两阶段网络数据包络分析中的虚拟投影偏差：一种用于效率分解的统一非径向方法

《European Journal of Operational Research》：Virtual Projection Bias in Two-Stage Network Data Envelopment Analysis: A Unified Non-Radial Approach for Efficiency Decomposition

　　•解决了两阶段网络DEA模型中的虚拟投影偏差问题。•提出了DEA模型偏差修正的间接与直接方法。•将效率分解为阶段层面和系统层面的指标。•通过银行业案例研究及敏感性分析进行了验证。

引言
Charnes、Cooper与Rhodes在1978年提出了最初的数据包络分析（DEA）模型，即CCR模型，用于评估具有相同多输入多输出结构的决策单元群组的绩效。CCR模型假设存在一个忽略内部结构的黑箱式生产过程。然而，忽视内部生产过程可能会导致误导性结果，且无法识别效率低下的根源（Kao，2014）。为解决这一问题，传统DEA方法被扩展为网络DEA（NDEA）模型，以应对网络化生产系统。基于内部生产结构的差异，NDEA方法被发展出来，用于处理具有不同配置的生产系统，包括串联、动态、混合及并行结构。关于这一主题的综述与研究可见于Kao（2014、2018）以及Mergoni等人（2025）的著作。近期还有研究提出在NDEA框架下采用自举法（Michali等人，2023）和鲁棒优化法（Omrani等人，2017；Peykani等人，2022），以应对数据不确定性并提升NDEA模型的稳健性。

两阶段网络（2SN）系统是串联系统的基本生产结构（Guo等人，2020），它描述的是这样一种生产过程：第一阶段的全部输出成为第二阶段的输入，没有额外的输入直接进入第二阶段（见图1）。基于传统黑箱系统的生产公理，传统的2SN方法将2SN系统分解为两个黑箱系统，并分别定义输入-中间产品可能性集与中间产品-输出可能性集。目前已有多种2SN模型被提出用于评估该系统的性能。根据评估策略的不同，这些2SN模型可分为两类：（1）集中式模型（Seiford与Zhu，1999；F?re与Grosskopf，1996；F?re，2000；Kao与Hwang，2008；Chen等人，2010、2016）；（2）领头者-追随者模型（Liang等人，2008；Koronakos等人，2019；Meng与Xiong，2021；Xie等人，2022）。

然而，尽管对2SN DEA模型进行了诸多理论扩展，但大多数模型仍存在投影识别及阶段效率计算方面的问题。例如，Kao与Hwang（2008）提出的著名2SN模型就无法识别中间投影。为此，Chen等人（2010）提出了一种集中式2SN模型，旨在识别包括输入、中间产品及输出在内的全部投影信息。Chen等人（2016）又将该模型扩展为基于松弛量的SBM模型，而关于SBM模型的更详细综述可见于Emrouznejad等人（2025a）的著作。不过Chen等人（2013）指出，在集中式2SN包络模型中，由于效率评估过程与生产边界之间存在偏差，中间投影及分割效率并非唯一确定。Lim与Zhu（2016）首次探讨了径向2SN模型中投影识别的对偶性问题，并提出了一种简化方法，即在非合作情况下用区间而非具体数值来表示中间产品的投影。Lim与Zhu（2019）将该方法扩展到加性2SN模型，以及Kao与Hwang（2008）在可变规模报酬假设下的乘性模型。Chu与Zhu（2021）以及Chen与Wang（2025）则分别在规模报酬不变和可变假设下提出了生产规模型2SN模型。这类模型能够识别出唯一的投影值及阶段效率。

在近期研究中，Khezrimotlagh与Zhu（2023）指出了传统2SN DEA模型中的一个关键问题：它可能会产生一个虚拟但不可行的外部投影点。具体而言，在2SN框架下，输入投影来自输入-中间产品可能性集，而输出投影则基于中间产品-输出可能性集，整体输入-输出投影则是通过结合这两个独立确定的投影值而构建的。但由于输入投影并未受到完整输入-输出生产技术的约束，这个虚拟投影点可能并不属于可行的输入-输出生产可能性集，因此其对应的投影可能会位于可行生产边界之外。这样的外部点表现出的性能优于实际生产技术，从而导致对决策单元效率的低估。

为解决这一问题，Khezrimotlagh与Zhu引入了“第二视角效率”这一概念，并提出了一种特殊的领头者-追随者模型。尽管该方法解决了外部投影点的问题，但它存在三处局限，可能限制其适用范围与性能。首先，“第二视角效率”实际上是“分割效率”的延伸，因此该方法无法应用于那些无法确定唯一分割效率的集中式2SN模型（如Chen等人，2010；Kao与Hwang，2008等）。其次，该方法基于传统的径向度量模型，通过输入收缩或输出扩张的比例来衡量决策单元的绩效，在这种情况下，由于投影点并非帕累托有效的，该方法的区分能力可能会下降（Zelenyuk与Zhao，2024）。第三，Khezrimotlagh与Zhu的两阶段方法所生成的投影点很可能是输入-输出生产边界上的内部点。本文进一步表明，即便采用非径向度量方法，这一问题依然可能存在。

从管理角度而言，双倍乘数2SN DEA模型的解读表明，这些方法隐含地假设内部生产过程具有完全的灵活性，即各内部阶段之间可以自由重新排列或配置。然而，在现实环境中，内部运营往往受到组织结构、规章制度以及生产能力等方面的限制，这一假设往往不成立。此外，现有的2SN DEA模型倾向于将效率低下归因于特定的内部因素，如资源分配不合理或运营策略不当。但实际上，企业内部的系统性效率问题往往源于影响整个生产系统的更广泛缺陷（Vining，2003）。Dolgui等人（2018）指出，串联生产系统中存在连锁反应效应，这进一步说明传统2SN DEA分析往往忽视了这类系统性问题。因此，除了模型普遍性方面的局限之外，将整体效率分解为阶段特定效率与系统整体效率，仍是当前文献中较少研究的领域。

通过对原始CCR模型的扩展，人们开发出了多种非径向DEA模型。与径向模型不同，非径向模型允许输入以不同速率收缩，输出以不同速率扩张，从而能够识别出帕累托有效的投影点。最近，Halická与Trnovská（2021）以及Zelenyuk与Zhao（2024）提出了非径向度量的统一框架，旨在提升非径向DEA模型的普遍性与理论一致性。根据Halická与Trnovská（2021）的观点，非径向图模型的标准形式可以通过两种主要方式表示：（1）加性松弛变量；（2）Russell型乘数。基于他们的分类，我们总结了若干重要的非径向模型，阐述了它们的线性特征及其对应的等价表达形式（见表1）。

受上述文献的启发，本文提出了2SN系统的统一非径向度量方法，该方法无需考虑外部点问题，同时通过提出新的效率分解方法，分析了其在管理层面的意义。本文的贡献如下：第一，通过将Khezrimotlagh与Zhu的方法扩展为非径向度量，本文提出了一种统一的解决方案，用于解决2SN模型中的外部投影问题，该非径向度量提升了模型的区分能力。第二，本文提出了一种检测外部投影点的通用方法，并从优化角度与管理角度分析了该问题的成因。第三，本文进一步提出了针对外部投影点问题的新方法，这些方法考虑了该问题的来源以及外部投影点的检测方式。所提出的新方法具有很强的通用性，因为它不需要真实分割效率的相关信息，同时还能确保外部投影点被重新定位到输入-输出投影边界的上界。第四，本文通过其对偶形式对所提出的新方法进行了阐释。为考虑2SN系统中的连锁反应效应以及各种效率低下的成因，本文还提出了一种新的效率分解方法，将整体效率划分为阶段效率与系统效率两部分。

本文的其余结构如下：第2节回顾相关文献，探讨2SN模型中的外部投影点问题，并提出相应的统一非径向模型作为扩展。第3节提出检测外部投影点的方法，并分析该问题的成因。第4节基于第3节的讨论，提出解决外部投影点问题的模型。第5节通过针对亚洲25家汽车制造企业的供应链进行的实证分析及相应的敏感性分析，对所提出的非径向2SN模型进行了测试。第6节为两阶段系统提出了调整后的生产技术，并解释了该方法所估算的影子价格。第7节将我们的方法扩展到一种新的乘数模型，进一步提出在不同假设条件下的新的效率分解方法。第8节为全文总结。附录A中给出了基于超效率模型的对偶模型，当参数M足够大时，该模型相对于基于乘数PPS的模型就变得多余了。由于基于超效率方法的对偶模型表明问题规模更大，因此在本研究的结论与未来研究方向部分，我们重新审视了K&Z的研究，以突出在2SN系统中使用外部投影点所带来的挑战。虽然K&Z的方法有效解决了效率测量的某些问题，但它依赖于模型计算唯一划分效率的能力，并且假设存在领导者-追随者式的生产偏好。为了推广K&Z的工作，我们提出了一种外部点检测方法，并从PPS的角度分析了问题的根本原因。

未引用参考文献：Cooper等人，2011b；An等人，2017；Li等人，2018；Peykani等人，2024。

CRediT作者贡献说明：
Chixiao Lu：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，验证，软件，方法论，研究，数据整理，概念构建。
Ali Emrouznejad：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，指导，方法论，研究，形式分析，概念构建。
Dimitris Giraleas：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，验证，方法论。