一种用于高维非线性正弦-戈登问题的、具有自适应损失权重的梯度增强型物理信息神经网络

《Scientific Reports》：A gradient-enhanced physics-informed neural network with adaptive loss weighting for high-dimensional non-linear sine-Gordon problems

　　

摘要

本文提出了一种改进的物理信息神经网络——自适应加权损失梯度增强PINNs（AWL-gPINNs），用于高维非线性正弦-戈登方程的数值求解。该算法是在传统PINN框架基础上的扩展，通过引入基于梯度的残差约束以及自适应加权策略，来平衡训练过程中偏微分方程残差项、初始条件与边界条件的重要性。原有的正弦-戈登方程被转化为耦合的一阶形式，从而便于集成自动微分技术以计算高阶导数。所设计的复合损失函数包含具有可训练权重的残差项和梯度正则化项，这有助于解决多目标优化中的刚性问题和失衡问题。研究对3D到20D的不同维度、有阻尼和无阻尼的正弦-戈登方程在长时域和短时域内的典型问题进行了大量数值实验。实验结果表明，AWL-gPINNs的性能远优于传统PINNs以及多种现有算法，误差降低幅度可达1e-3至1e-2，或1e-5至1e-4。此外，该算法还具有快速收敛特性，且在不同的配置密度、噪声干扰及初始化条件下都能保持较好的训练稳定性。与现有的先进PINN变体相比，即使在20D的高维方程中，该方法也能以更小的误差幅度实现更优的求解效果。通过消融实验和多种子稳定性测试，进一步验证了AWL-gPINN框架在处理高维非线性正弦-戈登方程时的有效性、稳健性及实际应用价值。实验结果表明，AWL-gPINNs是一种适用于高维非线性偏微分方程求解的可行且高效的技术。