一种基于可靠性的微波天线同构拓扑优化方法

《Applied Mathematical Modelling》：A reliability-based homologous topology optimization method for microwave antennas

　　•提出了一种基于可靠性的天线同构拓扑优化方法。•概率约束可确保在不确定性条件下仍保持表面精度的高稳定性。•该双循环嵌套优化问题可通过SORA算法高效解耦求解。•已在二维抛物面天线和三维平面天线结构上进行了验证。

引言
微波天线是用于发射和接收微波信号的关键设备，广泛应用于卫星导航、遥感、雷达、无线通信、广播以及军事系统等领域[[1], [2], [3], [4]]。为了实现优异的电磁性能，如窄波束、高指向精度、高增益以及低旁瓣水平，微波天线的功能表面需满足极高的精度要求。然而，风载、重力及热负荷等环境因素会导致表面误差，进而直接影响其电磁性能。同构设计[[5], [6], [7]]在提升微波天线性能方面发挥着重要作用，它通过设计功能表面的支撑结构，确保该表面在变形前后仍能保持一致的几何形态。换言之，功能表面的变形仅表现为刚体运动或某些几何参数（如抛物面的焦距）的变化，而不会降低天线的电磁性能。天线功能表面支撑结构的初始拓扑结构直接决定了能否实现所需的同构精度。自1988年Bends?e和Kikuchi[8]提出拓扑优化方法以来，由于其在结构轻量化及性能提升方面的巨大潜力，该技术已被广泛应用于机械、土木工程和航空航天等诸多领域[[9], [10], [11], [12], [13], [14], [15]]。因此，基于拓扑优化的同构设计——本文中称之为同构拓扑优化——也逐渐受到微波天线结构设计领域的重视，用以满足严格的表面精度要求。

目前关于同构拓扑优化的研究主要致力于通过改进优化算法和构建新的目标函数来提升结构性能。Ihara等人[16]率先将基于均匀化的拓扑优化方法应用于同构设计，通过优化微观结构单元的方向和尺寸来最小化表面偏差。在传统拓扑优化的基础上，Leng等人[17]和Zhang等人[18]通过给天线功能表面赋予更高的权重来修改柔顺性目标函数，从而引导材料向关键区域分布，显著提升同构性能。Hu等人[19]进一步将天线增益直接作为优化目标，构建了一个以电磁性能为导向的集成拓扑优化框架。Gao等人[20]提出了一种融合超单元模型、拓扑优化和多目标遗传算法的集成方法，该方法被成功应用于60米亚毫米波望远镜的背结构，在降低计算成本的同时有效提升了表面精度。Chen等人[21]提出了一种保形方法，可在最小化载荷引起的雷达截面变化的同时保持结构刚度。针对不同的工作条件，Shintani等人[22]开发了一种适用于多种仰角的多材料同构拓扑优化方法，既实现了重量减轻，又满足了高精度的同构要求。Feng等人[23]建立了一种基于统一缆杆模型的预应力天线结构拓扑优化方法。Li等人[24]则进一步考虑了几何非线性效应，通过引入预应力重新平衡机制并修改柔顺性目标函数，提升了大变形情况下拓扑方案的可靠性。

与微波天线的同构设计类似，其他高精度系统，如光学望远镜，也面临着极高的表面精度要求。Park等人[25]利用拓扑优化设计了一种能够在自重和抛光载荷作用下保持高刚度重量比的反射镜。Kurita等人[26]运用遗传算法优化了3.8米光学望远镜的结构，在保证不同仰角下实现同构变形的同时成功降低了重量。着眼于成像质量，Sahu等人[27]通过选择性抑制彗差和像差等特定的泽尼克像差来进行结构优化。从更宏观的角度来看，Koppen等人[28]提出了一种系统级拓扑优化方法，可用于同时优化多组件光机械系统。通过整合光机械耦合效应，该方法在质量、刚度和位置精度等严格限制条件下有效缩小了光斑尺寸并提升了整体光学性能。

上述研究表明，同构拓扑优化在实现高表面精度和减轻重量方面具有显著优势，为高性能微波天线的研发奠定了坚实的理论基础。然而，现有研究大多属于确定性同构拓扑优化（DHTO）范畴。DHTO假设材料属性、几何尺寸、外部载荷及边界条件都是精确且固定的，因而忽略了实际工程中存在的各种不确定性。在实际制造和服务环境中，微波天线不可避免地会面临加工公差、材料属性变化以及环境载荷波动等不确定因素。由于确定性优化往往会使材料利用达到极限以实现最佳性能，因此由此产生的结构通常处于约束边界上，对参数变化极为敏感。 Consequently，哪怕是微小的制造偏差或运行干扰都可能导致微波天线出现非预期的变形，使得实际表面精度远远低于理论预测值，进而严重降低天线的电磁辐射性能。因此，仅依赖确定性条件无法满足现代微波天线所要求的极高可靠性和稳健性。

为应对这些挑战，有必要在微波天线的同构拓扑优化中考虑不确定性的影响。为此，本文将概率可靠性理论融入同构拓扑优化框架，提出了一种基于可靠性的微波天线同构拓扑设计（RBHTO）方法。RBHTO不仅能在设计阶段量化不确定性对表面精度的影响，还能主动寻找满足可靠性约束的最佳材料分布，确保微波天线在复杂的实际工作条件下仍能保持稳定的同构性能。本文的其余结构如下：第2节阐述同构拓扑优化的基本模型；第3节建立RBHTO模型并详细介绍相应的求解算法；第4节通过两个数值算例验证所提方法的有效性；第5节对全文进行总结。

章节摘录
微波天线同构拓扑优化
在基于密度的同构拓扑优化框架[29]中，首先需要为每个网格元素分配一个介于0和1之间的伪密度变量ρi。其中，ρi=0表示空洞，而ρi=1则表示实心元素。在带惩罚的各向同性固体材料法[SIMP] [30]中，每个元素的杨氏模量是通过幂律公式插值得出的。对于第i个元素，其杨氏模量可表示为：
Ei(ρi)=Emin+ρip(E0?Emin)
其中Emin是一个较小的下限值。

基于可靠性的同构拓扑优化方法
在微波天线的设计、制造和使用的整个生命周期中，存在着各种不确定性，包括桁架结构的几何尺寸偏差、材料属性的变动以及外部载荷的随机性。如果在设计阶段忽视这些不确定性，可能会导致设计方案在实际应用中的性能下降甚至失效。因此，本文将不确定性引入微波天线结构设计中。

案例分析
为验证本文提出的用于微波天线的RBHTO方法的有效性，本节研究了两个典型的数值算例。第一个算例是二维抛物面天线，用于探讨支撑位置对RBHTO结果的影响；第二个算例是三维平面天线，用于分析载荷变异系数对RBHTO的影响。对于这两个算例，都分析了DHTO与RBHTO结果之间的差异，并阐述了同构拓扑设计的优势。

结论
本文提出了一种考虑固有不确定性的微波天线RBHTO方法。该方法将不确定性明确纳入优化框架，从而形成一种在满足同构精度和柔顺性方面的概率约束条件下最小化天线体积的优化模型。由此产生的双循环嵌套问题可通过SORA算法高效解耦求解。所提出的方法已应用于平面天线的同构拓扑优化中。

作者贡献说明
Jinwu Li：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，指导，方法论，研究，资金获取，概念构思。Qiuliang Xian：写作——初稿撰写，可视化，软件。Shufei Feng：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，指导，软件，方法论，研究，概念构思。Sihao Qian：写作——审稿与编辑，验证，软件，资金获取。Jianguo Wang：写作——审稿与编辑，可视化，资金获取。
Jinwu Li|Qiuliang Xian|Shufei Feng|Sihao Qian|Jianguo Wang|Jianwen Guo