一种能够考虑正交各向异性复合圆拱、椭圆拱及超椭圆拱中三维应变的强健几何非线性混合有限元方法

《Finite Elements in Analysis and Design》：A robust geometrically nonlinear mixed finite element accounting for 3D strains in orthotropic composite circular, elliptical and super-elliptical arches

　　•一种几何非线性混合有限元建模方法。•考虑了三维应变的本构方程。•承受平面内压力的复合弧结构。•几何非线性位移与线性位移的比值。•支撑点处的正应力和剪应力。引言由于具有较高的刚度重量比、可定制性以及出色的疲劳和耐腐蚀性能，复合材料被广泛应用于航空航天[1,2]、海洋工程、民用基础设施[3]、风力涡轮机叶片[4,5]、汽车工业[6]和铁路系统、海上平台、体育器材、机器人技术[7]以及国防领域。通过调整纤维方向和堆叠顺序，工程师能够针对特定的载荷条件和设计要求优化梁的性能。然而，在许多应用中，由于载荷、边界条件或几何结构的原因，复合梁会表现出几何非线性行为，而这直接影响结构的刚度、承载能力、稳定性以及屈曲后的响应。在相关文献中，已有大量研究详细探讨了直杆的线性和几何非线性行为[[8], [9], [10], [11], [12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21]]。此外，还有一些研究着眼于由复合材料或功能梯度材料制成的梁的非线性行为，例如：Li等人[22]提出了一种新的欧拉-伯努利梁模型，用于分析考虑中间面拉伸效应的二维功能梯度材料梁的几何非线性弯曲行为；Ma和Lee[23]利用中性面概念，为功能梯度材料Timoshenko梁在热载荷作用下的非线性静态响应给出了精确的封闭形式解；Li等人[24]提出了一种新的Timoshenko线单元框架，用于分析功能梯度材料的几何非线性行为，并考虑了由不对称截面特性引起的扭转效应；Uddin等人[25]基于三阶梁理论，提出了考虑界面处可变形剪切弹簧作用的层状复合梁的一维非线性有限元模型；Wang等人[26]采用了包含冯·卡门非线性和Mori-Tanaka模型的三阶剪切变形理论，对夹层梁进行非线性弯曲分析；Zhao等人[27]提出了一种基于三阶剪切变形理论和冯·卡门应变的非线性iFEM算法，可用于分析发生大变形的各向异性复合梁的形状变化；Li[28]开发了一种(3,2)统一之字形梁单元，用于几何非线性分析，通过格林应变和第二Piola-Kirchhoff应力精确模拟层合梁的大变形和剪应力；Hui等人[29]采用了Carrera统一公式开发了分层梁模型，该模型支持变阶理论，可高效准确地分析几何非线性夹层梁；Tang等人[30]运用哈密顿原理和几何非线性理论，研究了多方向载荷作用下三维功能梯度材料细长梁的非线性力学行为；She等人[31]利用改进的梁理论，研究了两端固定的功能梯度材料管的非线性弯曲、热屈曲及屈曲后行为；Bani?等人[32]提出了一种基于改进拉格朗日方法的几何非线性剪切变形梁建模方法，用于分析具有对称且平衡角向铺层的薄壁层合复合梁的屈曲问题；Lin等人[33]采用无网格平滑流体动力学粒子法，模拟了厚度可变的函数梯度材料梁的几何非线性弯曲行为，并通过修正平滑处理和全拉格朗日公式提升计算精度；Li等人[34]提出了基于Peridynamic微分算子的非局部Peridynamic模型，用于分析横截面可变的函数梯度材料梁的大变形问题；Shafei等人[35]在等几何框架下，运用包含冯·卡门应变的三阶剪切变形理论，研究了各向异性复合梁的几何非线性振动问题。一些研究则聚焦于曲线梁的非线性行为，例如：Bauer等人[36]提出了一种考虑扭转效应的几何非线性空间曲线欧拉-伯努利梁单元，但未考虑截面翘曲问题；Hughes等人[37]提出的等几何分析方法，通过采用非均匀有理B样条作为基函数，将计算机辅助设计技术与有限元分析相结合。NURBS在CAD中常被用来表示自由几何形状以及圆、圆柱等基本形状，能够实现精确的几何描述，并保证分析过程中的平滑连续性（Auricchio等人[38]、Dokken等人[39]以及Rogers[40]均有相关研究）；Vo和Nanakorn[41]提出了一种基于NURBS的等几何分析新方法，用于分析发生大位移的薄弹性平面曲线欧拉-伯努利梁；Zhang等人[42]采用了绝对节点坐标公式以及一种新的曲率约束插值方法，对直线和高度弯曲的欧拉-伯努利梁进行了几何非线性分析；Jirásek等人[43]提出了一种二维几何非线性欧拉-伯努利梁单元，能够处理任意大的截面旋转问题；Vo等人[44]提出了一种新的等几何欧拉-伯努利梁建模方法，用于分析多块组合的梁结构；Vo等人[45]将线性等几何分析方法扩展到了Timoshenko-Ehrenfest梁的几何非线性等几何分析中；Vo和Nanakorn[46]以及Vo等人[47]基于二维连续体理论和NURBS曲线的等几何分析方法，发展出了全拉格朗日Timoshenko梁建模方法，用于分析平面和空间曲线梁的几何非线性问题；Gruttmann等人[48]为具有任意截面的偏心空间曲线Timoshenko梁建立了有限元建模方法，同时考虑了由于形心与剪心不重合而产生的扭弯耦合效应；Rezaiee-Pajand等人[49]为平面结构的几何非线性分析设计了曲线梁单元，该单元结合了一阶剪切变形理论、Green-Lagrange应变以及混合应变插值方法，旨在避免锁死现象并考虑有限的旋转程度；Huang等人[50]采用无网格修正平滑粒子法，研究了三维几何非线性Timoshenko梁的准静态和动态行为；Liao等人[51]提出了一种高阶曲线梁积分元素，该元素基于增量虚功方程并通过弱形式积分元素方法构建，用于分析空间曲线梁和直线梁的几何非线性问题；Harsch等人[52]为具有预弯曲结构的、发生大位移的几何非线性梁提出了基于方向场的新有限元建模方法；Ibrahimbegovi?[53]实现了Reissner的三维有限应变梁理论在非线性静力学中的有限元实现，适用于任意空间曲线梁；Petrov和Géradin[54]提出了一种几何上精确的有限元理论，用于分析发生大变形的弯曲和扭曲三维梁，该理论考虑了平移/旋转位移、截面翘曲以及轮廓变形等因素；Nguyen和Oterkus[55]采用基于全拉格朗日公式的新型Peridynamic模型，研究了三维梁结构的几何非线性分析问题。在复合材料或功能梯度材料曲线梁的非线性行为研究方面，Li等人[56]运用一阶剪切变形理论研究了功能梯度材料曲线梁的几何非线性行为；Hu等人[57]提出了一种用于多层功能梯度材料曲线梁的热耦合大变形模型；Rezaiee-Pajand等人[58]开发了一种四节点等参梁单元，用于功能梯度材料曲线梁的几何非线性分析；Li等人[59]提出了一种基于力的有限元梁理论新方法，用于分析刚度不连续的功能梯度材料曲线梁的几何非线性问题；Nguyen等人[60]通过基于等几何分析的数值模型，研究了功能梯度材料曲线梁的非线性行为。由于复合曲线结构元件在航空航天、海洋工程和国防领域有着广泛应用[[61], [62], [63], [64], [65], [66]]，本研究旨在通过采用每节点具有十二个自由度的2节点曲线混合有限元，建立一种快速且收敛性良好的复合弧结构几何非线性分析框架。所提出的几何非线性有限元建模方法解决了现有文献中的诸多不足，其主要贡献如下：•与现有文献中的传统梁有限元不同，后者通常仅能保证曲线几何形态沿梁轴方向的C0级连续性，而所提出的非线性混合有限元则通过其专门的曲线建模方法，保证了节点连接处的C1级连续性。在经典的Frenet-Serret微分几何理论中，可通过曲率和弧长函数解析地确定弧的形心轴（Struik D.J. [67]）。由于采用了精确的轴几何形状，因此可以精确计算出节点处的曲率，进而通过基于形状函数的常规方法高精度地得到单元弧长，并将其纳入单元矩阵中（Omurtag和Ak?z [68]）。•与传统梁理论不同，所采用的本构方程是通过整合完整的三维弹性建模方法推导而来的。该本构方程考虑了体积单元侧面上产生的应变（εn,εb,γnb）对梁截面上的应力分量（σt,τbt,τtn）的影响，从而能够捕捉到传统理论中通常被忽略的三维效应。此外，单元矩阵会在每次迭代过程中根据截面翘曲变形情况进行更新。而且，冯·卡门非线性应变是基于每个节点的三个位移和三个旋转量来计算的。•此外，所使用的混合有限元建模方法本身就具备避免剪切锁死的特性。几何上精确的梁建模方法虽然能够有效捕捉大的空间运动学行为，但却忽略了三维应力重分布问题，且往往需要特殊方法来解决锁死现象。而等几何分析虽然可以直接从CAD模型中获得精确的几何表示和更高阶的连续性，但计算成本却非常高。所提出的混合有限元建模方法通过整合这两种方法的优点，构建了一个计算成本较低的框架，从而有效解决了上述问题。具体而言，它能够在高效的2节点结构中实现几何精确性和C1级节点连续性，仅需24个自由度（每个节点包括3个力、1个扭矩、2个弯矩、3个位移以及3个旋转量），同时还充分考虑了截面翘曲效应。与传统的1D梁不同，截面上的三个应力分量是通过所有六个三维应变分量综合计算得出的，并通过一个简化的3×3本构矩阵相互关联。因此，所开发的混合有限元方法无需使用复杂的3D实体网格，相比传统的如SOLID186这样的实体元素（每个元素各有60个自由度），所需自由度大大减少。最终，这种方法既具备了等几何分析的高几何精度，又拥有计算成本高昂的3D实体元素的物理精度，同时还保持了1D有限元结构简洁且收敛速度快的特点。这些优势使得所开发的混合有限元方法的精度能够与3D实体元素相媲美，但所需自由度却大幅降低。这样一来，应力计算的速度就能远远快于使用3D实体元素的情况，同时仍能保持所需的工程精度。此外，该方法所需的输入数据量也远低于3D元素。这种简洁清晰的输入方式还有助于避免用户输入错误。基于Hellinger–Reissner泛函的一阶变分的非线性方程，可通过增量建模方法进行线性化处理[69,70]，然后通过牛顿-拉夫森算法进行迭代求解。与ANSYS中的2节点BEAM188、4节点SHELL181以及20节点SOLID186元素相比，采用2节点曲线混合有限元方法，由于自由度更少，因此能够得到收敛性良好的几何非线性位移结果。该几何非线性混合有限元建模方法还通过Jeon等人[71]提出的MITC3+壳单元有限元方法（一种通过立方泡函数增强的三节点三角形壳单元，采用张力分量的混合插值方法）、Di Re和Benaim Sanchez[18]提出的基于力的梁单元有限元方法、Li等人[24]提出的考虑扭转效应的Timoshenko单元有限元方法以及Huang和Ouyang[72]给出的精确解，还有Rezaiee-Pajand等人[49]提出的无锁死曲线Timoshenko单元有限元方法进行了验证。接下来，通过将无锁死混合有限元方法的结果与SOLID186元素的结果进行比较，研究了随着厚度减小会导致结构剪刚度被高估的膜效应和剪切锁死现象。随后，通过2节点曲线混合有限元方法得到了在面外载荷作用下超椭圆梁的包含翘曲效应的几何非线性响应，并将其与实体单元有限元方法的结果进行了对比。通过与基于一阶剪切变形理论得到的结果进行比较，进一步凸显了考虑翘曲效应的重要性。作为基准分析，本文还探讨了在不同平面压力、几何设计、材料选择以及层叠方向条件下，圆形、椭圆形和超椭圆弧结构的几何非线性位移与线性位移的比值，以及归一化的几何非线性位移值。片段内容弗雷内-塞雷框架空间曲线的位置向量可表示为R(s)，其中s为弧长参数。弗雷内-塞雷框架中的切向单位向量t、法向单位向量n和副法向单位向量b与R(s)的关系为：t(s)=R,s；n(s)=R,ss‖R,ss‖；b(s)=t(s)×n(s)，其中下标中的逗号表示对相应变量求偏导数。设空间曲线的曲率為κ(s)=‖R,ss‖，Frenet-Serret坐标系的微分关系如下[67]：t(s),s=κ(s)n(s)；n(s),s=τ(s)b(s)?κ(s)t(s)，其中τ(s)为...

数值分析
首先，在3.1节中，针对在尖端剪力作用下的悬臂板，对2节点弯曲多阶有限元（每个节点12个自由度）进行了网格细化收敛性分析。几何非线性下的尖端位移通过2节点BEAM188、4节点SHELL181和20节点SOLID186有限元（ANSYS软件），以及Jeon等人[71]提出的MITC3+壳层有限元（基于张力分量的混合插值方法，由三次泡函数增强的三节点三角形壳层单元）进行了验证。接下来，在...

结论
针对复合弧段，建立了一种几何非线性多阶有限元模型。在该模型中，通过经典Frenet–Serret框架中的曲率和弧长函数，以解析方式确定弧段的几何形状，并将其有效地融入有限元模型中。通过将所有三维应变分量纳入变换后的本构方程，满足了梁理论中的无应力表面条件。冯·卡门非线性应变包括三种位移和三种...

作者贡献说明
Umit N. Aribas：数据整理、形式分析、研究、方法论、软件应用、验证、可视化、初稿撰写。Elif Koc：形式分析、验证。Emre Kahraman：形式分析、验证。Mehmet H. Omurtag：软件应用、监督、可视化、修改与润色。

利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

致谢
作者衷心感谢Merve Ermis博士的宝贵贡献。

Umit N. Aribas|Elif Koc|Emre Kahraman|Mehmet H. Omurtag