一种基于证据不确定性的工程结构全局敏感性分析新方法

《Computers & Structures》：A novel global sensitivity analysis method under evidence uncertainty for engineering structures

　　摘要
全局敏感性分析在不确定性量化领域中起着关键作用，被广泛用于识别关键因素和简化模型。然而，现有研究主要集中在随机不确定性框架下，而基于证据不确定性的敏感性分析尚有待深入探索。为填补这一空白，本文提出了一种基于证据不确定性的全局敏感性分析方法。首先，考虑证据变量的结构特征，分析其在各焦点元素内对模型输出的影响。基于条件输出区间与无条件输出区间之间的面积差，为每个焦点元素定义局部敏感性度量。随后，以每个焦点元素的基本概率赋值为权重，构建加权面积指数，作为基于证据不确定性的全局敏感性度量。为高效计算该指数，本文将自适应克里金模型与遗传算法以及蒙特卡洛模拟相结合，形成了两种高性能的数值求解策略。本研究的主要贡献在于建立了基于证据不确定性的数学上严谨的全局敏感性度量方法，并设计了高效的计算算法，从而为这类不确定性的系统量化提供了完整的框架。

引言
在现代科学和工程实践中，计算模型已成为研究复杂系统行为、预测系统性能以及支持工程决策的核心工具[1][2][3]。随着模型复杂度的不断提升，如何科学评估和量化模型中的不确定性对输出的影响，已成为确保模型可靠性和决策合理性的关键问题[4][5][6]。作为不确定性量化研究的核心组成部分，全局敏感性分析系统地评估了整个不确定性空间中输入参数变化对输出不确定性的影响。它为识别关键参数、简化模型结构以及优化实验设计提供了坚实的理论基础和方法支持，在航空航天、土木工程与建筑、能源设备等领域的复杂系统分析与设计中发挥着不可替代的作用[10][11][12]。

自20世纪中叶以来，全局敏感性分析方法在概率不确定性框架下取得了显著进展，形成了一系列成熟的理论和技术体系。其中，基于方差分解的Sobol指数方法将输出方差分解为各个输入变量及其交互作用的贡献，能够精确量化单个变量及变量组合的全局敏感性，已被广泛应用于力学工程和环境科学等领域。Morris筛选方法采用逐个分析的策略并结合高效采样技术，能够在较低的计算成本下快速筛选出关键变量，适用于高维系统的初步全局敏感性分析。此外，还有基于矩无关的敏感性指数、基于信息熵的敏感性指数以及基于可靠性的敏感性指数等方法不断出现，进一步丰富了概率不确定性框架下的全局敏感性分析方法体系。这些方法的共同特点是假设输入变量的不确定性遵循明确的概率分布（如正态分布、均匀分布），通过概率统计理论实现敏感性量化，在数据充足且信息完备的情况下具有出色的分析性能。

然而，在实际的工程和科学研究中，许多复杂系统的输入变量往往面临信息不足、数据匮乏或认知模糊等问题，难以用精确的概率分布来描述。在这种情况下，区间理论、证据理论、模糊理论等非概率模型更为适用。目前，在区间不确定性下的全局敏感性分析方面已取得一定进展：Moens等人提出了评估模型输出对区间输入敏感性的方法，用于分析每个区间输入的宽度对区间输出宽度的影响；Wang等人构建了两种敏感性指数，用于衡量每个区间输入对区间输出的中心值与半径之比的影响；Zhou等人则引入区间过程理论，建立了区间过程形态与输入参数敏感性之间的关联，并进一步定义了一种新的基于面积的敏感性指数。尽管如此，作为连接区间不确定性与概率不确定性之间的重要桥梁，基于证据不确定性的全局敏感性分析方法仍处于初步探索阶段。

目前，基于证据理论框架的全局敏感性分析面临三个核心挑战：首先，在理论层面，证据不确定性下的模型输出呈现为加权区间形式，传统基于方差或矩的敏感性指数失去了其解释依据，亟需建立与证据理论数学内涵相一致的新敏感性指数。其次，在计算层面，证据理论中的不确定性传播需要多焦点元素组合分析，随着系统输入维数的增加，容易引发维度灾难（组合爆炸），而全局敏感性分析所需的重复计算进一步加重了计算负担，使得相关方法难以在实际工程中得到推广和应用。最后，在物理意义层面，新提出的敏感性指数必须具备清晰的物理内涵，才能为工程决策提供直观有效的指导。

为应对上述挑战，本文旨在构建一个完整的基于证据不确定性的全局敏感性分析方法体系。在理论创新方面，本文提出了一种基于加权面积测量的全新全局敏感性指数：该方法充分考虑了证据变量的结构特征，通过在焦点元素层面分析条件输出区间与无条件输出区间之间的面积差来定义局部敏感性，再以基本概率赋值为权重构建全局敏感性指数，实现了数学严谨性与物理直观性的统一。在计算方法方面，本文开发了一种基于自适应克里金模型的高效求解算法，通过代理模型技术大幅降低计算成本，并结合遗传算法与蒙特卡洛模拟分别处理优化和采样问题，形成了完整的数值求解方案。利用所提出的全局敏感性分析方法，研究人员可以识别出在证据不确定性下对输出结果影响最大的输入变量，从而将有限的资源，如实验测量、高精度仿真以及不确定性降低工作，集中在这些关键输入上，实现降维与问题简化。

本文的后续结构如下：第2节简要介绍证据理论的基本概念；第3节详细阐述基于证据不确定性的全局敏感性指数的构建过程；第4节重点介绍基于代理模型的高效算法实现方式；第5节通过典型案例验证所提方法的有效性与实用性；第6节对全文进行总结。

证据理论的基本概念
证据不确定性作为认识不确定性的一种重要表现形式，被广泛应用于复杂系统建模与可靠性分析中。与传统仅能处理随机不确定性的概率理论不同，证据理论引入了集合表示与概率赋值的双重机制，为不完全信息条件下的不确定性量化提供了更为全面的数学框架。本节将简要介绍……

基于证据不确定性的全局敏感性指数
为构建基于证据不确定性的全局敏感性指数，本节首先分析单个焦点元素内输入变量对模型输出的影响，旨在开发一种能够反映焦点元素内部输入变量敏感性的面积指数。随后，通过综合考虑每个焦点元素的基本概率赋值，对所有焦点元素的面积指数进行加权求和，从而得到一种适用于此类场景的全局敏感性指数。

性质1：0?Ci?1
性质2：若Ci=0，则表明输入变量Xi对模型输出Y没有影响；
性质3：若Ci=1，则表明模型输出Y完全由输入变量Xi决定。

这三种性质的证明如下：
性质1的证明：Ci的下界和上界可由公式(11)、(12)得出：
Ci=∑k=1nEXmEX(AXk)·Cik?∑k=1nEXmEX(AXk)·mink=1nEXCik=∑k=1nEXmEX(AXk)·mink=1nEXCik=mink=1nEXCik?0
Ci=∑k=1nEXmEX(AXk)·Cik?∑k=1nEXmEX(AXk)·maxk=1nEXCik=∑k=1nEXmEX(AXk)·maxk=1nEXCik=max

基于证据不确定性的全局敏感性指数的计算方法
如第3节所述，解决基于证据不确定性的全局敏感性指数问题——即加权面积指数问题的核心，在于确定每个焦点元素内模型输出的无条件界限和条件界限。直接应用优化方法或仿真方法来计算这些界限会导致极高的计算成本，难以在现实工程中应用。为解决这一问题，本节提出了一种……

测试案例
本节通过三个案例 study，即一个解析示例、一个曲柄滑块机构模型以及一个飞机机翼模型，系统验证了所提出的指数和算法在基于证据不确定性的全局敏感性分析中的性能。在测试案例中，为便于验证所提方法的有效性，直接给出了基本概率赋值。在实际工程应用中，基本概率赋值的确定确实是一个关键问题……

结论
本研究通过构建完整的理论框架和高效算法体系，弥补了基于证据不确定性的全局敏感性分析方法的不足。创新性地提出了一种基于加权面积指数的全局敏感性指数。该指数通过剖析证据变量的数学结构，利用条件输出区间与无条件输出区间之间的面积差，在焦点元素层面定义局部敏感性，进而实现整体敏感性分析。

CRediT作者贡献声明
冯凯旋：撰写——原始草稿、验证、软件、方法论、形式分析、概念设计。施雅云：撰写——审稿与编辑、可视化、方法论、概念设计。陈一洲：撰写——审稿与编辑、验证、软件、概念设计。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文工作的已知财务利益或个人关系。

致谢
本研究得到了国家自然科学基金（12302154，12302302）的支持。
冯凯旋|施雅云|陈一洲