基于周期动力学算子方法的非均匀压电结构热电机械耦合分析

《Computers & Structures》：Thermo-electro-mechanical coupling analysis of non-homogeneous piezoelectric structures based on peridynamic operator method

　　摘要：压电材料是智能结构中的核心功能材料，在人工智能和能源工程等先进领域有着广泛的应用。许多压电结构存在空间上的材料不均匀性，这给力学分析带来了很大挑战。此外，压电元件在运行过程中常常处于热环境中，温度波动会对其机械性能和电气性能产生显著影响。为此，本文提出了一种基于周动态算子方法的非局部热电力学耦合模型，用于分析受热载荷作用的非均匀压电结构的多场耦合行为。该非局部模型采用周动态算子方法和加权残差法来建立热电力学耦合的非局部控制方程，并进一步发展了基于变分原理的隐式数值算法。通过与现有文献中的解析解和数值解进行比较，充分验证了所开发非局部模型的准确性和计算精度。这一非局部模型为分析非均匀压电结构的多场耦合响应提供了新方法，文中给出的数值算例可作为该领域相关研究的参考依据。

引言：随着航空航天、人工智能和能源工程领域的快速发展，人们对高性能智能材料的需求日益增加，这类材料不仅重量轻，还能实现自我调节[1]。在各类材料中，压电材料因其优异的电机械耦合特性而在智能结构中备受关注[2][3]。在实际应用中，压电元件越来越多地被应用于同时承受机械、电气和热载荷的复杂工作环境。非均匀压电材料由于能够对成分和性能进行空间上的定制，为应对这些复杂条件提供了有力解决方案。然而，温度变化会显著影响这类材料的弹性常数、压电常数和介电常数，可能降低结构刚度[4][5]，甚至导致局部损伤进而引发整体失效。另外，作为典型的脆性材料，压电材料在其使用过程中容易出现裂纹和孔洞等不连续缺陷，而材料的不均匀性又会进一步复杂化其机械和电气行为。因此，迫切需要一种准确可靠的数值框架，来描述非均匀压电结构在存在裂纹和孔洞等几何不连续性条件下的热电力学耦合行为。

非均匀压电材料的热电力学耦合特性遵循特定的控制微分方程。要理解其内部的物理机制并分析其在热载荷作用下的响应行为，关键在于准确求解这些方程。目前，求解这类耦合控制方程主要有两种方法：解析法和数值法。解析法包括剪变形理论[6][7]和偶应力理论[8]，可以通过解析求解控制微分方程，从而得到计算域内任意点的位移、电势和温度分布的精确解。但这些方法往往需要复杂的推导过程和繁琐的数学表达式，且通常仅适用于特定的结构构型和简化的边界条件，难以应用于多场耦合条件下的复杂工程问题。鉴于非均匀压电结构在热载荷作用下的多场耦合特性和几何复杂性，数值法便成了不可或缺且实用的研究工具。这类方法能够在保证解的通用性的同时提升计算效率，非常适合用于研究这类材料的热电力学耦合行为[9][10]。

数值法通常是将计算域离散成网格或节点，再利用近似函数来表示场变量，从而得到整个计算域内的数值解。在各种数值方法中，有限元法作为一种广泛应用于网格化计算的数值方法，尤其擅长分析非均匀压电结构的热电力学耦合行为。近年来，人们已经开发出了多种基于有限元法的模型来分析这类问题，包括基于剪变形假设的有限元模型[11]、电弹性耦合Voronoi单元有限元模型[12]以及卷积有限元模型[13]。有限元法以经典连续介质力学原理为基础，但在处理具有不连续性的问题时会面临诸多挑战。这些挑战源于控制经典连续介质力学的偏微分方程所要求的连续性条件与某些物理现象中存在的固有不连续性之间的矛盾，这使得场变量的空间导数在间断点处无定义。这就需要在处理控制方程和边界条件时采取不同的方法，进而增加了数值求解的复杂性。此外，有限元法计算的精度在很大程度上取决于网格的质量，如果单元变形过于严重，会导致计算精度大幅下降。为了解决计算精度问题，有限元法需要频繁重构网格以适应结构的变形，而这无疑会大大增加计算成本。

与依赖网格的有限元法不同，无网格方法则利用离散的材料点来进行数值离散化，这种方法可以降低建模成本，避免因单元变形而产生的问题，也无需反复重构网格，因此在处理具有不连续性的问题时具有天然优势。目前已有多种无网格方法被用于分析压电结构的多场耦合行为，包括无网格配置法[14]、径向点插值法[15]、Petrov-Galerkin区域自由元素法[16]、区域Galerkin自由元素法[17]、移动最小二乘法[18]、移动最小二乘无网格Galerkin法[19]以及广义有限差分法[20]。不过，这些方法也存在一些固有局限性。例如，无单元Galerkin法需要复杂地构建形函数，而且还需要借助惩罚函数或拉格朗日乘数来施加边界条件，这会显著增加计算成本。而径向点插值法对其形状参数非常敏感，如果参数选择不当，会导致插值误差增大，甚至可能出现数值不稳定现象[15]。此外，上述所有方法都是建立在连续介质力学框架之上的，这限制了它们在处理裂纹和夹杂物等不连续问题时的有效性。这种限制源于连续介质力学中微分方程所要求的连续性条件与这类问题中的不连续性之间的矛盾，这类矛盾会导致场变量的空间导数在裂纹等间断面上不存在。

周动态学[21][22]是一种基于非局部相互作用原理的理论框架，它采用积分方程来进行建模。这种方法不需要依赖连续介质假设，也无需复杂地构建权重函数，因此能够在多场作用条件下更准确地捕捉材料裂纹的萌生和扩展过程[23][24][25]。目前，用于分析压电结构多场耦合问题的周动态学模型包括隐式常态型周动态学模型[26]、稳定常态型周动态学模型[27]以及电机械耦合周动态学模型[28]。其中，隐式常态型周动态学模型在靠近结构边界区域容易出现数值振荡现象，而稳定常态型周动态学模型虽然能有效抑制这种振荡，但需要引入额外的处理策略，从而增加了模型的复杂性。此外，还需要为不同的物理场行为量身定制周动态学模型，这也进一步增加了建模的难度和成本。

周动态微分算子[29]和弱形式键关联周动态微分算子[30]建立了非局部算子与微分算子之间的关系，大大简化了周动态学方法在分析各种物理现象时的建模过程。这两种方法都无需使用对称核，也就避免了在边界处安排复杂虚拟粒子的需求。由于具有建模简单、边界处理便捷的优点，这些方法已被成功应用于结构分析中的多场耦合问题求解[31][32]。具体而言，周动态微分算子是通过在强形式框架下求解偏微分方程来工作的，它采用拉格朗日乘数法和变分分析来实现隐式解法。虽然这种方法会增加未知数的数量，也会导致系数矩阵呈非对称形式，从而提高计算成本，但WBA-PDDO方法则能借助弱形式框架来处理偏微分方程，有效降低了强形式解法带来的弊端。不过，这种方法仍然容易产生数值振荡，因此需要额外的技术手段来抑制零能量模式。周动态算子方法[33][34]则结合了上述方法的优点，能够轻松构建不存在零能量模式的非局部模型。近年来，周动态算子方法已被应用于解决多种多场耦合问题，包括热传导[35]、电机械耦合[36]、热力化学耦合[37]以及电机械载流子耦合[38]。尽管周动态算子方法已在多种多场耦合问题中得到有效应用，但目前还没有人在此框架下开发出用于分析非均匀压电结构热电力学耦合行为的非局部模型。此外，以往基于周动态算子方法的研究大多集中在均匀材料上，而本研究则着眼于具有空间变化特性的材料，同时考虑了裂纹和孔洞等几何不连续性。

针对非均匀压电结构的热力学-电学耦合分析，本文提出了一种基于周动态算子方法的非局部模型。该模型将周动态算子方法与加权残差法相结合，从而得出非局部控制方程，克服了传统连续介质力学在处理几何不连续性问题时的局限性。它无需额外的裂纹判据或特殊的界面处理方法，即可自然地用于分析存在裂纹和孔洞等缺陷的压电结构。此外，该非局部模型还支持非均匀离散化，能够有效地解决复杂的几何构型问题。文中给出的典型数值算例也可作为未来该领域研究的参考基准。

章节节选：

热电力学耦合控制方程：对于承受热电力学耦合载荷的非均匀压电材料中的线性压电热弹性问题，其控制方程如下：
σij,j(x)=0，Di,i(x)=0，hi,i(x)=0，
其中x表示坐标，σij(x)、Di(x)和hi(x)分别代表应力张量、电位移矢量和热流矢量。这里假设机械变形和电势不会影响热传导，且材料的本构关系为……

周动态算子方法综述：对于二维计算域Ω，函数f(x)的局部微分可以通过一阶泰勒展开转化为非局部积分形式：
?f(x)=∫Hxf(x′)-f(x)gdAx′，
其中Hx表示相互作用域，g是一阶泰勒展开中引入的周动态函数，其定义为：
g=g10g01T=wH-1ξ，
其中w为权重函数，ξ=x’–x表示材料点之间的相对位置矢量……

数值算例：在本节中，利用所开发的非局部热电力学耦合模型进行了五个数值算例分析，这些算例包括：承受均匀载荷的功能梯度压电悬臂梁、在热载荷作用下存在孔洞的均匀压电L形板、同时承受热载荷和机械载荷的功能梯度压电矩形板、承受热电力学载荷的带裂纹功能梯度压电方形板，以及承受热载荷和……的带裂纹功能梯度压电十字形板。

结论：本文研究了非均匀压电结构的热电力学耦合特性。本文利用周动态算子方法、加权残差法以及变分原理，开发了一种用于分析非均匀压电结构热电力学耦合行为的非局部模型。该非局部模型采用积分形式的控制方程，从而克服了传统局部连续介质理论在处理不连续问题时的局限性……

作者贡献声明：辛玉燕负责原文撰写、可视化处理、模型验证、方法设计、正式分析、数据整理以及概念构思；李志远负责文章审阅与编辑、方法设计、资金申请以及正式分析；黄丹负责文章审阅与编辑、研究指导、方法设计、资金申请以及概念构思。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢：衷心感谢国家自然科学基金（编号12402236、12572226）、江苏省自然科学基金（编号BK20241507）、江苏省蓝色项目以及中国博士后科学基金会博士后 Fellowship Program（编号GZC20240376）提供的财政支持。

辛玉燕|李志远|黄丹