用于电界面问题的标度边界有限元方法

《Computers & Structures》：Scaled boundary finite element method for the electric interface problems

　　摘要：本文提出了一种用于处理具有材料界面处不连续系数的电学界面问题的缩放边界有限元离散化方法。该方法通过将隐式欧拉时间积分与基于双线性四边形元素和一般多边形元素的空间离散化相结合，形成了一个完全离散的方案。未知场通过在这些元素上定义的缩放边界形状函数来近似表示。在数值实现方面，通过在界面相交处的背景网格上进行局部修改，构建出与界面相匹配的多边形网格，从而能够准确描述不连续性。通过一系列数值实验展示了所提方法的性能，结果表明该方法具有高精度和强鲁棒性，当时间步长满足Δt=O(h2)时可实现最佳收敛速率。

引言：在科学与工程问题中，界面无处不在，它们对工程结构的最佳性能和结构完整性起着至关重要的作用。其应用领域包括材料科学[1]、波传播[2][3][4]、静电学[5][6]、热传导[7][8]以及弹性力学[9][10][11][12]。然而，界面的存在会破坏解的规律性，这是因为系数会出现不连续性。此外，界面形态可能较为复杂且会随时间变化，这就需要一种强大的数值方法来处理这类问题。在数值框架中对界面进行建模大致可分为两类：拟合方法和非拟合方法。传统的基于域的离散化方法要求使用符合要求的网格，这样才能在使用线性元素对域进行离散化时获得二阶收敛速率[13]。但当界面较为复杂时，生成符合要求的网格就成了一大难题。这一问题引起了研究人员的极大关注，由此诞生了一系列非拟合方法，如浸入式界面法[14][15]、匹配界面法与边界法[16][17]，以及统一分割法，例如广义有限元法、扩展有限元法[18][19][20][21]和CutFEM法[22][23]。在所有这些非拟合方法中，界面都是隐式定义在固定的背景网格上，并通过水平集方法来追踪。尽管非拟合方法无需更新网格，但它们也存在一些难题。由于界面并不与背景网格重合，因此需要对界面条件进行特殊处理，这些条件可通过拉格朗日乘子法[24][25]、Nitsche方法[26]或有限差分方案来施加。另外，统一分割法还需要事先知道合适的增强函数，以便扩充有限元空间，从而准确捕捉界面附近的物理现象。CutFEM法虽然缓解了统一分割法带来的问题，但仍需计算界面上的跳跃项。在非拟合方法中，最简单的网格可能是矩形网格，但当界面与元素相交时，局部网格细化工作十分繁琐，且需要特殊处理[27][28][29]。本文提出了一种基于缩放边界有限元方法的界面拟合数值框架，用于解决电学界面问题。缩放边界有限元方法是一种半解析方法，它仅依赖于边界离散化，就像边界元方法一样，且不像有限元方法那样需要格林函数。由于只需对边界进行离散化，因此它可以容纳任意形状的元素，唯一的约束是元素必须满足星形凸性，即从元素内部的某一点出发，应能看到整个边界。此外，还可以轻松构建更高阶的元素[30][31][32]。缩放边界有限元方法所具备的灵活性和强鲁棒性，吸引了众多研究人员将其应用于工程和科学领域的各种问题，例如饱和多孔介质的地震响应分析[33]、热传导问题[34][35]、断裂力学[36][37][38][39]、波传播问题[40][41]，以及与CAD模型的无缝集成等。本文提出了一种基于缩放边界有限元方法的强大框架，用于对二维电学界面问题中隐式定义的界面进行建模。在该框架中，界面是通过水平集函数独立于背景网格来表示的。通过获取节点处存储的水平集值，就可以确定交点，然后在现场即时生成符合要求的网格。这有时可能会导致元素形状不佳，但由于有了缩放边界有限元方法框架的支撑，该方法对元素的大小和形状的敏感度较低。所提方法的显著特点如下：?背景网格与隐式定义的界面相互独立，界面与元素相交的位置是根据节点处存储的水平集值来确定的；?界面条件可直接在界面上施加，无需在界面处重复创建节点；?无需特殊的数值积分方案即可计算与界面相交的元素上的双线性形式和线性形式；?自由度的增加直接对应于节点处未知场的值。本文的其余结构如下：第2节介绍模型问题、所用符号以及相应的弱形式表达。第4节首先概述缩放边界有限元方法，接着推导缩放边界形状函数，并将该方法应用于电学界面问题。第3节介绍与界面相匹配的网格的生成方法。第6节通过三个数值示例来展示所提框架的精确度和收敛特性，最后一部分为结论性意见。

模型问题：设Ω为R2中的有界区域，其边界为?Ω，x:=(x1,x2)∈Ω，T∈R+?{0}。假设Ω为所研究的物理介质，其导电率和介电率分别用α(x)和β(x)表示。电压势u(x,t)遵循以下模型方程：{???(α(x)?u(x,t)+β(x)?u′(x,t))=f(x,t)在Ω×(0,T]内，u(x,0)=u0在Ω内，且u(x,t)=0在?Ω×(0,T]上，其中f为模型中的电脉冲信号。在公式(2.1)中，u0和T分别表示初始电压和最终时间，u′则表示……

与界面相匹配的网格构建：设ThB为初始的由一般多边形元素构成的背景网格。该网格并不要求与分隔子区域Ω1和Ω2的界面Γ对齐。为了能够准确表示界面，我们通过对背景网格进行局部修改来构建符合要求的网格。假设界面Γ足够规则且与网格相交，使得：?对于ThB中的每个元素E，界面要么不与?E相交，要么恰好在……

缩放边界有限元方法：本节概述了缩放边界有限元方法及其在电学界面问题中的应用。这是一种半解析方法，仅需沿边界进行离散化。缩放边界有限元方法的形状函数是从拉普拉斯方程中推导出来的，它们被用来解决电学界面问题。为介绍该方法的表述方式，我们考虑一个占据Ωe?R2的二维区域，其边界为Γe=Γd∪Γn，且Γd∩Γn=……

缩放边界有限元方法的离散化：利用所推导出的缩放边界形状函数（参见公式(4.20)），未知场uh和测试函数vh可表示为：uh(ξ,η)=N(ξ,η)u，vh(ξ,η)=N(ξ,η)v。将缩放边界有限元方法的近似值代入弱形式方程(2.2)中，并采用标准的Bubnov-Galerkin算法，可得：∫01∫?11B(ξ,η)?αB(ξ,η)Jp(η)ξdηdξub + ∫01∫?11B(ξ,η)?βB(ξ,η)Jp(η)ξdηdξu˙b = ∫01∫?11N(ξ,η)?fJp(η)ξdηdξ + ∫?11N(η)?gJp(η)dη。考虑到测试函数的任意性，公式(5.2)可推导出……

数值实验：在本节中，我们通过四个示例的数值结果来展示第4节中所提出的缩放边界有限元方法的性能。我们考虑了两种类型的网格，即规则四边形（Q4）网格和多边形网格，用于对区域Ω进行离散化。在解决所有问题时，我们都使用了基于与界面相匹配的网格的缩放边界有限元方法。示例1和示例2对应于存在弱不连续性的问题，其解为……

结论：我们提出了一种用于处理具有不连续系数的电学界面问题的缩放边界有限元方法，该方法将与界面相匹配的多边形离散化与隐式时间积分相结合。通过對背景网格进行局部修改，所提方法能够在无需额外几何开销的情况下精准捕捉材料界面，同时还能保留一般多边形元素的灵活性。数值研究表明，所提出的框架具有稳定性、高精度性，且……

作者贡献说明：M. Arrutselvi：负责撰写原始稿件、软件开发、方法设计、概念构思。S. Vishwa：负责撰写原始稿件、可视化处理、验证工作、软件开发、问题研究、形式分析。V.S. Suvin：负责撰写原始稿件、软件开发、方法设计、问题研究、形式分析。G.V. Madhavi Reddy：负责撰写原始稿件、可视化处理、验证工作、方法设计、形式分析、数据整理工作。S. Natarajan：负责审稿与编辑、项目监督、资源协调、项目管理，以及伦理审批和参与同意书的处理。本研究不涉及人类参与者、动物或任何个人数据。

数据与材料的可用性：在本研究中没有生成或分析任何数据集。本文中给出的数值示例是作为研究的一部分而生成的，可以使用文中描述的方法和算法重新生成。如有合理请求，可从相应作者处获取实现代码。

资金支持：M. Arrutselvi感谢印度政府原子能部国家高等数学委员会（NBHM）的财政资助。资助编号为：0204/8/2025/R&D-II/9073。

利益冲突声明：作者声明自己不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

M. Arrutselvi | S. Vishwa | V.S. Suvin | G.V. Madhavi Reddy | S. Natarajan