷和弹性效应，传统的半波长谐振器设计会导致较大的频率偏差，使得布拉格反射器难以有效限制声能。为解决这些问题，本文提出了一种新的固装谐振器结构设计与优化方法。基于Stroh公式和传输矩阵法，推导出了层状布拉格反射器结构的色散方程。为应对复杂固装谐振器结构中精确计算色散方程的难题，本文采用一种新的模量比收敛方法来求解这些复杂的色散方程。首先根据传统的半波长压电层和四分之一波长布拉格反射器设计原则构建初始的固装谐振器结构，随后根据实际带有电极的压电堆结构的截止频率重新设计布拉格反射器，并运用全局缩放调整方法将工作频率精确调至目标值。经过优化的固装谐振器结构能够在谐振区域内实现高度集中的能量分布，减少能量向布拉格反射器的渗透，同时降低能量向基底的泄漏。通过结构色散分析，本研究为超高频频段下固装谐振器的设计提供了可靠且高效的方法，为下一代射频器件的发展提供了重要指导。

引言
在移动通信、数据传输和全球定位系统等无线通信系统中，对更高数据传输速率的需求推动了人们对更高频段的探索[1]。国际电信联盟定义的3号频段（FR3，7.125–24.25 GHz）因其能够提供宽大的连续带宽，已成为未来应用的关键频段[2][3]。这一趋势对工作在这些频率范围内的射频滤波器的性能提出了更高要求。

在各种滤波技术中，薄膜体声波谐振器因其高Q值、小型化结构以及与集成电路工艺的优异兼容性而变得不可或缺[4][5][6]。作为薄膜体声波谐振器的一种重要变体，固装谐振器用声学布拉格反射器替代了空气腔体，从而具备了更强的机械强度和热稳定性。典型的固装谐振器结构由一层压电层夹在两个金属电极之间构成，所有这些部件都沉积在由低声阻抗材料和高声阻抗材料交替构成的声学布拉格反射器上[9]。其工作原理在于激发压电层中的厚度-伸长模式，而布拉格反射器则通过反射纵波来限制声能，防止能量泄漏到基底中。

传统固装谐振器的设计遵循压电层的半波长共振原理以及布拉格反射器的四分之一波长规则[10]。然而，当工作频率进入FR3频段（例如9 GHz及以上）时，整个器件的厚度会减小到纳米级别。压电膜厚度的减小使得金属电极的相对厚度增加，而这又受到制造限制和电阻要求的制约。需要指出的是，这些制造限制并不意味着电极厚度是固定的，实际上电极厚度仍在一定范围内可调整，但无法无限减小。在实际应用中，当电极厚度低于约50纳米时，其制造难度会显著增加，还可能导致表面粗糙度上升、膜层不连续以及电阻损耗增大。因此，尽管仍可根据设计需求优化电极厚度，但随着工作频率进入超高频范围，电极层与压电层的相对厚度比往往会增大。相对较厚的电极会产生较大的质量载荷效应[5]，从而大幅降低多层结构的有效谐振频率。因此在超高频环境下，为理想的无电极压电膜设计的布拉格反射器无法在实际器件的工作频率下提供足够的声学隔离效果，从而导致大量能量耗散到基底中，严重降低器件性能。

虽然已有研究广泛探讨了1–5 GHz范围内固装谐振器的设计及其性能[11][12][13][14][15]，部分研究还提出了优化材料选择[16][17]以及采用其他工作模式[18][19]等策略，但目前尚缺乏系统的方法来应对超高频频段中电极引起的频率偏移与布拉格反射器设计之间的相互作用。此外，将色散曲线分析作为超高频固装谐振器结构协同设计与优化的指导工具也仍然较为有限。

本研究通过准确分析固装谐振器结构内的色散特性和波导模式，有效填补了这一空白。利用Stroh公式和传输矩阵法，可以推导出此类层状压电复合结构中声波的色散方程[20]，该方法能够很好地处理压电层内的电机械耦合效应以及其他层中的纯弹性行为[21]，从而便于分析固装谐振器结构中的兰姆波传播情况。为了解决由此产生的超越方程求解问题，我们采用了朱等人提出的新型求根方法[22]，该方法利用模量比的收敛特性来定位方程的根。所提出的多维模量比收敛算法可以直接求解解析方程。尽管诸如勒让德多项式法[23][24][25][26]、半解析有限元法[27][28][29]以及谱配置法[30][31]等现有方法也能得到色散曲线，但它们本质上依赖于结构离散化或对无限级数解的截断处理。通过将多维模量比收敛算法与Stroh公式及传输矩阵法相结合，本研究无需离散化即可获得多层固装谐振器的色散曲线，大大提升了计算效率。

多维模量比收敛算法目前已应用于多个领域，尤其是在先进功能材料中的波传播研究方面。例如，徐等人[32]分析了带有周期性梯度质量-弹簧振荡器的压电半空间中剪切水平波的传播特性。郭等人[33]建立了各向异性粘弹性复合层板中引导波的频率和空间依赖衰减预测模型。张等人[34]研究了带有周期性分流电路的多层压电板中的兰姆波色散关系。杨等人[35][36]探讨了多铁性/压电性-压磁半导体层状结构中剪切水平波的传播特性。赵等人[37][38]对高频下层状压电板的耦合振动行为进行了定量研究。郭等人[39][40]则研究了存在界面应力缺陷的非局部磁电弹性层合复合材料中的波传播现象，重点分析了包括应力型和膜型在内的界面缺陷的重要作用。本研究则是首次将多维模量比收敛算法用于计算固装谐振器结构的色散曲线，上述实例已验证了该算法在解决这一问题上的有效性。

基于结构色散曲线和模态分析，本文提出了一种针对超高频固装谐振器的全面结构设计方法。该方法的核心是一种两阶段优化策略：首先，利用基于Stroh公式和传输矩阵法的色散分析，确定实际带有电极的压电堆结构的厚度-伸长模式的截止频率，然后以此频率作为新目标来重新设计布拉格反射器的厚度，从而确保在目标工作点实现最佳的能量限制效果；其次，采用全局缩放方法将工作频率精确调至目标值，同时保持第一阶段确定的临界声学厚度比。

本文的其余部分安排如下：第2.1节介绍了压电层的半波长共振原理以及布拉格反射器的四分之一波长规则；第2.2节利用Stroh公式和传输矩阵法推导了固装谐振器结构的色散方程；第2.3节描述了用于求解色散方程的求根算法。第3节依次介绍了旨在在厚度-伸长模式下实现9 GHz工作的初始固装谐振器结构设计、经过优化的布拉格反射器设计，以及通过全局结构缩放实现的精确频率调谐，最后还对沿厚度方向的能量密度分布进行了比较分析。第4节给出了结论。

固装谐振器的设计
如图1所示，固装谐振器是由压电膜、上下电极、多对布拉格反射器以及基底构成的多层结构。直接沉积在基底上的声学反射器由低声阻抗材料和高声阻抗材料交替构成，它能有效地抑制压电膜区域之外的厚度方向上的振动位移，从而将大部分能量限制在谐振区域内。

结果与讨论
在本节中，我们介绍了一种在9 GHz超高频下以厚度-伸长模式工作的固装谐振器的设计。为了简化数值模型，我们在色散曲线和模态分析中忽略了结构中的硅基底。由于布拉格反射器由高声阻抗材料和低声阻抗材料交替构成，能够提供良好的声学隔离效果，因此这种简化是合理的。该反射器能够有效限制能量向外扩散。

结论
本研究提出了一种基于色散分析的、用于设计超高频（如9 GHz）固装谐振器的全面设计及优化方法。在如此高的频率下，由于整体器件厚度减小，电极层所占的比例相对增大，而这些电极层会通过质量载荷和弹性效应显著影响谐振频率。因此，如果仅依据工作频率来设计布拉格反射器，就无法实现有效的能量限制。

作者贡献声明
余梦然：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、软件应用、方法论、研究实施、概念构思。李鹏：方法论、数据整理、概念构思。朱瑞健：验证、研究实施。钱正华：资源协调、项目管理、资金获取、数据整理。朱峰：写作——审稿与编辑、验证、监督工作。库兹涅佐娃·伊伦：写作——审稿与编辑、方法论、研究实施、形式分析。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了中国国家重点研发计划（2023YFE0111000）、国家自然科学基金（编号12302200、12372151和U24A2005）、江苏省自然科学基金（编号BK20230873和BK20211176）、中国博士后科学基金（编号2023 M731671）、江苏省优秀博士后人才资助计划（编号2023ZB156）以及江苏省科学技术协会青年科学基金的支持。

余梦然|李鹏|朱瑞健|钱正华|朱峰|库兹涅佐娃·伊伦
中国南京航空航天大学航空工程学院航天结构力学与控制国家重点实验室，南京210016