基于物理信息的弹塑性深度学习：强形式、能量最小化及状态感知建模方法

《Finite Elements in Analysis and Design》：Physics-informed deep learning for elasto-plasticity: Strong-form, energy-minimization, and state-aware formulations

　　•基于强形式理论的弱应变弹塑性神经网络构建。•提出以能量最小化为替代的强形式理论模型。•将神经网络训练与向后欧拉本构积分相结合。•研究基于状态感知的增量模型与LSTM模型在模拟塑性行为中的应用。•通过一维解析模型及二维线性/非线性硬化模型进行验证。

引言
机器学习日益影响着计算力学领域，涵盖固体力学[1]–[10]、流体力学[11]–[15]、热分析[19]–[23]、逆向与代理建模[24]–[29]、不确定性量化[30]–[34]，以及偏微分方程的求解[35]–[42]。在固体力学中，机器学习模型被用于数据驱动的本构建模[43]、粘弹性与循环本构建模[44]、弹性与弹动力学研究[45]–[46]、基于热力学的本构建模[47]、弹塑性本构响应分析[48]–[49]、超弹性研究[50]、非弹性材料建模[51]、断裂建模[52]–[56]，以及复合材料响应分析[57]–[60]。Samaniego等人[61]提出了用于求解偏微分方程的深度能量法，Nguyen-Thanh等人[62]将该方法应用于超弹性问题，随后Goswami等人[63]将其用于相场断裂问题研究，近期Manav等人[64]也对其进行了探索。

用于力学领域的机器学习模型可通过数据、物理原理或二者结合的方式进行训练。数据驱动型方法[65]–[68]通常需要依赖实验或高精度数值模拟得到的输入输出数据；而物理引导型方法[69]–[75]则通过将控制方程、边界条件及本构约束直接纳入训练目标，从而降低对数据的依赖。混合型方法则结合数据与物理原理，以提高模型的稳健性与泛化能力[79]–[82]。诸如DeepONet[83]–[85]、傅里叶神经算子[86]–[87]和小波神经算子[88]之类的算子学习方法，为学习函数空间间的映射关系提供了重要框架[89]–[93]。纯数据驱动的神经算子往往需要大量成对的输入输出数据，而近年来的物理引导型神经算子模型则通过将控制方程与边界条件纳入训练过程，减少了对标记化模拟数据的依赖。Wang等人[94]研究了无需数据的物理引导型DeepONet神经算子，Zhong和Meidani[95]、Asl等人[96]也进一步探索了相关技术。Rezaei等人[97]提出了有限算子学习方法，该方法将神经算子、物理引导型机器学习与数值方法相结合，用于高效求解偏微分方程并实现参数优化。本研究并非旨在构建完整的算子学习模型，而是开发并验证了基于物理原理的弹塑性神经网络模型，为未来基于物理的算子学习方法的发展奠定基础。

从力学角度而言，弹塑性响应受平衡方程、运动学关系、本构定律、屈服条件以及内部变量演化方程的制约[98]–[100]。有限元方法通过满足平衡方程的弱形式并在单元高斯点处积分本构方程，为这类问题的求解提供了成熟的数值框架[101]–[103]。然而，每当出现新的加载条件、几何结构、材料参数或离散化方案时，通常都需要重新进行非线性有限元分析。近期有研究系统地比较了物理引导型神经网络与有限元方法在精度与计算成本方面的表现[104]，Rezaei等人[105]还提出了适用于异质域工程问题的混合PINN模型，并将其结果与有限元分析结果进行了对比。基于深度学习的模型则为求解问题提供了另一种途径——用可训练函数来表示解场。此类模型一旦训练完成，即可在新点或新网格上快速评估，非常适合重复查询、快速后处理及参数研究。不过，训练阶段本身会带来较高的初始计算成本，且本研究并不宣称其在单次确定性仿真中的计算效率优于有限元分析。

路径依赖性塑性为物理引导型学习带来了额外挑战。与纯弹性问题不同，应力响应不仅取决于当前应变，还与加载历史及内部变量有关。因此，具有物理意义的神经网络模型必须能够体现应力、塑性应变及等效塑性应变的渐进演化过程。现有研究已通过多种方式将物理原理融入弹塑性学习中：例如Niu等人[106]通过引入基于平衡损失、本构方程及边界条件的损失函数，构建了用于有限变形塑性的物理引导型神经网络；Roy和Guha[107]设计了数据驱动的弹塑性物理引导型神经网络框架，该框架采用多目标损失函数，整合了控制方程、本构关系、塑性流动规则、一致性条件及边界约束所带来的残差；Yuan等人[108]与Roy等人[109]则将弹塑性物理原理融入深度学习框架中；Su等人[110]利用热力学约束对颗粒状材料的弹塑性行为进行了建模；Koric等人[111]使用DeepONet预测在变载荷与变材料属性条件下的弹塑性应力；Jadoon等人[112]则尝试通过实验数据驱动的方式发现弹塑性模型。尽管取得了这些进展，仍有诸多问题有待解决，包括如何将神经网络训练与本构积分相结合、如何处理路径依赖性与已确定的历史变量、如何比较强形式理论与基于能量的理论模型、如何评估局部误差与全局误差，以及如何将历史信息融入神经网络架构中。

本研究提出了基于深度学习的弱应变路径依赖性弹塑性建模方法，共研究了两种互补的模型形式。第一种是基于强形式理论的模型，通过损失函数强制满足平衡残差、边界条件及本构一致性要求；第二种则是基于能量最小化的模型，其目标函数由弹性能与塑性能贡献以及一致性项共同构成。在这两种模型中，神经网络训练均与向后欧拉本构积分相结合——在每个加载步骤中，当前应变场由神经网络的位移场确定，而应力与等效塑性应变则根据上一轮收敛加载步骤中已确定的历史变量进行更新。

本研究的主要贡献如下：
•提出了基于强形式理论的弱应变弹塑性神经网络模型，将该理论的平衡条件、边界条件及本构一致性要求纳入训练目标。
•提出了基于能量最小化的模型作为强形式理论的变分替代方案，该模型通过元素级数值梯度与高斯点积分方法来计算能量函数与一致性项。
•将神经网络训练与向后欧拉本构积分相结合，并通过已确定的历史变量实现路径依赖性弹塑性的建模。
•研究了基于状态感知的增量模型与基于LSTM的本构代理模型，以探讨历史信息与加载信息在神经网络输入中的作用。
•通过一维解析模型以及具有线性与非线性硬化特性的二维带孔板模型对所提出的模型进行了验证，通过空间绝对误差分布、均方根误差曲线、载荷-位移曲线及累积塑性能量响应等指标评估了模型精度。数值结果表明，无论是强形式理论模型还是能量最小化模型，均能准确捕捉局部场分布与整体弹塑性响应。在带孔板模型中，各场变量的最大绝对误差通常低于10?2，多数误差处于10?3量级，均方根误差一般在10?3左右。整体载荷-位移曲线与累积塑性能量响应结果与Abaqus的参考解高度一致。在所研究的案例中，能量最小化模型在保持较高精度的同时，所需的训练时间更短。

本文的其余结构如下：第2节介绍基于强形式理论的模型，第3节阐述基于能量最小化的模型，第4节至第7节展示数值算例并与Abaqus及解析参考解进行对比。附录A总结了标准的弱应变弹塑性理论框架，附录B则详细介绍了向后欧拉本构积分的实现方法。

标准弱应变弹塑性理论采用总应变的弹性部分与塑性部分之和、柯西应力的平衡关系、体积应力与偏应力分解，以及具有各向同性硬化的冯·米塞斯塑性理论作为基础。塑性的演化受塑性乘数、等效塑性应变、屈服条件以及Karush-Kuhn-Tucker加载-卸载条件的控制。关于该材料模型及其数值实现的更多细节，可参考Lemaitre和Chaboche[98]、Lubliner[99]、Gurtin等人[100]、Simo和Hughes[101]以及De Borst等人[102]的研究成果。

**模型概述**
本节提出了一种基于强形式理论的弹塑性模型，该模型采用深度神经网络驱动的机器学习方法。这种方法的优势在于，不仅能求解弹塑性问题，还能通过神经网络训练学习得到解场。

**基于能量最小化的模型**
本节介绍另一种基于物体B总能量最小化的模型。时间n时的总能量En定义为：
En=∫Bψnel(?nel)dV+∫Bψn?1p+ΔψnpdV?∫?Bt?t?n?undS
其中第一项代表总弹性能，第二项代表总塑性能，最后一项代表外部载荷的势能。这种模型的优势在于，可通过自然方式将诺伊曼边界条件纳入模型中。

**基于强形式理论的弹塑性仿真**
第2节中介绍的强形式理论被应用于弹塑性问题求解。该模型使用Python语言与PyTorch库实现，其计算结果通过与Abaqus有限元分析结果的对比进行评估。

**基于能量最小化理论的弹塑性仿真**
本节利用第3节提出的能量最小化模型，研究线性硬化条件下板的响应行为。边界条件与第4节所述相同，材料常数也与第4节一致。在训练深度神经网络时，该板被划分为非结构化三角形单元网格，且在圆弧段与边界处进行局部细化处理。

**增量型状态感知模型**
本节提出了一种增量型状态感知模型。在每个加载步骤中，神经网络以参考节点坐标、之前的变形状态、历史状态变量、边界标识以及当前的载荷增量作为输入，进而预测节点位移场以及应力、应变和等效塑性应变场。在加载步骤n中，给定的位移值记为u?x,n和u?y,n。

**基于LSTM的本构响应学习模型**
本研究采用一种混合模型，将第5节介绍的深度神经网络与长短期记忆（LSTM）网络相结合。与第5节中的模型不同，此处深度神经网络仅用于预测位移场，因此被称为位移网络；而由LSTM预测的历史依赖型本构变量则被称为本构网络。此外，位移网络还会接收节点相关数据。

**结论**
本研究开发并评估了基于深度学习的弱应变弹塑性建模方法，共研究了两种互补的模型形式：基于强形式理论的模型与基于能量最小化的模型。在这些模型中，尽管神经网络仅以空间坐标作为输入，但通过本构更新过程中使用的已确定历史变量，仍能够体现弹塑性加载历史的影响。此外，本研究还提出了增量型状态感知模型。

**作者贡献说明**
Sumit Kumar：撰写原始稿件、可视化处理、模型验证、软件开发、方法设计、实验研究、形式化分析、概念构思。
Indra Vir Singh：参与稿件审阅与编辑、项目监督、资源协调、实验研究、概念构思。

**利益冲突声明**
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。
Sumit Kumar | Indra Vir Singh