地月系统中的轨迹设计：一种Levenberg-Marquardt方法

《Acta Astronautica》：Designing trajectories in the Earth–Moon system: A Levenberg–Marquardt approach

　　

摘要：研究人员通过一种非线性优化视角，在高保真星历模型（HFEM）下追求地月空间中的轨迹设计，该视角基于从低保真模型（即圆型限制性三体问题（CR3BP））解的过渡。优化问题以多重打靶法的方式提出，旨在实现分段连续性，同时跟踪与原始CR3BP结构的接近程度。对各种公式的分析导致选择无约束最小二乘问题作进一步研究。非线性优化问题被凸化，并研究了使用Levenberg-Marquardt（LM）算法（作为大多数文献中最小范数（MN）更新方程的替代方案）对其更新步长控制和固有鲁棒性的影响。采用了自适应加权等额外技术，以进一步巩固所提出算法在挑战性场景中的行为。数值试验评估了所提出方法的充分性，并在各种应用案例（包括生成准周期轨迹和它们之间的轨道转移）中将其与最小范数基线进行比较。研究发现，所提出的技术是最小范数方案的一个合适替代方案，通常能更好地保持与原始CR3BP轨迹的接近度，并在数值鲁棒性和稳定性方面提供优势。此外，以松弛方式包含接近目标的简易性被证明有助于控制最终收敛解的形状。

论文解读文章：
研究背景、存在问题及研究意义：
可持续探索地月空间（cislunar space）是当前国际航天领域的重要议题，NASA和ESA等机构通过Artemis计划和Gateway月球轨道站等倡议，推动人类重返月球。在此背景下，地月系统内航天器轨迹的设计至关重要，需满足物理约束并最小化控制开销，以提升任务寿命和可行性。然而，地月空间动力学具有固有混沌特性，精确轨迹设计需采用高保真星历模型（HFEM）以准确描述地球和月球的复杂相对运动及主要摄动效应。圆型限制性三体问题（CR3BP）作为低保真近似模型，虽能提供动力学结构的初步见解，便于生成周期和准周期轨道，但其对称性在更真实的模型中消失，导致HFEM下的轨迹确定过程复杂化。幸运的是，HFEM动力学常可视为对CR3BP的摄动，故CR3BP解可为轨迹设计算法提供良好的初始猜测，即通过“过渡”过程将低保真解转化为高保真解。现有文献中，多重打靶法（multiple-shooting）是过渡轨迹的主要方法，它通过分段积分并保证连续性，同时常采用最小范数（MN）更新方程以保持接近初始猜测。但MN方案存在固有缺陷：其不保证连续性残差单调递减，易发散；且包含接近目标等额外约束时，需修改问题结构，导致过约束或计算复杂度增加。为此，研究人员提出一种基于Levenberg-Marquardt（LM）算法的新方法，旨在通过阻尼项控制更新步长，增强鲁棒性，并以松弛方式包含接近目标，从而克服MN方案的不足。该研究发表在《Acta Astronautica》。

主要关键技术方法：
研究人员采用固定时间（fixed-time）多重打靶法，将轨迹分为N个片段，以航天器在片断点（patch point）的状态（位置和速度）为设计变量，连续性约束为状态-状态之差。优化问题被表述为无约束最小二乘问题，通过凸化（convexification）得到线性近似，并引入LM算法的阻尼项β_k（迭代相关标量），形成更新方程ΔX_k^* = -(ξJ_k^TJ_k + Q + β_kI)^-1(ξJ_k^TF_k + QE_k)，其中J_k为雅可比矩阵（由状态转移矩阵Φ_j组成），Q为接近目标权重矩阵，ξ为自适应权重（通过凹函数G(u)=log(u+δ+?)的动态调整），E_k为设计变量与期望值之差。LM算法通过自动调整β_k保证连续性残差F(X)非增，从而避免发散；自适应加权用于在接近目标与连续性目标间平衡。初始化时，需根据时间对应关系（式(6)）调整片断点历元，并利用坐标变换（式(4)-(5)）将CR3BP解（来源于NASA目录）转换为HFEM初始猜测，仿真起始历元设为2020年1月1日。

研究结果（保留每个小标题）：
7.1 准周期L2北方Halo轨道：
通过将CR3BP中周期约15.08天的L2 Northern Halo轨道（Z振幅2.79×10⁴ km）过渡到HFEM，考虑50个周期（约2年），采用每周期4个片断点。研究发现，LM算法（无接近约束，β₀=10^-5）与MN方案均能收敛，最终位置误差约800 km（Z振幅的3%），收敛速度相近。当片断点减少至每周期2个时，初始猜测质量下降，LM算法通过调整β₀（如0.1）能保持更好的接近度（位置误差减半），而MN方案在无步长限制时发散，即使限制步长（γ=0.1）也需更多迭代且误差更大。这表明LM算法通过阻尼项提供了更灵活的控制。

7.2 其他准周期轨迹：
研究扩展到L1和L2拉格朗日点附近的8种轨道（南方Halo、Lyapunov、北方Halo、垂直族），周期11.5-22.09天，每周期2个片断点。MN方案在无步长限制（γ=∞）时仅对2个轨道收敛，其他发散；限制步长（γ=0.1或0.01）虽部分收敛，但仍有轨道（如轨道b、d、h）在100次迭代内无法收敛。LM算法在所有情况下均未发散，仅对轨道d（β₀=10^-5）和轨道e（β₀=10^-1）收敛较慢（100次迭代内未达阈值，但残差接近）。总体而言，LM算法通过增大β₀可提升接近度，最终位置误差比MN最佳结果低50%以上，且无需手动调整步长限制。

7.3 轨道转移：
考虑从L2北方Halo轨道到L1 Lyapunov轨道的转移，初始猜测由不稳定流形和稳定流形组成（基于Floquet理论计算），并包含10个周期绕行。改变片断点数（n=70,60,50,40），MN方案在n=50和40时发散，而LM算法在所有情况下均收敛，且收敛速度与接近度随β₀选择而变化（如β₀=10^-5时，n=60的迭代次数为69，总位置误差2.314×10^-1）。进一步，通过设置接近权重矩阵Q（如仅约束第一个片断点或两个连续片断点），LM算法能引导收敛解分别严格匹配出发轨道或到达轨道，同时保持总位置误差在同一数量级，这得益于自适应加权（ξ动态调整）的松弛包含方式。

总结讨论与结论：
讨论部分：LM算法通过阻尼项自动控制步长，确保连续性残差单调递减，从而在初始猜测较差时避免发散，这是其相对于MN方案的核心优势。在数值实验中，LM算法在多种轨道和转移场景中均表现出鲁棒性，且通过松弛引入接近目标，无需重新定义优化问题。然而，自适应加权会显著降低收敛速度，且阻尼因子的选择（如β₀和调整因子α、η）需根据应用场景经验确定。未来工作应评估LM算法在可变时间公式下的表现，并探索挑战性轨道（如近直线Halo轨道）的过渡，可能需结合同伦方法。

研究结论翻译：
本文提出了一种新颖算法，用于将地月空间航天器轨迹从低保真模型（如CR3BP）过渡到考虑地球、月球和太阳引力影响的高保真模型（HFEM），后者通过精确星历数据建模。该算法采用Levenberg-Marquardt方法，通过在固定时间多重打靶法非线性最小二乘优化问题中引入阻尼项，赋予算法固有鲁棒性和稳定性，这在初始猜测较差时尤为有用，而典型的最小范数方案可能发散或收敛到远离原始CR3BP解的轨迹。以松弛方式包含额外约束（如接近目标）被证明优于现有替代方案。自适应权重定义有助于提升算法稳定性并减少手动调整。数值结果验证了LM算法在过渡周期轨道（如L2北方Halo轨道）和轨道转移中的充分性，其通常能保持更好的接近度，且收敛速度与MN方案相当。该算法易于实现、计算轻量，是HFEM过渡问题的有效替代方案。