针对含有分布参数不确定性的结构的高效全局可靠性灵敏度分析方法

《Computers & Structures》：Efficient global reliability sensitivity analysis method for structures involving distribution parameter uncertainty

　　摘要
针对结构输入参数的分布不确定性，全局可靠性灵敏度分析能够量化这些不确定性对结构安全性的影响，为基于可靠性的设计提供依据。然而，对于具有复杂隐式性能函数的难题，随着输入维度增加，估算全局可靠性灵敏度指标会变得计算上极为困难。本文提出一种高效的替代模型辅助全局可靠性灵敏度分析方法，该方法将替代采样法与重要性采样-嵌入子集仿真相结合，并进一步通过双层自适应克里金模型进行优化。该算法的核心在于逐步构建替代重要性采样密度函数，从而有效分离子集仿真过程中输入变量及其分布参数的嵌套采样过程。在这一分离的采样框架基础上，再构建双层克里金模型，分别近似表示与分布参数相关的性能函数和失效概率函数。该方法将原本计算成本极高的三重嵌套采样过程转化为单层结构性能评估。数值算例和工程实例表明，所提方法能够准确高效地识别出影响结构可靠性的关键分布参数。

引言
在航空航天、机械工程和土木工程领域，结构在其设计、制造及使用阶段始终面临各种不确定性。这些不确定性包括材料特性、几何参数以及外部荷载条件等方面的不确定因素[1]、[2]。这类普遍存在的不确定性会对结构的性能和安全性产生重大影响[3]、[4]。评估这些不确定性对结构可靠性的影响具有重要意义，它有助于设计者和工程师通过策略性地控制关键不确定变量来降低结构失效风险。由此，可靠性灵敏度分析应运而生。可靠性灵敏度分析[5]、[6]、[7]、[8]旨在研究结构系统可靠性中的不确定性在输入变量及其分布参数之间的分配情况。传统的可靠性灵敏度分析方法通过计算结构失效概率相对于分布参数的偏导数来获得局部灵敏度，这类方法仅能描述输入变量分布参数在名义值附近的小幅度扰动对结构失效概率的影响。而全局可靠性灵敏度分析则能够衡量输入变量及其分布参数的不确定性在整个分布范围内的影响，同时还能直接反映变量间相互作用对结构可靠性的贡献。全局可靠性灵敏度分析的结果对于工程结构的风险分析与管理具有极其重要的意义，因此在工程领域得到了广泛应用。

目前，大多数针对结构的可靠性灵敏度分析方法都着眼于输入变量的随机或偶然不确定性[9]。但在实际工程中，由于数据有限或条件限制，往往无法精确确定输入变量的分布参数，这就导致了分布参数的认知不确定性[10]。与偶然不确定性不同，通过提升认知水平并积累更多信息，分布参数的认知不确定性是可以降低甚至消除的。因此，了解分布参数对结构系统可靠性的影响对于降低不确定性、提升结构可靠性具有十分重要的意义。用于描述参数主观不确定性的模型包括主观概率模型[11]、[12]、[13]、[14]、[15]、[16]、[17]，区间模型[18]、[19]，模糊模型[20]、[21]、[22]、[23]、[24]，以及非概率凸集模型[25]等。本文选用应用较为广泛的主观概率模型。

为定量评估分布参数不确定性对结构失效概率的影响，Wang[26]利用失效概率函数的高维模型表示，定义了一组类似于Sobol基于方差的全球灵敏度指标的分布参数全局灵敏度指标。这些指标能够反映分布参数在其整个不确定性范围内对失效概率变异性的单独影响以及相互作用影响，为分布参数的全局可靠性灵敏度分析提供了一种新颖且可行的方法。计算这些指标的基本方法是蒙特卡洛模拟（MCS），该方法对函数形式、输入变量的维度及其分布形式均无限制。然而，MCS方法通常需要经历复杂的三层采样过程，且在估算分布参数的全局可靠性灵敏度指标时需要大量样本，这在工程问题上是不可行的。

为应对这一计算挑战，学者们提出了许多高效算法，从两个方面提升分布参数全局可靠性灵敏度指标的估算精度：一是提高失效概率的估算精度，二是减少对真实性能函数的调用次数。失效概率的计算是估算分布参数全局可靠性灵敏度指标的关键步骤。虽然Wei[28]证明了重要性采样（IS）和截断重要性采样（TIS）的有效性，但确定设计点的位置和数量这一难题[29]限制了它们的应用范围。Au[30]提出了子集仿真（SS）方法，该方法通过选定的中间失效事件，将小失效概率的估算转化为一系列较大的条件失效概率的估算。然而，通过马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）仿真得到的条件样本点之间存在相关性，这降低了SS方法的计算精度。因此，Song等人[31]提出了一种结合子集仿真和重要性采样的方法，以解决小失效概率问题，该方法既保留了IS和SS的优势，又避免了设计点搜索以及MCMC样本的相关性问题。尽管这些方法显著提升了可靠性分析的效率，但它们仍然需要多次调用真实性能函数，从而导致大量的计算时间，尤其是在处理有限元模型等复杂结构时。

为减少对真实性能函数的调用，替代模型得到了快速发展。这类模型能够通过最少的计算量提供近似真实隐式性能函数的显式函数。工程中广泛使用的替代模型包括多项式响应面模型[32]、人工神经网络[33]以及克里金替代模型[34]、[35]、[36]等。近年来，将数值模拟方法如IS和SS与替代模型相结合的方法（如AK-IS、AK-SS）在可靠性分析领域受到了广泛关注，这也为分布参数的全局可靠性灵敏度分析提供了一种新的替代途径。基于替代模型，人们还开发出了许多半解析方法[37]、[38]以及自适应方法[39]，用于高效处理随机输入变量的全局灵敏度指标。这些方法通常具有较高的计算效率，也为计算分布参数的全局灵敏度指标提供了有效途径。

针对具有复杂性能函数、小失效概率且在分布参数存在不确定性时的结构系统的全局可靠性灵敏度分析所面临的计算难题，本文提出了一种高效算法，该算法通过结合新开发的替代IS-嵌入SS方法与双层主动克里金替代模型，来估算分布参数的可靠性灵敏度指标。该算法能够在快速获得参数重要性排序的同时，确保灵敏度指标估算的准确性。其结果还能为工程设计师提供重要信息，有助于提升系统安全性并优化后续设计过程。

本文结构如下：第2节回顾了分布参数全局可靠性灵敏度指标的定义。第3节介绍了估算分布参数全局可靠性灵敏度指标的高效算法，并详细阐述了其基本原理和实现步骤。第4节通过数值算例和工程案例验证了所提算法的准确性和适用性。最后，第5节对全文进行了总结。

片段一：涉及分布参数不确定性的结构的全局可靠性灵敏度指标
对于同时存在输入变量及其分布参数不确定性的结构系统，其性能函数可表示为：
Y = g(X)
其中，Y表示输出响应，X = [X1, X2, ?, Xn]T表示具有不确定分布参数Θ = [Θ1, Θ2, ?, Θn]的相互独立的随机输入变量。此处，Θi是与Xi的概率分布相关的分布参数向量，例如不确定的均值、标准差或其他分布参数。

片段二：分布参数全局可靠性灵敏度指标的高效估算方法
方程(5)、(6)中给出的分布参数全局灵敏度指标定义表明，估算这些灵敏度的计算复杂性主要源于估算VΘiEΘ～iPf|Θi以及VΘ～i(EΘi(Pf|Θ～i))时所涉及的复杂的三层嵌套采样过程，此外，估算Pf时还需要多次调用真实性能函数。以估算Si为例，最内层是失效概率的估算，即对于……

步骤8：构建FPF的初始克里金模型
8.1 根据步骤2中生成的所有训练样本θj（j=1, 2, ?, NT2）对应的分布参数，通过Pfj = ∏k=1dPkj计算出相应的失效概率，进而构建初始训练样本集TSS = {θj, Pfj}，j=1, 2, ?, NT2。将迭代初始值设为q2 = 0。
8.2 利用DACE工具箱，基于TSS中的现有信息，构建FPF的克里金替代模型ψKΘ。
8.3 估算训练集中所有分布参数的误差ELOO(θj)，j=1, 2, ?, NT2 + q2。

步骤11：估算主要灵敏度指标Si
11.1 对于分布参数Θi，将其固定在其某个样本点θij上（j=1, 2, ?, NΘ），然后将其与其他分布参数的每个样本点θ～ik（k=1, ?, NΘ）组合，形成一个新的输入样本点Θ = θij, θ～ik。
11.2 基于已建立的克里金模型ψKΘ，在固定j和k值的情况下，估算在Θ = θij, θ～ik条件下的失效概率(Pf|(θij, θ～ik))。
11.3 遍历所有可能的k值k=1, ?, NΘ，得到在相应条件下的条件失效概率Pf|θij, θ～i1, ?, Pf|θij, θ～iNΘ。

案例研究
本章通过数值算例和工程实例来验证所提算法的效率和准确性。为了进行比较，所有示例都以使用大量样本通过MCS方法直接获得的灵敏度指标作为参考，而在数值算例中，则采用参考文献[12]中的方法估算的灵敏度指标，以避免重复得出相似结论。所提出的双层……

结论
本文提出了一种在分布参数存在不确定性情况下的高效全局可靠性灵敏度分析方法。该算法采用了双层克里金框架以及替代IS-嵌入SS方法，避免了传统的三层嵌套计算过程，从而消除了指标计算对输入变量及其分布参数维度的依赖，显著降低了指标计算的计算负担。

作者贡献声明
李璐毅：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，验证，监督，项目管理，方法论，研究，资金获取，形式分析，概念构思。程鸿欣：写作——初稿撰写，方法论，形式分析。王浩：写作——初稿撰写，方法论，形式分析。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了国家自然科学基金（项目编号NSFC 52375156）以及冲击波与爆炸物理国家重点实验室科研项目（项目编号JCKYS2024212104）的支持。

李璐毅 | 程鸿欣 | 王浩