一种用于图像去噪中非线性演化偏微分方程模型的新型正则化方法：分析与数值模拟

《Applied Mathematical Modelling》：A Novel Regularization Approach for Nonlinear Evolution PDE Models in Image Denoising: Analysis and Numerical Simulations

　　•针对图像去噪中的非线性演化偏微分方程模型，提出了一种新的正则化框架。•该正则化方法可将问题转化为具有非标准扩散行为的明确演化问题。•通过严格的函数分析和变分分析证明了该问题的适定性。•设计了稳定的数值算法来近似处理所提出的偏微分方程模型。•数值实验表明，该正则化方法在噪声去除方面具有显著效果。

问题阐述
由于在图像处理和计算机视觉领域中的核心地位，图像去噪问题在过去几十年里受到了广泛关注[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]。传统方法通常基于变分法和偏微分方程，将去噪过程视为能量最小化问题，其表达式如下：
minE(u)=R(u)︸正则化项 + Λ∥u?f∥L2(Ω)2︸保真度项，
其中f表示给定的（观测到的）图像。

适定性与理论结果
设a:Ω￣→[1,+∞)为连续函数。记a?:=infx∈Ω￣a(x)，a+:=supx∈Ω￣a(x)。与a(·)相关的变指数勒贝格空间定义为：
La(·)(Ω):={η:Ω→R且可测|∫Ω|η(x)|a(x)dx<∞}。
该空间配备了卢森堡范数∥η∥La(·)(Ω):=inf{δ>0:∫Ω|η(x)δ|a(x)dx≤1}。在[20]的定理1.3中建立了这些空间中的一个基本不等式，该不等式对于推导能量估计非常重要：
min{∥η∥La(·)(Ω)a±}≤∫Ω|η(x)|a(x)dx≤max{∥η∥La(·)(Ω)a±}，?η∈La(·)(Ω)。
用a′(·)表示……

在图像去噪中的数值应用
本节详细介绍了针对所提出的变分模型（1.6）所实现的离散数值离散化方法，并对其理论特性进行了全面的实验验证。为了评估该模型在保留细节和恢复结构方面的能力，还在具有复杂几何结构的多种挑战性图像上进行了数值测试。通过向干净源图像中添加高斯噪声来模拟真实的图像退化现象。

总结与展望
在本研究中，针对图像去噪问题提出了一种新的正则化框架，该框架结合了变指数势函数和矩阵值扩散算子。这种表述方式使得问题转化为一种受非标准增长规律支配且具有狄利克雷边界条件的演化型偏微分方程。通过在变指数勒贝格空间和索伯列夫空间框架下进行严格的数学分析，该问题得以重新构建。

未引用内容：表1、算法1以及图4、图5、图6、图7、图8、图9、图10、图11。

作者贡献说明
Abderrahim Charkaoui：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，方法论，研究，形式分析，概念设计。Anouar Ben-Loghfyry：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，可视化，软件，资源，方法论，研究，数据整理，概念设计。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。

Abderrahim Charkaoui | Anouar Ben-Loghfyry