高阶非线性映射与神经元的物理方法

《Mathematics and Computers in Simulation》：Physical approach of higher order nonlinear maps and neurons

　　摘要：源自非线性电路的非线性振荡器具有重要的物理意义，而分岔分析则为进一步的动态控制与能量调控提供了有力指导。大多数数学映射模型在数字信号处理和非线性动力学分析中得到了广泛应用；然而，理论模型中高阶非线性项的假设缺乏明确的物理解释。欧拉前向算法通过对变量和内在参数施加线性变换，为非线性振荡器与映射之间建立了可行的桥梁，同时将时间步长作为一项内在参数，使得振荡器及其近似的等效映射模型能够展现出相似的动态特性。尤其是当引入包含高阶项的离散忆阻器时，例如映射中出现三次项，此时为所得映射模型定义能量就显得尤为重要。本研究提出了一种适用于高阶非线性映射的通用连续与离散变换框架。该方法将传统的连续化理论从二次非线性系统扩展到三次及更一般的高阶多项式映射。通过引入适当的缩放变换和时间步长归一化，离散高阶映射可被近似转换为等效的连续非线性振荡器，同时保留其主要的动态特性，进而可构建相应的哈密顿能量函数。基于亥姆霍兹定理，通过将矢量场分解为旋转分量与梯度分量，可推导出哈密顿能量函数，其中物理振荡器以矢量形式表示。此外，还建立了适用于任意高阶多项式映射的统一变换形式。研究结果表明，高阶非线性映射天然对应于具有多势阱结构的连续系统，这类系统可能表现出多稳态以及复杂的振荡行为。所提出的框架为高阶离散映射提供了保留其主要动态特性的近似连续表示方法。该框架不仅为构建高阶非线性映射的哈密顿能量函数提供了统一的理论方法，还为研究忆阻系统、具有多稳态的非线性电路以及高阶非线性系统的复杂动力学带来了新的见解。

引言：非线性振荡在物理、生物、化学以及工程系统中普遍存在，其复杂的动态变化可通过多种类振荡器模型进行估算与描述。典型的非线性振荡器包括机械振动系统[1]、非线性电子电路[2]、神经元模型[3]、忆阻系统[4]、[5]以及激光动力学系统[6]。由于非线性与外部激励的共同作用，非线性振荡器能够呈现丰富的动态现象，如周期性振荡、分岔、多稳态、在噪声激励下的随机共振以及混沌现象[7]、[8]、[9]。因此，非线性振荡器的建模与动态控制已成为非线性科学和应用数学领域最重要的研究课题之一。随着数字计算与离散建模技术的快速发展，离散非线性映射逐渐成为研究非线性动力系统以及实现数字信号快速处理的重要工具。与描述类振荡器模型的连续微分方程（ODEs）相比，离散映射具有更简单的数学形式和更低的计算复杂度，因而更适用于数值模拟、数字电路实现、信号处理以及神经信息传递[10]、[11]、[12]、[13]。更重要的是，通过适当的离散化方案与参数变换，连续非线性振荡器中观察到的许多复杂动态行为也可在离散映射中得到再现[14]。在各类离散映射中，二次非线性映射已在前人研究中得到广泛研究。典型的例子包括洛伦兹映射[15]和埃农映射[16]，它们被广泛用于研究分岔演化、混沌产生、安全通信以及神经信息处理[17]、[18]、[19]。某些非线性振荡器的动态行为可通过离散二次映射得到有效再现，这为这些复杂系统的数字实现提供了理论基础[14]、[20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]。例如，郭等人[20]、[21]阐明了忆阻映射的物理含义，并定义了相应的能量函数。杨等人[22]研究了噪声环境下忆阻映射神经元的放电特性，提出了一种用于控制忆阻映射的自适应调节技术，从而提供了一种实用的控制方法[23]。此外，还有研究者[24]、[25]提出了从基于忆阻器的电路衍生的忆阻神经元到忆阻映射神经元的转换过程，以及它们各自的能量函数。离散忆阻器在数字信号处理以及智能计算领域发挥着重要作用[26]、[27]、[28]、[29]、[30]。迄今为止，已经提出了多种离散忆阻器的数学表达形式，包括双曲形式、立方形式以及其他非线性或高阶形式[31]、[32]、[33]、[34]、[35]，这些表达形式被引入到已知或假设的映射中，用于开展广泛的动力学分析以及电路实现工作。这些离散映射能够在一定程度上再现复杂的非线性动态行为，其对应的信号处理流程也可通过等效的数字电路来实现[36]、[37]、[38]。忆阻器耦合映射还可应用于边界监测以及语音识别领域[39]、[40]。离散映射还可进一步扩展到忆阻神经网络以及异构霍普菲尔德型忆阻网络。这类系统能够产生丰富的吸引子结构、瞬态混沌以及复杂的动态行为，便于通过硬件进行验证，从而支持安全通信以及伪随机数生成等应用[41]、[42]。然而，目前大多数现有的离散忆阻器主要是基于数学定义构建的，其背后的物理背景及其物理意义尚未得到充分阐明。尤其是，这些高阶非线性离散忆阻器与实际的忆阻器件之间可能存在显著差异。因此，建立离散忆阻器与连续物理振荡器之间的对应关系，对于揭示离散忆阻系统的物理可靠性以及构建具有明确物理意义的动态模型具有重要意义。动态建模为估算复杂系统中可观测变量的演化提供了可行方法，而分数阶微积分的引入则使理论模型能够用来描述记忆效应、不对称扩散以及边界效应[43]、[44]、[45]、[46]、[47]。据认为，分数阶参数q与记忆损失相关，在不同的物理条件下会取相应的值[48]、[49]、[50]、[51]、[52]。大多数具有整数阶的非线性振荡器都具有明确的物理意义与生物物理内涵，例如，某些电路的物理方程可转化为具有精确能量定义（哈密顿能量）的无量纲类振荡器模型[53]、[54]、[55]、[56]、[57]，这种能量定义可源于电路中电容器、电感器以及忆阻器的内在场能量。对于那些没有明确物理背景的通用动态模型，所提出的能量函数可被视为通用的李雅普诺夫函数，它们也能用于预测复杂系统的动态稳定性。当物理模型仅有唯一的精确能量函数时，可利用基于能量流的自适应控制律来控制突触连接中的参数增长与耦合强度[58]、[59]、[60]、[61]、[62]，以实现能量平衡。尤其是在标准动态分析之外，对离散系统进行物理定义与能量调控[63]、[64]更具意义，能量平均值可用于预测包括映射模型在内的动态系统在噪声激励下是否会出现相干共振现象。尽管在二次非线性系统方面已取得了相当大的进展，但对于高阶离散映射的物理意义及其连续动态解释仍不够清晰。在许多实际的非线性电路中，尤其是在忆阻神经系统与非线性信号处理电路中，忆阻器常常会将高阶非线性函数引入系统动力学中。在这些非线性形式中，立方非线性尤为常见，因为它们能够自然产生双稳态、多稳态以及其他复杂的振荡行为。然而，对于立方非线性系统以及更一般的高阶多项式映射，其相应的变换机制、缩放关系以及哈密顿能量构建方法至今仍未得到充分探索。高阶非线性项在许多现实系统中普遍存在，包括达芬振荡器[1]、神经电路[65]、[66]、忆阻系统[67]以及具有多稳态的机械结构[68]。与具有二次非线性的动态系统相比，高阶非线性项使得动态系统中的势阱结构更为复杂，动态行为也更加丰富，其背后的动态机制在于高阶非线性会在系统中引入类似且依赖于变量的参数，同时有更多变量发生相互作用。因此，为高阶非线性系统建立一种通用的连续与离散变换框架具有重大的理论与实践意义。这样的框架不仅能提供一种统一的方法，用于从非线性振荡器构建近似的等效离散映射，还有助于为高阶映射构建具有物理意义的哈密顿能量函数。此外，它还有可能进一步加深人们对非线性振荡器与离散映射之间内在关系的理解。在许多基于忆阻器的实际电路与非线性信号处理系统中，忆阻器通常会将高阶非线性函数引入理论模型中，例如立方项。尽管这些高阶离散忆阻函数能够有效再现复杂的动态行为，但其背后的物理意义以及与连续项之间的潜在关联仍不够清晰。因此，建立高阶离散映射与具有物理意义的连续振荡器之间的对应关系，对于揭示离散映射的物理背景尤为重要。基于上述考虑，本研究提出了一种适用于立方及任意高阶多项式非线性映射的通用连续与离散变换框架。通过引入通用的缩放变换和时间步长归一化，离散高阶非线性映射可被转换为近似等效的连续非线性振荡器，同时保留其核心的动态结构。基于亥姆霍兹定理并通过矢量场分解，可构建相应的哈密顿能量函数。此外，还研究了包括立方映射、达芬振荡器以及菲茨休-纳古莫神经元模型在内的典型非线性系统，以验证所提框架的有效性与普适性。最后，建立了适用于任意高阶多项式系统的统一变换形式，为研究忆阻神经系统、多稳态电路以及高阶非线性网络中的哈密顿能量演化与复杂动力学提供了理论基础。

章节节选：方案与讨论：由于具备内在的记忆特性以及强烈的非线性特征，忆阻器在非线性电路、神经工程以及信号处理系统中有着重要应用。作为莱昂·楚亚提出的第四种基本电路元件，忆阻器能够有效描述磁通量与电荷之间的记忆依赖关系，已被广泛应用于混沌电路、人工突触、类脑系统、非线性振荡器等领域。

理论分析与数值结果：以对应于方程(22)和方程(28)的FHN模型为例，其对应的电路结构如图1所示。非线性电阻NR的电流-电压特性一般满足公式iNR=?1ρ(V?13V3V02)。此处，参数p和V0分别代表线性工作区域内的等效电阻以及NR的截止电压。根据基尔霍夫定律，我们可以得到方程组{CdVdt=iS?iNR?iL，LdiLdt=V+E?iLR。任何实际的物理系统都需要无量纲化处理。

结论：本文提出并系统研究了适用于高阶非线性映射的通用连续与离散变换框架。与主要针对二次非线性系统的现有连续化方法不同，本研究将该变换理论扩展到了立方及任意高阶多项式非线性映射。通过引入通用的缩放变换和时间步长归一化，离散高阶映射可以被……

资金声明：本研究未获得任何资金支持。

利益冲突：本文的发表不存在任何利益冲突。

数据声明：本研究未生成新的数据。

CRediT作者贡献声明：迟朝阳：形式分析、数据整理；王斌驰：验证、形式分析、数据整理；马军：写作——审阅与编辑、指导、形式分析、概念构思；雷兆：写作——初稿撰写、验证、方法论、形式分析、数据整理。雷兆|王斌驰|迟朝阳|马军