无动力飞行器终端速度控制的最佳引导策略

《Aerospace Science and Technology》：Optimal Guidance for Terminal-Velocity Control of Unpowered Flight Vehicles

　　摘要
本文研究了无动力飞行器终端速度控制的非线性最优引导问题，由于缺乏直接的推力控制手段，这一问题始终具有很高的挑战性。解决此类引导问题通常需要以闭环方式生成非线性最优控制问题的状态反馈控制指令；然而现有方法往往无法在要求的时间内收敛，且除非满足某些充分条件，否则无法保证其解的局部最优性。为克服这些限制，我们为终端速度控制问题构建了一组参数化的哈密顿极值函数。通过分析该参数化族的“无折叠投影”，我们得出了一个最优性的充分条件，并将其嵌入到一组参数化微分方程中，从而可通过简单的递推生成至少局部最优的轨迹数据集。基于该数据集训练的神经网络能够在毫秒级时间内生成最优引导指令。数值仿真结果表明，所提出的方法不仅能以最小的控制 effort实现所需的终端速度，还能在气动干扰存在的情况下保持有效性。

引言
高超音速滑翔飞行器有望成为点对点运输的重要平台，可在抵达目标区域后释放有效载荷[1]。要确保安全释放，就必须精确控制飞行器的终端速度及其方向[2]，而这又需要解决终端速度引导问题。然而，由于滑翔飞行器缺乏直接的推力控制手段，解决这一引导问题十分困难。迄今为止，已经有一些终端速度控制方法被提出，这些方法可分为三类：1）预测-校正方法[2][3][4]；2）基于比例导航（PN）的方法[5][6][7][8]；3）基于轨迹形状的方法[9][10][11][12]。

预测-校正方法通过迭代调整纵向飞行剖面或采用横向机动来消除终端状态的预测误差，从而控制终端速度的大小。例如，Wang等人[2]通过割线法调整纵向通道中高度与速度关系的系数，以此控制终端速度的大小。为同时控制终端速度的方向，同一团队进一步约束了该剖面的终端斜率，使得在迭代过程中就能自然满足决定终端速度方向的终端飞行路径角度约束[3]。由于终端速度大小的控制在一定程度上与方向控制相互关联，Zhu和Zhang[4]采用横向俯仰角调节来控制终端速度大小，同时在纵向平面中使用分层自适应律来控制终端速度方向。

对于基于PN的终端速度控制方法，通常会在基本的PN指令中加入偏置项[13][14]，或改变引导增益[15][16]。但在这些方法中，仅能控制终端速度的方向。为进一步控制终端速度的大小，Wang等人[5]在带有偏置的PN律中引入了额外的攻角指令。类似地，[6]在带偏置的PN律中加入了比例误差项，以确保终端速度大小能在剩余飞行时间内趋近于期望值。Lee等人[7]建立了终端速度大小与引导增益之间的显式关系，从而可高效确定所需的增益。最近，Wan等人[8]则利用时变引导增益与偏置项的联合效应来控制终端速度大小。

与预测-校正方法和基于PN的方法不同，基于轨迹形状的方法利用数学曲线来描述飞行轨迹的剖面，并调整曲线系数以满足终端速度的约束。例如，Zhou等人[9]使用三阶贝塞尔曲线来近似飞行轨迹，通过约束贝塞尔曲线的终端斜率来保证终端速度的方向，同时通过迭代调整曲线系数来控制终端速度的大小。Tahk等人[10]则使用多项式曲线来控制终端速度——具体而言，他们通过迭代调整与加速度指令相关的参数来控制终端速度的方向，同时通过在指令中加入偏置项来控制终端速度的大小。Moon等人[11]将高度表示为沿飞行方向的多项式函数来近似飞行轨迹，然后通过约束终端斜率使其与终端速度方向一致，再通过牛顿型方法迭代调整终端曲率参数来控制终端速度的大小。作为[11]方法的延伸，[12]中通过求解优化问题来确定多项式系数，以满足终端速度的约束。

上述研究提出了目前解决带有终端速度约束的引导问题的先进方法，但大多数方法都依赖于对终端速度大小的预测。由于系统动力学具有非线性特征，准确预测终端速度大小通常不可靠，这使得基于终端速度控制的引导问题仍属未解之谜。解决这一问题的一个根本途径是将非线性动力学纳入最优控制问题（OCP），并将终端速度作为边界条件，再通过实时最优反馈控制来生成引导指令[17]。

解决相应的OCP问题可采用两类方法：直接法和间接法[18]。直接法是通过将OCP转化为非线性规划问题来实现的[19]。Liu等人[20]采用了序贯凸化方法来解决非线性轨迹优化问题。为降低计算负担，Halbe等人[21]则使用模型预测静态规划来生成引导指令。而间接法则利用庞特里亚金最小原理（PMP）[22]将OCP转化为两点边界值问题来求解。例如，有人在间接法中引入了同伦策略[23]，以便在满足终端速度约束的同时找到最优轨迹。不过，这些方法通常涉及迭代过程，因此难以在飞行器上实现[24]。

由于飞行器上的计算资源有限，人们开始应用神经网络来通过近似飞行状态到最优控制指令的映射关系来减轻计算负担，参见参考文献[25][26][27]。由于神经网络的推理过程仅涉及基本的代数运算，因此能够以毫秒级时间生成最优引导指令，满足严格的实时性要求。然而，神经网络的性能在很大程度上取决于训练数据。通常，无论是通过直接法还是间接法构建数据集都需要大量时间，而且这些方法也无法保证生成至少局部最优的解，因为往往没有考虑最优性的充分条件[28][29][30]。为避免构建数据集的繁琐工作，人们引入了基于物理信息的神经网络，将最优性条件直接纳入损失函数中[31][32]。不过，这些方法同样没有明确验证最优性的充分条件，因此所得解的局部最优性也无法得到完全保证。

与那些使用直接法或间接法生成数据集的基于神经网络的方法不同，本文提出了一种参数化方法。具体而言，我们首先利用庞特里亚金最小原理推导出与终端速度控制引导问题相关的OCP的必要条件，然后利用这些条件构建一组参数化的哈密顿极值函数。通过将这些最优性的充分条件嵌入到参数化的哈密顿极值函数中，我们无需求解任何数值优化问题，即可通过简单递推生成至少局部最优的轨迹数据集。此外，用于生成数据集的参数受到物理规律的约束，这使得数据集的生成更为高效。最后，基于该数据集训练的神经网络不仅能实时生成引导指令，还能确保所得轨迹至少具有局部最优性，因为已满足了最优性的充分条件。

本文的其余结构如下：第2节介绍本研究中所考虑的动力学模型与约束条件，并建立OCP模型；第3节推导并阐述OCP的必要条件以及哈密顿极值函数的参数化形式；第4节详细介绍数据集生成算法及神经网络的结构；第5节展示并分析数值仿真结果；最后，第6节对全文进行总结。

问题建模
考虑如图1所示、在地球垂直平面上飞行的无动力飞行器。依据[34]，假设地球是静止的。设r∈R+为从地球中心到飞行器的径向距离，θ∈[0, 2π)为沿飞行方向的角，V∈R+为飞行器相对于地球的速度大小，γ∈[?π/2, π/2)为飞行路径角度。则飞行器的动力学方程可表示为：
r˙=Vsinγ,
θ˙=Vcosγ/r,
V˙=?ρV2SCD2/m?μsinγ/r2,
γ˙=ρVSCL2/m+Vcosγ/r?μcosγV/r2。

最优轨迹的特征描述
在本节中，我们利用庞特里亚金最小原理推导出相关必要条件，进而构建一组参数化的哈密顿极值函数。

通过神经网络实现实时求解
本节首先详细说明如何利用上述理论成果生成至少局部最优的轨迹数据集。随后，我们将介绍用于实时近似实现局部最优反馈控制的神经网络的设计与训练方法。

数值仿真
在本节中，我们将通过一些数值示例来验证上述理论成果。第2节中提到的动力学参数取自[35]，现列于表1中。之后，我们可以根据算法1生成数据集，其中α˙min和α˙max分别设置为?2度/秒和2度/秒。需要注意的是，算法1中的采样间隔必须足够小，否则生成的数据集可能无法涵盖所有可能的最佳解。

结论
本文提出了一种参数化方法，用于解决垂直平面内无动力飞行器的终端速度控制引导问题。通过运用庞特里亚金最小原理推导出的必要条件，我们构建了哈密顿极值函数的参数化形式，并证明这些极值函数可由三个标量确定。为确保这些极值的局部最优性，我们基于几何特性建立了相应的充分最优性条件。

CRediT作者贡献声明
Haoran Ma：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、验证、方法论。
Zheng Chen：写作——审稿与编辑、验证、方法论、资金获取。
Ziteng Geng：写作——审稿与编辑、验证。

利益冲突声明
Zheng Chen声明其获得了中国国家自然科学基金的财政支持。其他作者则声明自己不存在任何可能影响本文工作的已知利益冲突或个人关系。

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