用于变角拖曳复合结构静态分析的层次化变曲率壳体建模方法

《Computers & Structures》：A hierarchical variable-curvature shell formulation for the static analysis of variable angle tow composite structures

　　•卡雷拉提出的非恒定曲率变角度壳体的统一公式。•通过虚位移和赖斯纳混合变分定理推导出的方程。•将预测结果与高精度的Abaqus三维全局/局部解进行对比验证。•位移模型能够捕捉平面应力，但在横向剪切场中表现不佳。•混合模型虽能更准确地计算横向应力，但计算成本更高。

引言
壳体结构已成为航空航天、汽车、能源、土木工程以及各类工业应用中的核心组件。上世纪以来，由于其出色的强度重量比，这类结构被广泛用于各种苛刻的工作环境。这种高效性主要得益于可根据具体设计要求调整壳体的曲率半径和厚度，从而实现最佳的机械性能。在航空航天工程中，壳体结构尤其在飞机、航天器及运载火箭的机翼、机身和燃料箱等关键部件的设计中起着至关重要的作用。关于壳体结构在航空航天领域的早期应用及其相关屈曲行为的综述，可参考霍夫[1]的研究。壳体结构的理论基础在文献中已有大量探讨，此处为简洁起见，不再详述推动其发展的早期工程挑战。多内尔[2]、克劳斯[3]和莱萨[4]的研究为壳体结构的基本理论奠定了重要基础，也为现代解析法和数值方法的发展提供了依据。多年来，人们提出了多种方法来分析壳体结构的力学行为，旨在在计算效率与预测精度之间取得最佳平衡。其中，基于有限元法（FEM）的方法尤为有效。例如，辛哈、谢赫和穆科帕迪亚伊[5]开发了一种加强的三角形壳体单元，用于板件和壳体的静力分析，其结果与理论预测和实验数据均吻合良好。平托·科雷拉等人[6]则设计了一种半解析型壳体单元，在静力、模态和屈曲分析中都表现出较高精度，这一结论也得到了文献中其他结果的验证。麦克尼尔[7]对壳体单元的发展历程进行了全面总结，指出了从基尔霍夫型单元到明德林型单元的演变，以及高阶单元的发展，这些都是基于FEM的壳体结构设计中的重要进步。托和王[8]则基于一阶剪变变形理论提出了几何非线性的三角形壳体单元。奈特、梅西和麦克莱里[9]研究了圆柱壳体的静力坍塌现象，并比较了不同壳体单元公式下的性能差异。

尽管人们为开发精确的四边形壳体单元付出了诸多努力，但许多尝试都遇到了刚度过高的问题。这一问题通常归因于剪切效应和膜锁效应，而在低阶公式中尤为突出[10]。巴特和德沃尔金[11]通过采用张量分量的混合插值方法，设计了更为可靠的四节点和八节点壳体单元。后来，布卡莱姆和巴特[12]又将该方法扩展到九节点和十六节点的高阶单元。多年来，人们提出了多种方法来解决有限元公式中的锁效应问题。例如，麦克尼尔[13]提出了假设自然应变法，而布莱青格、比肖夫和拉姆[14]则探讨了离散剪隙法。此外，柴等人[15]通过基于节点的平滑有限元方法，提出了一种超收敛的阿尔法单元，可用于壳体结构的线性、非线性及自由振动分析。

无网格方法也被用于壳体结构分析，刘、刘和谭[16]就采用了无单元伽辽金法对壳体结构的静力及自由振动进行分析，其结果与解析解及FEM解均高度一致。阿萨迪和卡图[17]则使用广义微分求积法，通过两种不同版本的一阶剪变变形理论，求解了圆柱壳体的平衡方程。托尔纳贝内和维奥拉[18]将GDQ方法应用于基于一阶剪变变形理论的旋转壳体静力分析，而维奥拉、托尔纳贝内和范图齐[19]则将该方法扩展到高阶剪变变形理论，用于双曲率壳体的静力分析。

传统的壳体结构通常由各向同性材料或传统复合材料制成，这些材料因其特定的性能而具备更好的机械性能。变刚度复合材料则进一步拓展了这一概念，它允许在结构内部实现刚度的空间变化，从而进一步提升机械性能。实现刚度变化的一种方法是改变复合材料中间表面的厚度。另一种方法是通过改变中间表面内纤维方向的分布来实现刚度变化，这种结构被称为变角度拖曳（VAT）复合材料。在海尔和沙雷特[20]以及古尔达尔、塔廷和吴[21]的研究中，为VAT复合材料领域奠定了重要基础，他们展示了从离散纤维角度变化到连续纤维角度变化的建模发展过程。VAT复合材料在壳体结构中的应用也得到了大量研究。例如，布洛姆等人[22]试图在考虑制造约束的前提下，优化圆锥壳体的最大固有频率。田等人[23]则提出了一种新型的可变精度替代模型，并通过动态缩小搜索空间来优化圆柱体的性能。苏扎等人[24]对VAT圆柱体在线弹性状态下的径向压缩进行了实验和数值分析，他们基于位移和应力场的测量结果发现，通过3D数字图像相关技术获得的实验结果与使用Abaqus进行的有限元模拟结果高度一致。等几何分析技术也在近似VAT壳体的力学行为方面表现出良好能力。例如，阮-坦等人[25]利用扩展的等几何分析方法分析了壳体结构中的裂纹问题，而苗等人[26]则用该技术研究了VAT圆柱体的非线性屈曲行为。

卡雷拉的统一公式因其能够在统一框架下构建多种不同层次的理论而备受结构分析领域的关注。该公式的核心思想是通过沿非主导方向定义任意展开函数来表示三维位移场，从而可推导出经典模型、高阶模型、分层模型以及等效单层模型。这种灵活性是一个重大优势，因为无需修改控制方程即可逐步提高精度。在此框架下，所提出的公式还将现有的基于CUF的模型扩展到了更多类型的壳体几何形状，为基于位移理论和混合理论的对比分析提供了统一的框架。CUF的早期应用主要集中于使用半解析技术对板件和壳体进行静力及模态分析，这类方法通常被称为纳维型解。在这一领域，卡雷拉和朱恩塔[27]以及布里谢托[28]的研究做出了重要贡献。目前，基于CUF的VAT复合材料结构模型可根据所采用的参考几何形状，大致分为梁、板件和壳体三类。维利埃蒂、扎皮诺和卡雷拉[29]使用了1D CUF模型对VAT结构进行自由振动分析，在该方法中，CUF展开函数定义在结构的横截面上，而经典的FEM形函数则用于主轴方向。桑切斯-马哈诺等人[30]则提出了2D CUF模型，用于VAT板件和圆柱壳体的静力分析，该模型结合了贯穿厚度的运动学展开函数与定义在中间表面上的经典FEM形函数。在这种情况下，板件可视为一种特殊情况的壳体模型，其曲率半径被假定为恒定值。西内弗拉和卡雷拉[31]以及西内弗拉和瓦尔瓦诺[32]早先就已经将CUF方法应用于恒曲率壳体。最近，萨胡等人[33]使用了基于CUF的八节点等参四边形单元，对具有空间变曲率的复合锥形壳体进行静力及自由振动分析，而萨胡、库马尔和昆达尔瓦尔[34]则将这种方法扩展到复合双曲抛物面壳体的分析。不过，奇亚亚等人[35]还将该公式扩展到了具有任意定义变曲率的壳体，他们采用了相同的多项式展开函数来进行几何和位移插值。CUF的一个显著优点在于其能够灵活采用不同的变分公式。基于位移的方法，如虚位移原理，虽然能够准确预测位移场，但往往无法捕捉穿过厚度的横向应力。而混合变分公式，尤其是赖斯纳混合变分定理，则通过将位移和横向应力视为独立变量，解决了这一局限。这些核心概念在 Washizu[36] 和 Reissner[37] 的历史性研究中已有详细阐述。将RMVT整合到CUF中，已被证明能显著提高横向应力的计算精度[38]、[39]。最近的研究则进一步在放宽位移场要求的同时，确保了横向应力的层间连续性，D’Ottavio和Demasi[40]就做出了相关研究。在本研究中，我们采用了原始的虚位移原理和RMVT公式来推导出一系列理论，其结果会与使用商业FEM软件Abaqus得到的结果进行系统比较。德马西等人[41]还开发了CUF的广义版本，该版本考虑了等效单层模型和分层模型，包括之字型效应，并为每个未知量设置了任意展开函数，从而可通过三角形单元研究VAT板件。

像Abaqus这样的商业有限元软件提供了能够表示复杂几何形状的壳体单元，包括具有变曲率结构的壳体。然而，这些单元在定义高阶贯穿厚度运动学方面通常灵活性较差，往往只能进行低阶近似。此外，这类软件中曲线形纤维路径的实现通常是逐单元进行的，因此无法精确表示连续变化的纤维方向。本研究通过开发一种基于CUF的公式，解决了上述限制，该公式可用于分析具有空间变曲率的VAT复合壳体。所提出的方法能够同时实现高阶贯穿厚度运动学与连续变化的纤维分布。本研究的主要创新在于壳体模型的几何表述方式，其中位移-应变关系明确包含了曲率半径的导数以及几何系数，这使得在CUF框架内能够分析具有变曲率的壳体。

本研究主要聚焦于具有恒定曲率以及空间变曲率的壳体分析，前提是中间表面的几何形状可由预先已知的几何规律描述。需要指出的是，本公式中的某些组成部分此前已在文献中得到研究。特别是，已有研究将CUF方法扩展到具有任意曲率的双曲率壳体分析[35]，同时也开发了用于VAT复合板件的混合贯穿厚度插值方法[42]。不过，目前仅将CUF方法用于具有空间变曲率的VAT层合板及壳体的自由振动分析[43]、[44]，尚未在其线性静态分析框架内得到应用。本文的结构如下：第二部分将CUF方法应用于变曲率壳体几何形状，并通过基于位移的和混合变分公式，展示了其在VAT壳体分析中的应用。第三部分对圆柱形、球形、环面形和椭球形壳体进行了静力分析，通过厚度方向对位移和应力场进行了评估，并将其与使用Abaqus三维有限元模型得到的参考解进行了比较。对于更复杂的案例，本部分还详细介绍了如何通过Abaqus的全局-局部子模型化方法生成参考结果。最后，第四部分总结了本研究的关键结论和发现。

问题表述
壳体是一种三维固体结构元件，其厚度远远小于其他尺寸。从数学上讲，壳体区域可表示为笛卡尔积V=Ω×[?h/2,h/2]?R3，其中h表示壳体的厚度，Ω?R2代表中间表面，该表面用曲线坐标(α,β)进行参数化，其定义为：Ω={(α,β):α∈[αl,αu],β∈[βl,βu]}。沿α和β曲线方向的特征长度分别对应为lα和lβ。

仿真结果的呈现与解读
本节分析的基准问题涉及四种不同几何形状的壳体，包括圆柱面、球面、环面和椭球面。为了观察厚度对分析结果的影响，壳体厚度被设置为仿真的一个变量参数。所有壳体在四边均被夹紧，顶部（z=h/2）处施加恒定压力pz=?10kPa。所有分析结构均采用表5中所列的材料属性。Abaqus 3D作为参考工具。

结论
本研究对具有恒定和非恒定曲率半径的VAT壳体结构进行了静态分析。通过CUF方法实现了沿壳体厚度方向的任意阶展开。该结构的中间表面则采用基于QUAD9元素的有限元框架进行离散化，这些元素运用了经典的拉格朗日插值函数。研究还建立了基于PVD和RMVT的两组控制方程，从而便于对基于位移的CRediT作者贡献度进行直接比较。

作者贡献声明
D.A. Iannotta：写作——初稿撰写、可视化、验证、软件开发、方法设计、研究实施、正式分析、数据整理、概念构思。
G. Giunta：写作——审阅与编辑、项目监督、资源协调、项目管理、方法设计、资金筹集、概念构思。
M. Montemurro：写作——审阅与编辑、项目监督、资源协调、项目管理、方法设计、资金筹集、概念构思。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究全部或部分由卢森堡国家研究基金（FNR）资助，项目编号为INTER/ANR/21/16215936 GLAMOUR-VSC。为实现开放获取并履行资助协议中的相关要求，作者对由此产生的所有已接受投稿版本采用了知识共享署名4.0国际许可协议（CC BY 4.0）。M. Montemurro感谢法国国家研究机构对这项工作的支持。

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