面齿轮蜗杆磨削中节距与齿厚偏差补偿的一种新方法

《Machines》：A Novel Method for Compensating Pitch and Tooth Thickness Deviations in Face Gear Worm Grinding

　　

Worm grinding（蜗杆磨削）是面齿轮精密制造的有效途径，然而磨削过程中不可避免地会产生pitch deviation（节距偏差）与tooth thickness deviation（齿厚偏差）。为减小这些偏差，研究人员提出一种适用于面齿轮磨削中复杂拓扑曲面的补偿方法。基于CNC（计算机数控）面齿轮磨床的结构配置，首先规划dressing wheel（修整轮）对grinding worm（磨削蜗杆）的dressing path（修整路径），随后生成面齿轮的grinding path（磨削路径）。考虑面齿轮tooth surface（齿面）特性，建立single pitch deviation（单个节距偏差）、cumulative pitch deviation（累积节距偏差）与tooth thickness error（齿厚误差）的评价方法。继而采用CNC机床的linkage polynomial method（联动多项式方法）优化面齿轮磨削路径并补偿节距偏差。随后建立grinding worm与面齿轮之间的meshing tooth surface mapping method（啮合齿面映射方法）以补偿齿厚偏差。研究人员开展补偿案例研究验证所提方法。结果表明，所提补偿策略能有效降低面齿轮的节距与齿厚偏差，reduction rates（降低率）范围为48.57%至96.80%。

该研究围绕面齿轮蜗杆磨削过程中的节距偏差与齿厚偏差问题展开。面齿轮传动作为一种由involute cylindrical gear（渐开线圆柱齿轮）与face gear（面齿轮）啮合形成的创新齿轮机构，相比bevel gear transmissions（锥齿轮传动）具有结构紧凑、轻量化、低噪声、高接触比、承载能力优越及无需轴向定位等优势，已应用于直升机、汽车、动力工具等领域。Finish grinding（精磨）中worm grinding（蜗杆磨削）兼顾精度与效率，通过dressing wheel生成所需worm profile（蜗杆廓形），再利用prepared worm（准备好的蜗杆）通过generating motion（展成运动）切削面齿轮齿面，较disc–wheel grinding（盘形砂轮磨削）在连续展成中材料去除效率更高。然而finished flank（成品齿面）仍会与theoretical surface（理论曲面）存在差异，现有研究多集中于圆柱齿轮等齿面相对简单的齿轮的节距与齿厚偏差补偿，针对具有complex curved surfaces（复杂曲面）的面齿轮，多数研究关注flank profile correction（齿面廓形修正），节距偏差与齿厚偏差受关注有限，而节距误差关系transmission accuracy（传动精度）与smoothness（平稳性），齿厚决定backlash（侧隙），蜗杆磨削面齿轮需在同一校正过程中处理这两类误差，因此研究人员开展本研究以提出集成补偿方法。

论文发表在《Machines》。研究人员提出基于CNC trajectory regulation（CNC轨迹调节）与worm surface reconstruction（蜗杆曲面重构）的集成补偿方法，通过将六阶linkage polynomial（联动多项式）嵌入蜗轮CNC磨削路径补偿pitch error（节距误差），将测量节距偏差转化为可控机床运动修正；同时通过grinding worm与face gear flank（面齿轮齿面）间meshing surface mapping relationship（啮合曲面映射关系）补偿tooth thickness deviation（齿厚偏差），映射偏差用于重构worm surface以实现通过tool geometry modification（刀具几何修正）校正面齿轮齿厚，较常规齿面廓形修正直接处理节距与齿厚偏差并集成机床运动调整与蜗杆几何重设计，为高精度面齿轮磨削提供更系统的补偿途径。

研究人员开展研究用到的主要关键技术方法包括：建立CNC grinder motion model（CNC磨床运动模型），定义shaper（插齿刀）、grinding worm、face gear（面齿轮）及conical dressing wheel（锥形修整轮）的坐标系与surface（曲面）表达，推导worm flank（蜗杆齿面）由shaper envelope（插齿刀包络）生成的公式及face gear tooth surface生成的两参数（rotation与radial feed）模型；规划dressing path（修整路径）与grinding path（磨削路径），以X、Y、Z平移轴与A、B、C回转轴描述CNC grinder（CNC磨床）布局；建立pitch deviation（节距偏差）评价方法，以flank midpoint（齿面中点）测量arc length（弧长）与nominal arc length（名义弧长）之差计算single pitch deviation（单个节距偏差），累加同侧节距误差取最大绝对值得cumulative pitch deviation（累积节距偏差）；建立tooth thickness error（齿厚误差）评价方法，以measured tooth thickness（测量齿厚）与nominal tooth thickness（名义齿厚）之差计算；采用六阶linkage polynomial嵌入CNC grinding path补偿节距偏差，以Levenberg–Marquardt（L-M）算法求解非线性优化，约束tooth surface deviation（齿面偏差）不大于allowable profile deviation threshold（允许廓形偏差阈值）1 μm；通过meshing tooth surface mapping method调整worm tooth thickness（蜗杆齿厚）重构worm flank补偿齿厚偏差，生成修正后dressing path；以三例face gear（Gear 1、Gear 2、Gear 3）在CNC face gear grinder上进行grinding experiment（磨削实验），以Leitz PMM-C coordinate measuring machine（坐标测量机）测量补偿前后误差。

研究结果如下：

1. 1.
   Introduction（引言）
   研究人员指出面齿轮传动优势及应用背景，说明worm grinding（蜗杆磨削）工艺特点，综述现有误差补偿研究多聚焦圆柱齿轮齿面简单齿轮的节距与齿厚偏差，面齿轮研究多关注齿面廓形修正，节距与齿厚偏差研究有限，明确两类误差分别影响传动精度平滑性与侧隙，需在同一过程处理，从而提出本研究集成补偿方法的动机与目标，并说明计算分四阶段：第2节建立CNC grinder motion model，第3节定义节距与齿厚误差指标，第4节推导两种补偿模型，第5节通过测试齿轮磨削与测量评估方法。
2. 2.
   Model for Worm Grinding of Face Gears（面齿轮蜗杆磨削模型）
   2.1. Grinding Worm Surface（磨削蜗杆曲面）
   研究人员将shaper与grinding worm视为virtual internal meshing pair（虚拟内啮合副），worm flank由shaper envelope生成并用于磨削目标face gear flank，同一包络定义theoretical face gear surface（理论面齿轮曲面），给出standard involute cylindrical spur gear shaper（标准渐开线圆柱直齿插齿刀）曲面表达式与unit normal（单位法向），通过shaper–worm meshing condition（插齿刀—蜗杆啮合条件）与relative velocity（相对速度）及coordinate transformation matrix（坐标变换矩阵）M_ws(φ_s)推导worm surface r_w与worm flank normal vector（蜗杆齿面法向量）。
   2.2. Face Gear Surface（面齿轮曲面）
   研究人员说明蜗杆磨削采用rotation与radial feed为独立运动，蜗杆与面齿轮按prescribed ratio（规定比值）旋转，蜗杆沿齿轮径向feed（进给），feed coordinate与rotation angle为independent variables（自变量）构成生成曲面两参数，rotation决定tooth-height profile（齿高廓形），radial feed沿axial direction（轴向）扩展廓形，给出face gear tooth surface表达式及M_gw从S_w到S_g的坐标变换，说明meshing condition写为两种形式：固定E_2s时φ_w变化得f₁=0，固定φ_w时E_2s变化得f₂=0，分别对应generating motion（展成运动）接触条件与指定蜗杆角位置随E_2s变化的接触条件。
   2.3. Grinding Worm Dressing Path（磨削蜗杆修整路径）
   研究人员以standard conical dressing wheel（标准锥形修整轮）修整蜗杆，定义修整轮参数R_d、a_d、s、t、θ_d，给出轮面上点G的向量r_d与normal n_d，说明CNC grinder具translational axes（平移轴）X、Y、Z与rotary axes（回转轴）A、B、C，S_v固连grinding worm，S_b固连dressing wheel，S_c固连face gear，S_m固连machine frame（机床框架），B为蜗杆绕轴实际旋转，φ_w为蜗杆曲面方程中展成参数不等于B，C为面齿轮旋转，将所有轮与蜗杆向量变换至S_m计算路径，修整接触点处轮与蜗杆曲面tangent（相切），由contact equation（接触方程）赋值A离散值求解Y、Z、B得蜗杆齿面helical trace（螺旋迹线），集合构成dressed worm surface（修整后蜗杆曲面）。
   2.4. Grinding Path of Face Gear（面齿轮磨削路径）
   研究人员说明面齿轮磨削中A-axis（A轴）保持0°，B-axis（B轴）与C-axis（C轴）coupled（耦合）以保持蜗杆与齿轮啮合，X-axis与Y-axis联动，Z-axis为independent variable（自变量）名义值于coordinated machining process（协调加工过程）前确定，给出machine path（机床路径）表达式，其中φ_w与φ_g为蜗杆与齿轮旋转，i_wg为transmission ratio（传动比），λ_w为worm-axis offset angle（蜗杆轴偏角），E_2s为shaper middle plane（插齿刀中平面）至gear axis（齿轮轴线）距离，E_ws为worm axis（蜗杆轴线）至gear axis距离，T_wy为worm system（蜗杆坐标系）至Y-axis zero position（Y轴零位）偏移，T_gz为gear system（齿轮坐标系）至S_m距离，s为radial feed，m_n为shaper normal module（插齿刀法向模数），N_s为shaper tooth number（插齿刀齿数），决定CNC grinder上实际加工面齿轮曲面。
3. 3.
   Pitch and Tooth Thickness Deviation（节距与齿厚偏差）
   3.1. Pitch Deviation（节距偏差）
   研究人员在同一flank（齿面）相邻齿间评价single pitch error（单个节距误差），比较nominal pitch（名义节距）与flank midpoint测得节距，给出左齿面measured points Q_l(i?1)与Q_li坐标表达式，左single pitch deviation f_pl为测得弧长减名义弧长，对应included angle α_li，pitch calculation（节距计算）中radial coordinate R取R_min与R_max平均值，cumulative pitch deviation为同侧节距误差在候选arc segments（弧段）求和取最大绝对值，给出左齿面指标表达式，右齿面指标同理以相同操作获得，说明CMM（coordinate measuring machine，坐标测量机）测量流程：先以theoretical pitch positions（理论节距位置）为nominal measurement locations（名义测量位置），测头测对应actual points（实际点），基于实际测量点算测得弧长，名义弧长由同测量位置theoretical tooth geometry（理论齿几何）获得。
   3.2. Tooth Thickness Deviation（齿厚偏差）
   研究人员以flank midpoint为measurement point（测量点），P_li与P_ri为左右齿面nominal points（名义点），Q_li与Q_ri为measured points（测量点），给出坐标表达式，tooth thickness error为t_ai与t_ti之差，由对应表达式评估measured tooth thickness与nominal tooth thickness。
4. 4.
   Pitch and Tooth Thickness Compensation（节距与齿厚补偿）
   4.1. Pitch Deviation Compensation（节距偏差补偿）
   研究人员利用machine controller（机床控制器）支持至sixth-order（六阶）linkage polynomials，将high-order term（高阶项）插入grinding command（磨削指令）以改变trajectory（轨迹）调整节距误差，给出polynomial coefficients（多项式系数）与带correction term（修正项）的generated surface（生成曲面），结合节距误差模型得residual cumulative errors，建立original measured error（原始测量误差）与residual error（残余误差）关系，以最小化残余累积误差为optimization target（优化目标），补偿中约束tooth surface deviation，n_g为theoretical face gear tooth surface单位法向向量；说明节距与齿厚偏差补偿同时应用，二者为independent error components（独立误差分量），节距偏差描述相邻齿相对位置误差，齿厚偏差描述单齿左右齿面偏差，齿厚补偿对同一齿面施加相同compensation amount（补偿量）使同侧齿面同步增减，故relative pitch spacing（相对节距间距）不变，齿厚补偿不影响节距偏差；以Levenberg–Marquardt（L-M）算法求解nonlinear optimisation problem（非线性优化问题），以补偿前nominal machine-setting parameters（名义机床设定参数）为initial values（初值），objective function（目标函数）或compensation variables（补偿变量）变化小于convergence tolerance（收敛容差）1 μm或达maximum number of iterations（最大迭代次数）1000停止，约束tooth profile accuracy（齿廓精度）不大于allowable profile deviation threshold 1 μm，比较compensated tooth surface与theoretical tooth surface，仅当profile deviation在阈值内接受解。
   4.2. Tooth Thickness Deviation Compensation（齿厚偏差补偿）
   研究人员说明machined tooth thickness取决于effective worm tooth thickness（有效蜗杆齿厚），测得齿轮齿厚大于目标值则减小worm tooth thickness，小于目标值则增大worm tooth thickness，重构worm flank，给出transformation matrix（变换矩阵）与angle φ_b表达式，代入关系得corrected worm（修正蜗杆）的dressing path，以此蜗杆加工的面齿轮达required tooth thickness（所需齿厚）。
5. 5.
   Grinding Experiment（磨削实验）
   研究人员在CNC face gear grinder测试修正模型，比较补偿前后pitch error与tooth thickness error，grinding process中grinding wheel speed（砂轮转速）2000 r/min，radial feed rate（径向进给率）15 mm/min，material removal depth per pass（每行程材料去除深度）0.01 mm，grinding wheel为5SG wheel外径345 mm，emulsion（乳化液）为coolant（冷却液），三例face gear为Gear 1、Gear 2、Gear 3，Gear 1、Gear 2、Gear 3迭代分别245、132、128次收敛；加工分两步：dressing wheel生成worm surface，dressed worm磨面齿轮，初步磨削后以Leitz PMM-C coordinate measuring machine检测；Gear 1补偿前左齿面maximum pitch error（最大节距误差）23.5 μm、cumulative pitch error（累积节距误差）328.1 μm，右齿面22.7 μm与340.9 μm，tooth thickness error 49.5 μm，补偿后再磨再测左齿面最大节距误差2 μm、累积11.5 μm，右齿面2 μm与10.9 μm，齿厚误差降至10.4 μm，左齿面最大节距误差降21.5 μm、右降20.7 μm，左累积降316.6 μm、右降330 μm，齿厚误差降39.1 μm，按AGMA 2009-B01测量标准补偿前individual pitch accuracy（单个节距精度）Grade 7、cumulative pitch accuracy（累积节距精度）Grade 12，补偿后均至Grade 3；Gear 2补偿前左齿面最大节距误差4.8 μm、累积43.3 μm，右3.5 μm与43.6 μm，齿厚误差40.0 μm，补偿后左最大1.4 μm、累积10.9 μm，右1.8 μm与6.3 μm，齿厚降至9.2 μm，左最大降3.4 μm、右降1.7 μm，左累积降32.4 μm、右降37.3 μm，齿厚降30.8 μm，补偿前单个节距精度Grade 4、累积Grade 6，补偿后均Grade 3；Gear 3补偿前左最大节距误差4.1 μm、累积44.3 μm，右3.5 μm与30.1 μm，齿厚39.7 μm，补偿后左最大1.6 μm、累积7.2 μm，右1.4 μm与9.4 μm，齿厚降至8.8 μm，左最大降2.5 μm、右降2.1 μm，左累积降37.1 μm、右降20.7 μm，齿厚降30.9 μm，补偿前单个Grade 4、累积Grade 6，补偿后均Grade 3；同修正模型降低两类误差且tooth profile error（齿廓误差）受控。
6. 6.
   Conclusions（结论）
   研究人员总结：基于CNC面齿轮磨床结构配置规划dressing wheel对grinding worm的dressing path并建立面齿轮grinding path；提出面齿轮节距与齿厚误差评价方法，以single pitch deviation与cumulative pitch deviation表征节距偏差；开发补偿方法，用CNC linkage polynomial method规划磨削路径补偿节距偏差，用meshing tooth surface mapping method补偿齿厚偏差；开展补偿实验表明节距与齿厚偏差有效降低，验证方法有效性；节距与齿厚偏差相互独立，齿厚补偿不影响节距误差，同齿面补偿量相同使同侧齿面同步增减，可同时或分别补偿；所提方法仅用于unmodified spur face gears（无修形直齿面齿轮），用于modified face gears（修形面齿轮）或helical face gears（螺旋面齿轮）时grinding worm与face gear tooth surface可能interference（干涉）影响补偿性能。