接触力学中等几何边界层的嵌入网格方法

《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》：An embedded mesh approach for isogeometric boundary layers in contact mechanics

　　

•提出了一种新的接触问题离散化策略。
•边界层和体域的分离允许独立的网格定制。
•等几何边界层（IGA边界层）确保接触界面的光滑表示。
•实现了一种基于mortar的嵌入网格耦合。
•二维和三维例子展示了鲁棒性和适用性。

**论文解读：接触力学中等几何边界层的嵌入网格方法**

**研究背景与问题**
接触问题在物理和生物系统中广泛存在，涉及摩擦、磨损、润滑及热力耦合等复杂界面现象。基于有限元法（FEM）的接触公式已取得显著进展，但传统拉格朗日多项式离散化存在C⁰单元间连续性，导致接触界面法向向量场不连续，引发数值振荡，尤其在大滑动问题中。等几何分析（IGA）采用非均匀有理B样条（NURBS）基函数，能提供C¹或更高阶连续性，确保光滑接触界面，但IGA体网格生成复杂，尤其对于三维几何，需构造与边界表示（B-rep）共形的体积参数化，这成为瓶颈。此外，现有方法如NURBS局部富集或浸入边界法虽部分缓解问题，但尚未在三维接触问题中全面应用。因此，研究人员提出一种新离散化策略，旨在结合IGA的光滑接触界面优势与简单灵活的网格生成。

**研究内容与结论**
研究人员开发了一种嵌入网格方法，将接触体分为两个子域：等几何边界层域和体域。边界层网格通过向内偏移NURBS B-rep生成，保持原始参数化结构；体域采用笛卡尔背景网格，两者通过基于mortar的耦合方法连接。该方法在二维和三维接触问题中验证了准确性和鲁棒性，实现了最优空间收敛率（O(h²)），并成功模拟了三维大变形动态接触。论文发表在《COMPUTER METHODS IN APPLIED MECHANICS AND ENGINEERING》，表明该方法为接触问题提供了高效、灵活的离散化框架。

**关键技术方法**
研究采用以下主要技术：
1. **NURBS边界层网格生成**：通过偏移B-rep构造边界层，对比了控制多边形平移、插值法和弹簧系统优化三种偏移方法，其中优化法具有最高局部精度。
2. **笛卡尔背景网格生成**：基于边界层界面的轴对齐包围盒（AABB）生成简单六面体网格，与边界层重叠。
3. **mortar基嵌入网格耦合**：引入拉格朗日乘子场λ^*，在参考构型界面Γ^*上弱施加位移连续性，采用双拉格朗日乘子空间避免不稳定性。
4. **剪切单元数值积分**：对与边界层界面相交的笛卡尔背景网格单元（剪切单元），采用约束Delaunay三角剖分分解为子单元，进行高斯积分。
（注：无样本队列来源，所有算例为数值模拟。）

**研究结果**

**5.1 补丁测试**
通过直、斜、曲三种界面配置的补丁测试，验证了嵌入网格耦合的一致性。直界面和斜界面下恢复恒定应力场至机器精度，曲界面误差小于1.6%，源于几何积分近似。

**5.2 网格锁死**
采用弯曲梁算例，研究不同网格尺寸比（h^(B)/h^(L) ≈1.2和4.2）及材料刚度比。当材料参数相同时，即使细网格覆盖粗网格，法向界面牵引力仅出现局部小振荡，无锁死；当NURBS网格刚度显著高于背景网格时，出现明显锁死。

**5.3 接触问题收敛性研究**
以块体与刚性面接触为例，采用两类网格配置（边界层二次NURBS、背景线性或二次拉格朗日单元）。均匀细化下，背景线性单元时收敛率O(h¹)，背景二次单元时达到最优O(h²)，证明方法能灵活结合不同插值阶数而不损失收敛性。

**5.4 赫兹接触问题**
半圆柱与刚性板接触，数值解与赫兹线性解吻合良好。通过选择性细化边界层中央区域（局部细化），总自由度远少于全均匀细化拉格朗日网格（约1.3百万），但接触牵引力分布与参考解一致。惩罚参数?敏感性分析表明，?~100E时总能量误差呈线性收敛。

**5.5 双环接触**
三维动态接触算例，两实心环（Neo-Hookean材料）以初始速度相向运动，经历大变形和显著滑动。边界层网格（49,248自由度）与笛卡尔背景网格（22,221自由度）耦合，总系统142,932自由度，成功模拟了接触过程，得益于NURBS的C¹连续性。

**讨论与结论**
讨论部分指出，所提出的方法通过分离边界层和体域，避免了传统IGA体网格生成难题，同时保留了接触界面的光滑性。数值例子表明，在相同材料参数下，mortar耦合稳定，且通过选择性细化边界层可实现高效高精度。未来工作将关注基于Nitsche方法的锁定不敏感耦合技术、小剪切单元体积的鬼影单元稳定化技术，以及更复杂三维几何的应用。

研究结论翻译如下：在这项工作中，研究人员提出了一种新的接触问题离散化方法，该方法采用NURBS边界层，并展示了该方法的算法构建块。从网格生成开始，研究人员引入了一种简化策略，基于构建包含接触体NURBS B-rep表示的边界层网格。接触体的剩余体域由非共形笛卡尔背景网格描述。这导致边界层网格与背景离散化重叠。尽管有多种技术可用于生成边界层网格，但通过偏移操作构建是特别自然且直观的选择。研究人员比较了三种生成偏移几何的方法，这些方法保留了边界层的原始参数化表示。当局部曲率半径小于偏移厚度时，可能出现自交的特殊情况，这将在未来工作中处理。为了耦合重叠网格，研究人员实现了一种标准的mortar型方法。数值实验证明了其可用性，表明当两个网格共享相同材料参数时，该方法保持稳定，与网格尺寸比无关。多个数值例子进一步验证了所提出的嵌入网格方法。此外，在接触问题中验证了离散化的空间收敛性。最后，展示了一个三维大变形接触例子。总体而言，所提出的离散化方法为接触问题提供了一个有吸引力的框架，因为它结合了NURBS B-rep在接触界面的高连续性和光滑性，以及体域的简单灵活网格生成策略。未来工作将集中于对网格锁死完全不敏感的耦合技术，如Nitsche方法。此外，将研究针对小剪切单元体积的鬼影单元稳定化技术。最后，将在更复杂的三维几何背景下探索所提出方法的能力。