方波驱动的双重立方体多气泡系统的动力学行为

《Ultrasonics Sonochemistry》：Dynamic behavior of double-cube multi-bubble system driven by square waves

　　

本研究调查了在有限带宽方波激励下，由八个外层立方体气泡、八个内层立方体气泡和一个中心气泡组成的分层排列17气泡系统的径向动力学。气泡位置由笛卡尔坐标模型定义，由此生成完整的成对距离矩阵，用于评估坍塌温度、回弹和壁速度，而不单纯依赖多气泡可压缩方程中的多方近似。无量纲参数用于表征耦合方程的影响，包括非平衡声压、频率、几何尺度比、气泡尺寸比、粘度、表面张力以及蒸发/冷凝和界面传热的热扩散。结果识别了中心气泡的正常膨胀、完全抑制和延迟膨胀三种状态，并表明这些状态由外部施加的拉伸压力与周围气泡产生的辐射压力之间的竞争所主导。在等峰值压力和等均方根压力条件下比较了方波与正弦强迫。报告了最大壁马赫数和回弹幅值以界定基于球形Keller-Miksis公式的有效性范围。计算的坍塌温度被解释为热力学严重程度指标而非氧化剂产率的直接度量，因为声化学自由基生成在高于最佳气泡温度时可能减少。该模型阐明了固定中心径向描述适用的参数范围以及需要迁移和变形分辨模型的参数范围。

研究背景与问题提出

声空化（Acoustic Cavitation）技术在乳化均质、精密清洗、催化增强、废水处理及生物医学等领域具有重要应用价值。实际场景通常涉及大量空化气泡构成的集群系统而非孤立单泡，气泡间相互作用机制是理解与优化空化效应的关键环节，其复杂性也是制约高效声空化技术产业化的主要因素。现有多气泡动力学研究多聚焦于线性、球形等规则几何构型，难以充分反映实际空化场中气泡阵列复杂的空间分布特征。传统研究多采用正弦波激励，而有限带宽方波（Square-Wave）因其占空比和谐波含量可控近期受到关注。针对双重立方体嵌套的高对称性分层空间构型及方波驱动下的多气泡耦合特性尚未被系统研究，本研究据此开展相关工作，论文发表于《Ultrasonics Sonochemistry》。

主要关键技术方法

研究人员构建了由8个外层顶点气泡、8个内层顶点气泡及1个几何中心气泡组成的双重立方体17气泡分层空间模型，推导17气泡耦合动力学方程组。采用考虑液体可压缩性与气泡间声学耦合的修正Keller-Miksis方程作为控制方程，引入非平衡水蒸气输运与界面传热模型替代简化多方假设，建立完整的17×17笛卡尔成对距离矩阵计算相互作用。外部驱动声压采用傅里叶级数展开的有限带宽方波形式，定义二次Bjerknes力（Secondary Bjerknes Force）计算公式。数值求解采用经典四阶龙格-库塔（Runge–Kutta）算法，将二阶常微分方程组转化为34个一阶方程组，时间步长选取1×10^-9 s，积分持续至少5个声波周期，通过单泡、双泡及三泡、五泡系统退化验证程序可靠性，参考参数涵盖液体物性、气泡几何与声场驱动三类。

研究结果

4.1. Verification with double-bubble and simple multi-bubble systems

通过与现有文献报道的双泡、三泡及五泡系统对比验证数值模型。双泡系统中大泡最大半径约118 μm，小泡约48 μm，坍塌时刻约28 μs，相对偏差小于3%；方波驱动使气泡最大半径增加约15%，二次Bjerknes力幅值达6.2×10^-4 N且主要表现为吸引特性。三泡模型中周边大泡半径R_o0=25 μm时小泡膨胀几乎完全抑制，R_o0>35 μm时小泡呈延迟膨胀，呈“V”形特征；五泡模型中抑制与延迟膨胀临界半径分别降至16 μm与25 μm，与文献一致，证实模型能准确捕捉抑制与延迟膨胀现象。

4.2. Basic dynamic characteristics of the double-cube system

参考参数下外层泡最大半径约122 μm，内层泡约51 μm，中心泡约35 μm且较同初始半径孤立泡降低约40%，坍塌时刻较周围泡延迟约3 μs。外层、内层、中心泡最小半径分别为0.38 μm、0.31 μm、0.42 μm，对应峰值径向向内速度458 m/s、523 m/s、382 m/s，壁马赫数约0.31、0.35、0.26。绝热压缩估算坍塌峰值温度分别为约8500 K、2800 K、4200 K，峰值压力分别为8.2×10⁸ Pa、1.3×10⁹ Pa、5.1×10⁸ Pa。第五周期外层、内层、中心泡最大半径衰减率分别约44%、37%、26%，中心泡因周围泡“保护”衰减较慢。

4.3. Influence of geometric parameters

固定内层尺寸d=75 μm，D/d从1.5增至3.0，中心泡最大半径R_c,max从约8 μm增至42 μm，趋近孤立泡；坍塌峰值温度T_max呈非单调变化，D/d=1.5时约2800 K，D/d=2.0时达峰值14200 K，D/d=3.0时约13200 K，存在最优D/d≈2.0使坍塌温度最大。固定D/d=2.0同步增大绝对间距，耦合强度减弱，R_c,max从约28 μm增至39 μm，二次Bjerknes力幅值随距离平方反比下降。增大外泡初始半径比R_o0/R_i0，中心泡抑制增强，R_c,max从约38 μm降至29 μm。

4.4. Influence of driving parameters

频率f从20 kHz增至35 kHz，可用膨胀时间缩短，中心泡R_c,max从35 μm降至18 μm（降49%），T_max从14200 K降至约8500 K，二次Bjerknes力峰值从1.8×10^-4 N降至4.2×10^-5 N。声压幅值P_a从1.0×10⁵ Pa增至1.5×10⁵ Pa，R_c,max从约6 μm增至62 μm（增138%），T_max从约8600 K增至28600 K（增348%），呈现弱振荡、延迟膨胀至充分正常膨胀的转变。等峰值压力下中心泡方波驱动R_c,max≈35 μm较正弦波约24 μm增46%，T_max≈14200 K较正弦波约6800 K增109%，方波具空化增强优势。

4.5. Special dynamic behavior of the central bubble

中心泡随外泡初始半径R_o0增大呈“V”形变化，R_o0≈4.5 μm时显著抑制（R_c,max≈8 μm），R_o0>6 μm时延迟膨胀且R_c,max迅速增大。完全抑制时净压力近零无有效拉伸；延迟膨胀时外泡达最大半径后辐射压由正转负叠加外负压形成强净拉伸，峰值径向向内速度约612 m/s，T_max≈28600 K较正常膨胀高101%且超同初始半径孤立泡。理想立方对称下次级Bjerknes力矢量抵消，但数值误差与非线性致对称破缺，单外泡初始半径增1%产生约1.2×10^-5 N净吸引力指向偏大泡，R_c,max从约35 μm降至32 μm。移除内层泡减少至0时R_c,max增至约49 μm，内层泡抑制效应强于外层。

4.6. Analysis of secondary Bjerknes force

外层相邻泡负压相吸引力峰值约-3.8×10^-4 N，坍塌正压相约-6.2×10^-4 N；对角泡因距大（2D=450 μm）峰值约-1.2×10^-4 N。内层相邻泡峰值约-1.5×10^-4 N，外层相互作用强度约为内层2.5倍（相当半径比2.5）。内外层泡间负压相吸引峰值约-2.1×10^-4 N，正压相短暂排斥（+0.8×10^-4 N）后强吸引（-4.5×10^-4 N）。中心泡受16泡总次级Bjerknes力幅值约6×10^-6 N，外层贡献约1.8×10^-5 N，内层约1.2×10^-5 N，部分抵消。频率升高力降75%，P_a从1.05×10⁵ Pa增至1.5×10⁵ Pa力峰值增约27倍。延迟膨胀时早期（0-16 μs）斥力峰值+1.2×10^-4 N，后期（16-25 μs）强吸引峰值-7.8×10^-4 N。

讨论与结论总结

讨论部分指出双重立方体系统中17气泡相互作用主要通过声辐射实现，耦合强度与间距D_ij成反比且与d(R_j²?_j)/dt成正比，内层距中心√3d≈130 μm较外层√3D≈260 μm近一半，距离效应使内层抑制更强。液体可压缩性修正项(1-?/c)与(1+?/c)在壁马赫数0.31时不可忽略。立方高对称性分三类气泡简化问题，理想辐射压各向抵消但数值误差与微扰（1%半径偏差）致对称破缺产生净侧向力。方波瞬时功率输入特性含丰富奇谐波，负跳变瞬态冲击强于正弦波，拉伸半周期恒负压避免近零交叉低效能传输，总吸能约正弦1.4倍，可同时激发不同尺寸气泡共振提升能量吸收。中心泡三态源于周围泡辐射压与外部拉伸压竞争：完全抑制为辐射正压完全抵消外负压；延迟膨胀为外泡达最大时辐射压由正转负叠加外负压驱动剧烈坍塌升温超孤立泡。

结论部分翻译如下：

基于修正的可压缩Keller-Miksis多气泡耦合方程，本研究建立了有限带宽方波激励下分层排列的双重立方体17气泡系统全耦合动力学模型。构建完整的17×17笛卡尔成对距离矩阵以精确计算气泡间声辐射耦合，引入非平衡界面蒸发/冷凝与传热替代简化多方热力学假设。通过系统数值模拟分析了外层、内层与中心气泡的径向振荡特征、坍塌极值条件及二次Bjerknes力分布规律，以及几何与声驱动变量的参数敏感性。核心结论总结如下：

1. 1.
   与等幅正弦激励相比，方波驱动显著增强簇中所有气泡的空化强度。参考工况下中心气泡最大膨胀半径增加46%，坍塌峰值温度升高109%，二次Bjerknes力幅值约翻倍。方波的丰富奇谐波谱与持续恒定拉伸区间提供更优的周期平均能量输入及气泡坍塌时更剧烈的瞬态压缩。
2. 2.
   外内层立方体几何尺度比D/d对中心泡膨胀幅值与坍塌温度呈非单调调控作用。最优耦合状态出现在D/d≈2.0，此时中心泡坍塌峰值温度达14200 K。较小D/d增强辐射压力屏蔽致中心泡完全抑制；较大D/d削弱气泡间耦合及周围泡辐射脉冲的坍塌放大效应。绝对立方体尺寸同步缩放单调降低耦合强度并遵循距离平方反比律减弱相互作用力。
3. 3.
   驱动频率与声压幅值对中心泡动力学具强非线性控制效应。频率从20 kHz升至35 kHz缩短可用拉伸膨胀时间，中心泡最大半径降49%，坍塌温度降40%。声压幅值从1.05×10⁵ Pa升至1.5×10⁵ Pa增强净拉伸载荷，峰值坍塌温度升348%并触发从弱振荡、延迟膨胀至充分正常膨胀的转变。通过耦合Π_a-D/d参数分析构建了区分完全抑制、延迟膨胀与正常膨胀的无量纲状态图。
4. 4.
   调节周围泡平衡尺寸识别中心泡三种特征动态模式：外泡半径较小时正常膨胀，R_o0≈4.5 μm附近完全抑制，R_o0>6 μm时延迟膨胀。延迟膨胀产生剧烈增强坍塌：峰值向内壁速度达612 m/s，峰值温度达28600 K，超越正常膨胀态与等效孤立泡空化严重程度。此放大源于周围坍塌辐射脉冲对中心泡的同步叠加。
5. 5.
   立方几何对称性致作用于中心泡的次级Bjerknes力部分矢量抵消。完美均匀初值下时间平均净侧向力近零，但非线性振荡与数值噪声破缺对称产生不可忽略瞬时侧向载荷。单外泡平衡半径仅1%扰动产生指向偏大泡的持续净吸引侧向力并减弱中心泡膨胀幅值。内层泡因中心距更短具强于外层泡的屏蔽与耦合效应。总次级Bjerknes力幅值随驱动频率升高而减小，随声压幅值增大非线性增长。
6. 6.
   本文采用的球形固定中心Keller-Miksis公式仅在亚声速壁马赫数M_w,max<1及气泡间几何分离准则(R_i,max+R_j,max)/D_ij<0.5范围内定量可靠。一旦超越阈值，气泡平移与非对称变形凸显，需采用含动态阻力与形状修正项的迁移分辨Zhang型扩展模型。
   本双重立方体多气泡耦合模型为分析分层簇状空化气泡相互作用提供新理论框架。揭示的中心泡抑制/延迟膨胀机制与方波空化增强特性为化工处理、生物医学超声及精密清洗工程中声空化精细调谐提供理论指导。当前模型保留若干简化假设需在后续研究中改进：固定气泡质心位置、理想球形振荡、无限无界液体域及忽略固体边界壁面效应。未来工作方向包括：(i)基于2026 JFM Zhang-Xu扩展迁移模型将气泡迁移、非对称变形与边界相互作用项纳入控制方程组；(ii)扩展模拟规模至含百余气泡多样分层几何布局大簇；(iii)开展匹配实验表征验证气泡半径演化、坍塌温度与泡间相互作用力数值预测；(iv)研究球壳阵列、圆柱分层气泡分布等工程相关簇几何以建立广义多气泡空化动力学理论体系，支撑工业声空化技术精细化控制策略。