一种针对随机不确定性和区间不确定性下多体系统长期混合不确定性分析的方法

《Computers & Structures》：A method for long term hybrid uncertainty analysis for multibody systems under random and interval uncertainties

　　•提出了一种用于不确定性分析的计算方法。•该方法考虑了随机不确定性和区间不确定性。•为长期动态分析构建了替代模型。•所提出的方法具有更高的准确性和稳定性。

引言
多体系统的动态分析为工程应用中的性能评估和参数优化提供了全面的理解。为了实现对系统输出响应的精确预测，人们发展出了多种动力学分析方法，包括浮动参考框架法和绝对节点坐标法，这些方法被广泛应用于各种场景，如车辆系统[1]、航空航天器[2]以及工业机器人[3]。传统的动态分析是在确定性框架下进行的，即假设数值模型中的参数或外部激励在分析过程中是确定的。然而，在实际应用中，由于制造工艺、外部条件以及材料老化等多种因素，参数不可避免地存在变化[4]、[5]、[6]。随着计算能力的提升，数值模型固有的不确定性所带来的影响引起了国内外研究人员的关注，这促使人们开始研究不确定性量化技术。不确定性量化包括两个步骤：不确定性建模和不确定性分析。根据不确定性的内在特征，人们开发出了不同的模型来描述它们，例如随机模型、区间模型和模糊模型[7]、[8]、[9]、[10]。

多体系统中的不确定性处理可视为随机分析方法和区间分析方法。在随机分析方面，蒙特卡洛方法和多项式混沌展开法因将不确定性视为随机变量而被广泛使用[11]。另一方面，概率分析方法需要知道随机参数的具体分布，这在实际应用中较为困难，因此推动了区间分析方法的发展。区间分析将参数的不确定性表示为区间变量，其变化范围由下限和上限界定，不确定参数的取值是可能的而非必然的[12]。一种简单的方法是扫描法，即通过将区间划分为有限个点来评估系统在每个组合点上的响应，但这种方法计算量巨大，通常仅作为参考基准。为减轻扫描法的计算负担，人们开发了基于替代模型的方法。替代模型通过在实验设计点上训练，来近似描述响应与输入参数之间的隐含关系[13]。吴某首次将切比雪夫多项式引入多体系统动力学的区间分析中，并提出了切比雪夫区间分析方法[14]，随后又提出了基于切比雪夫多项式近似的区间优化方法[15]。该方法利用切比雪夫多项式在每个时间点构建系统的动态响应替代模型，再应用区间算法来确定响应的下限和上限。在此基础之上，勒让德多项式、任意多项式混沌模型以及克里金模型也被纳入区间分析方法的框架之中[16]、[17]、[18]。此外，还提出了子区间技术，用于处理具有较大不确定参数的复杂结构[19]。区间域被用来描述结构的空间不确定性，同时也有研究者提出了区间迭代方法[20]。针对区间不确定性的逆问题，杨某等人研究了基于区间不确定性约束的载荷识别方法[21]。此外，区间不确定性也在结构优化设计[22]、[23]以及模态参数识别[24]等领域得到了应用。

从工程应用系统中随机不确定性和区间不确定性共存的角度出发，研究人员开发了混合不确定性分析方法，即用随机变量描述材料属性的不确定性，用区间模型描述几何参数的不确定性。王某等人结合多项式混沌展开法和响应面法，提出了多项式混沌响应面方法，用于分析结构-声学系统的不确定响应[25]。吴某等人则将多项式混沌展开法和切比雪夫多项式整合到一个框架中，用于分析多体系统的动态响应[26]、[27]。傅某等人利用该方法分析了不平衡旋转系统的动态响应[28]。基于这一理念，周某等人研究了纤维增强聚合物复合材料性能的取值范围[29]。冯某等人提出将多项式混沌与勒让德多项式相结合，用于分析结构的响应[30]。为以统一的方式构建多项式，尹某等人提出了一种混合方法，通过改变权重函数来建立多项式[31]。为降低计算成本，郭某等人提出了基于压缩感知的稀疏多项式混沌勒让德替代模型，用于量化多体系统的随机和区间不确定性[32]。王某等人采用伽辽金投影法计算多项式混沌展开式的系数，并提出了结合多项式混沌展开法和勒让德多项式的混合方法[33]。此外，还研究了在混合不确定性条件下载荷反演的逆问题[34]。

值得注意的是，基于多项式的不确定性传播方法在处理动态响应时存在时间依赖性问题。这一问题的产生是因为替代模型是在每个时间点单独构建的，从而忽略了前后响应之间的因果关系。随着时间推移，基于替代模型方法得到的响应下限和上限会迅速恶化并波动。这一问题最早在随机动力学领域被研究。万某等人提出了多变量多项式混沌展开法，即将随机域离散为多个子域。Gerritsma等人考虑到当前响应是先前响应和随机输入的隐函数，提出了时间依赖型多项式混沌展开法[36]。麦某等人通过引入虚拟时间线来对齐响应轨迹，提出了随机时间变形方法[37]。基于基函数调整的概念，韩某等人提出了一种用于长期分析随机多体动力学的基函数更新策略[38]。孟某等人开发了一种结合多项式混沌展开法和信号分解的长期随机动态分析方法[39]。在多体系统动力学的区间分析领域，也有一些研究致力于解决时间依赖性问题。崔某等人提出了一种结合响应面法以及基于希尔伯特-黄变换和局部均值分解的信号分解方法，该方法可以减小样本响应之间的相位差异。受此启发，作者研究了切比雪夫区间分析方法在长时间下的性能退化问题[41]，并将这一概念扩展到了高维区间分析中[42]。尽管已有不少研究致力于考虑区间不确定性下的多体系统长期动态分析，但时间依赖性问题仍然是一个挑战，尤其是对于混合不确定性情况，相关研究相对较少。

本研究提出了一种新的计算方法，用于在随机和区间不确定性条件下评估多体系统动力学的长期响应界限。该方法结合了多项式混沌展开法、切比雪夫多项式以及局部均值分解技术，被称为PCCI-LMD方法。与传统方法相比，该算法能够有效解决时间依赖性问题，更准确地确定动态响应的下限和上限。本文的其余部分结构如下：第2节介绍本文的研究背景和问题阐述；第3节详细说明所提方法的实现方式；第4节通过数值示例验证该方法的有效性；最后在第5节给出结论。

片段一：多体系统动力学的混合不确定性模型
在不失一般性的前提下，在确定性背景下，多体系统动力学可以表示为：
{Mq¨+ΦqTλ=QeΦ(q,t)=0}
其中，M表示系统的质量矩阵，q代表广义坐标。Φ(q,t)为约束方程，Φq是通过偏微分得到的Φ(q,t)的雅可比矩阵。Qe表示外力的广义形式，λ为拉格朗日乘数向量。

片段二：PCCI-LMD方法的实现
如前文所述，PCCI方法所得到的统计特性界限会随着时间的推移而恶化。为提高PCCI方法在混合随机和区间不确定性条件下对动态系统进行长期分析时的计算精度，本节介绍了一种新方法——PCCI-LMD方法，该方法将正交多项式和局部均值分解技术整合到一个统一的框架中。

片段三：数值示例
本节通过几个典型的学术示例，对比PCCI方法与蒙特卡洛模拟-扫描法[27]、[33]所得结果，以此验证PCCI-LMD方法的有效性。

片段四：结论
本研究提出了一种新的混合不确定性分析方法，用于估算存在随机和区间不确定性的动态系统的长期响应界限。该方法利用随机模型和区间模型来描述系统参数中同时存在的不确定性。传统的多项式混沌切比雪夫区间分析方法存在时间依赖性问题，即响应界限会随时间变化而恶化。为解决这一问题，本文采用了局部均值分解技术。

CRediT作者贡献声明
江欣：方法论、软件、形式分析、原始稿撰写。胡天汉：验证、审稿与编辑。张强：概念构思、监督、项目管理。

伦理审批声明
本研究无需伦理审批。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了兰州交通大学青年学者科学基金（1200061314）的支持。

江欣|胡天汉|张强