针对技术员数量有限的飞机机队基于状态维护调度的索引策略

《European Journal of Operational Research》：Index policy for condition-based maintenance scheduling of aircraft fleet with limited technicians

　　•在飞机机队的维护调度中，需要考虑有限的资源状况。•该问题被建模为长期平均无限视界马尔可夫决策过程。•通过按飞机分类将其分解，并转化为有限视界动态规划模型。•在现有的惠特尔指数值计算算法中加入了可索引性检验。•当有两架相同的飞机时，惠特尔指数策略表现优异且能达到最优解。

引言
飞机维护对于确保航空安全与运营效率至关重要。维护活动主要分为两类：计划性维护是指在预定时间进行的检查与修理，而非计划性维护则用于处理意外故障（Deng等人，2021；Zhang等人，2024）。通常，计划性维护可进一步划分为航线维护和基地维护。航线维护指的是在飞机正常运行期间于机场进行的常规检查及简单维护工作；而基地维护则涉及更为复杂、需大量资源的工序，这类工作需要专门的设施，还会导致飞机停飞更长时间（Chandola等人，2023）。基地维护往往需要更高的成本，会显著增加航空公司的运营开支，这些公司通常会将10%至20%的预算用于维护工作（Sprong等人，2020）。因此，有效的基地维护调度对于提升航空公司的效率与盈利能力具有重要意义。

基地维护包括对发动机、起落架、电子系统以及航空电子设备等关键部件进行彻底的检查与维护。传统上，基地维护是按照预定的间隔周期定期进行的，这种做法被称为基于时间的维护（TBM）。虽然这种方式有助于维护调度，但由于忽视了部件的实际状况，可能会导致过度维护，从而造成不必要的资源浪费。此外，维护工作主要依赖于对单个部件的观察以及专家经验，往往缺乏从整个机队角度出发的主动资源规划思路。这可能会因临时资源短缺而产生外包成本，更严重的是还可能打乱运营计划，带来巨大的延误损失。近年来，传感器技术的出现推动了基于状态维护（CBM）在航空维护领域的应用（Lee和Mitici，2023；Tseremoglou和Santos，2024）。CBM利用基于传感器数据得出的健康指标来制定合理的维护决策，从而减少不必要的预防性维护，提升维护资源管理的效率（Ahmad和Kamaruddin，2012；Cai等人，2023）。这一转变为实现常规基地维护中的成本节约提供了可行途径。

尽管CBM具有诸多优势，但其实施却因维护基地面临的现实运营状况而变得复杂，这些基地通常需要为按不同计划运行的多架飞机提供服务。这种情况可能会造成资源紧张，给从整体机队视角进行的维护调度与资源管理带来新的挑战。尤其是航空维护行业面临着维护人员短缺的问题（Mishra等人，2022；Nam等人，2023）。预计未来几年内，该行业将面临12,000至18,000名技术人员的缺口。供需失衡的状况预计将持续存在，到2027年，飞机维护技术人员的需求缺口可能超过48,000人，约占所需总人数的27%（Costanza等人，2023）。鉴于这些挑战，迫切需要开发更高效的CBM调度方法，在应对劳动力不足的同时提升飞机维护工作的运营效率。

学术界对飞机维护问题进行了大量研究。这些研究大多聚焦于常规飞机维护任务的调度，例如各类检查项目，如A级检查、B级检查、C级检查和D级检查；例如可参考Ba?dere和Bilge在2014年的研究，以及Witteman等人、Zhang等人在2024年的相关研究。这些研究通常是在预定的时间间隔安排维护工作，而非采用基于状态的策略。CBM技术的发展进一步丰富了这一领域，并促使人们开始研究针对关键航空部件的CBM调度方法（De Pater等人，2022；Xia等人，2023）。这些研究属于多部件系统CBM问题的范畴。这一方面的CBM问题已在各种应用场景中得到广泛研究（Andersen等人，2022；Bansal等人，2024；Olde Keizer等人，2016；Xu等人，2021；Zhang和Si，2020）。然而，现有研究并未考虑到飞机机队基地维护工作的独特特点，即飞机会根据不同的预定运行计划抵达基地，而且旧飞机在服役寿命结束后会被新飞机取代。这些特点使得维护调度显得更为重要，因为飞机在基地进行维护的时间窗口十分有限。

为弥补这些缺陷，本文研究了在技术人员数量有限的维护基地中，针对飞机机队关键部件的CBM调度问题。该机队运营多条航线，每条航线都配备有特定类型、且服役寿命有限的飞机。也就是说，旧飞机退役后会被新飞机替代，以确保运营持续进行。由于飞行计划和常规维护间隔的不同，飞机会在不同时间抵达基地。在规划周期内的每个决策时刻，基地管理者都需要根据部件的损耗程度以及飞机的服役年龄，决定哪架停在基地的飞机需要进行该部件的维护。研究的目标是制定一种维护策略，能够在无限长的规划期内最小化长期平均成本，而这些成本既包括维护费用，也包括可能发生的故障成本。

我们将该问题建模为离散时间马尔可夫决策过程（MDP），并将其转化为无限时间视界的动态规划模型。然而，由于状态空间维度较高，使用价值迭代等标准方法来解决该动态规划问题是不切实际的。已有几项研究提出了启发式方法来应对此类挑战（Shi等人，2020；Xia等人，2013；Zhang和Zeng，2015）。其中，为“不安分强盗”问题开发的惠特尔指数策略（Whittle，1988）被广泛应用，尤其适用于CBM问题（Abbou和Makis，2019；Demirci等人，2024；Glazebrook等人，2005）。受其启发，我们采用了惠特尔不安分强盗方法，并通过拉格朗日松弛法将原问题分解为多个单飞机子问题，每个子问题仅涉及单架飞机的维护调度。每个子问题本身也可以被转化为具有两个二维状态的无限视界动态规划模型，这两个状态分别是飞机的服役年龄和部件的损耗程度。不难证明，尽管最优策略在部件损耗程度上是单调的，但在飞机服役年龄上却并非单调。这种非单调结构增加了分析的难度，也使得确定可索引性这一属性变得复杂，而可索引性是证明惠特尔指数存在的必要条件（Whittle，1988）。尽管如此，仍然可以通过数值方法来验证可索引性。现有文献中已提出了多种用于此目的的算法。Gast等人（2023）就开发了一种算法，既能用于检测无限视界动态规划问题的可索引性，又能同时计算惠特尔指数。不过，这种算法的计算成本很高。考虑到我们的问题特点，即每架飞机在服役寿命结束后都会被同型号的新飞机取代，我们将每个单飞机子问题重新表述为具有单一维度状态——即损耗程度——的有限视界动态规划模型。通过这种转换，就可以应用为有限视界“不安分强盗”问题设计的更高效算法。Brown和Smith（2020）也提出了此类算法，但他们的算法无法检测可索引性。我们在他们的算法基础上增加了可索引性检测功能。利用该算法，我们证明了在所有典型问题设置下，这些单飞机子问题都是可索引的。根据计算得到的惠特尔指数，我们制定了一种指数策略，即在每个决策时刻始终选择指数值最大的飞机进行维护。我们的数值实验验证了所提指数策略的优异性能与良好扩展性。在有两架相同飞机的问题上，该指数策略能够达到最优解；而对于其他问题，其性能也优于现有的基准启发式算法。

我们对现有研究的贡献主要有两点。首先，本文将飞机基地维护调度问题的研究范围拓展到了技术人员短缺这一航空维护行业长期存在的难题，以及机队内不同的预定运行/飞行计划，还有飞机在服役寿命结束后的退役与更新问题。考虑这些因素将提升所提方法在解决现实航空行业问题时的适用性。此外，本文开发的方法也可直接应用于具有资源依赖性的多部件系统的CBM问题。许多此类系统同样存在部件间不同的运行计划，以及部件退役后的更新需求，比如制造业和风力发电场中的系统。

其次，我们的研究将惠特尔指数策略的应用范围拓展到了具有有限资源的大规模CBM问题。与以往研究中子问题的状态通常为一维不同，每个单飞机子问题都具有二维状态空间。据我们所知，此前仅有Abbou和Makis（2019）在群体维护问题中考虑过二维（无限视界）“不安分强盗”问题。在特定的设定下，他们证明了最优单“强盗”策略的单调性，并验证了其可索引性。然而在我们的问题中，单“强盗”策略并非单调的。此外，我们研究的是长期平均问题，相比折现问题，其在可索引性证明方面更为复杂。为降低惠特尔指数计算的复杂度，我们将每个子问题重新表述为具有单一维度状态的有限视界动态规划模型，这样就可以使用最近为有限视界问题提出的算法来计算惠特尔指数。我们还在该算法的基础上增加了功能，使其在计算指数值的同时能够检测可索引性。

本文的其余部分结构如下：第2节简要回顾相关文献。第3节将所研究的问题建模为马尔可夫决策过程，并将其转化为无限视界动态规划模型，随后在第4节中依据惠特尔不安分强盗方法将该模型分解为多个单飞机子问题。第5节探讨单飞机子问题的可索引性，并实现两种用于计算惠特尔指数的算法，进而制定出相应的指数策略。第6节通过大量的数值实验，将该指数策略的性能与其他策略进行对比评估。最后，第7节总结研究结论并指出未来的研究方向。第6.2节介绍了在两架飞机情况下该指数策略相较于最优解的次优性，以及在更多飞机情况下其相对于基准策略的相对性能。第6.3节对三个关键问题参数进行了敏感性分析。结论部分指出，鉴于维护技术人员的数量有限，本文研究了维修基地内飞机机群中某个关键部件的CBM调度问题。每架飞机都有预先确定的运行计划，在其使用寿命结束后会被同型号的新飞机替代以继续服役。我们将该问题建模为离散MDP，目标是最小化长期平均成本，这一目标随后被转化为无限CRediT作者贡献声明：朱颖：撰写——初稿、方法论、资金获取、概念设计。李东：撰写——初稿、方法论、概念设计。胡世强：撰写——审阅与编辑、资源协调、研究工作。夏唐斌：资源协调、数据整理、概念设计。潘尔顺：验证、软件开发。习立峰：可视化处理、项目监督。利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。致谢：本研究得到了中国国家自然科学基金（72301169）、中国博士后科学基金会专项资助项目（2024T170553）、中国国家自然科学基金（72571173）以及上海市自然科学基金（25ZR1401196）的资助。朱颖|李东|胡世强|夏唐斌|潘尔顺|习立峰