将深度能量法与多边形有限元结合用于超弹性材料的大变形分析

《Finite Elements in Analysis and Design》：Coupling deep energy method with polygonal finite elements for large deformation analysis of hyperelastic materials

　　•提出了一种新的深度能量方法（DEM），用于模拟超弹性材料的有限变形。•通过有效的插值函数和稳健的积分方案来计算总势能。•还开发了一种替代模型，用于快速预测超弹性材料中的位移。•通过数值示例展示了所提框架的性能。•该框架在不同加载条件下模拟大变形方面表现出很强的能力。

引言
近年来，人工神经网络在研究领域得到了广泛关注，已有大量研究[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]聚焦于工程分析（如应力、应变、材料特性）。这些方法大致可分为数据驱动方法和物理信息神经网络[PINNs][7]、[8]、[9]、[10]、[11]。从概念上讲，ANNs由神经网络和优化算法两个核心部分组成，其中目标函数（或损失函数）起着重要作用。数据驱动方法[2]、[12]在过去的几十年中不断发展，因其在多种应用中的优异表现而广为人知。然而，实际问题中作为训练过程基准的真实数据往往量很大。为减少输入数据，人们将相关问题的物理原理融入PINNs的架构中[10]。许多物理和工程问题都可以用偏微分方程来描述，因此求解这些方程能够体现材料的基本行为（如弹性、非线性）、物理现象（如断裂）以及系统状态（如速度、温度）。为得到方程的解，需要求解边界值问题[BVPs][13]、[14]、[15]，即确定边界值的问题。这样一来，PINNs通过将BVPs纳入损失函数中，减少了所需基准数据量[16]、[17]、[18]。此外，基于物理的约束和边界条件还能提升优化过程的质量，为预测结果赋予物理意义。不过，PINNs的主要目标仍是最小化损失函数，也就是强形式下的PDEs残差[10]、[19]。为降低近似解所需的平滑度，人们提出了变分物理信息神经网络[VPINNs][20]、[21]。在这种方法中，使用PDE的弱形式作为损失函数，从而降低作用于位移场的导数阶数。另一种值得关注的物理信息方法是有限算子学习[22]、[23]，它结合了有限元方法、条件神经场和元学习，从而构建出从输入到解空间的可重复映射。

在各类基于PINN的方法中，深度能量方法（DEM）近年来被广泛用于数值研究，以捕捉复杂的物理现象[7]、[24]、[25]。DEM的基本理念是，损失函数是基于与工程问题相关的能量泛函构建的[24]。有人认为，由于所研究材料的基本原理能够提供对DEM至关重要的显式能量泛函，因此DEM更易于应用于有限变形问题。不过，由于超弹性本构模型的强非线性，DEM在分析超弹性材料时仍面临困难。此外，积分方案对于损失函数计算结果的准确性也起着重要作用。现有研究中采用了多种积分方法，如辛普森积分[24]、梯形积分[5]以及里兹方法[26]。

除了基于神经网络的方法外，还有许多研究者对超弹性材料的力学行为进行了数值研究[27]、[28]、[29]、[30]、[31]。这类材料往往会发生较大变形，因此需采用几何非线性方法来进行模拟。分析超弹性材料的有效数值工具之一就是有限元方法（FEM）。但参考文献[32]、[33]指出，FEM存在网格变形问题，即由于极端变形可能导致出现尖角，从而无法满足FEM单元的相容性要求。因此，仍需要更为稳健的数值方法来模拟超弹性材料的大变形。

Wachspress等人[34]提出的多边形元素方法，通常被称为PFEM，被用作解决几何非线性问题的方法。这种元素因能够解决元素变形问题，而被证明比传统有限元（如T3和Q4）更高效[35]。此后，人们对多边形元素方法进行了诸多改进，比如n边形平滑有限元方法（nSFEM）[36]、缩放边界有限元方法（SBFEM）[37]以及基于单元的平滑方法（CS-FEM）[38]。为提高模拟有限变形问题的计算效率，参考文献[39]中提出了改进版的PFEM，即REPFEM。该方法采用了有效的n+1点积分方案[40]。本研究提出了一种混合DEM框架，用于分析超弹性材料的大变形，该框架中的能量损失是通过REPFEM的插值函数和n+1点积分方案来计算的[27]。预计REPFEM的有限变形建模能力也会被这一DEM框架所继承，因此该神经网络框架被称为DEM-REPFEM。

最初，该框架的输入为通过数值或实验方法获得的离散化物体的空间坐标以及施加的载荷（位移控制或载荷控制加载条件）。初始化后，每个加载步长中的势能被用作损失函数[7]、[24]。随后，通过优化算法最小化损失，从而得到位移场的最优值。为进一步提升该框架在模拟多加载步长问题时的准确性，会保留上一加载步长的所有模型参数，并将其用于后续步骤的训练。这种策略被称为全精细调整[41]。此外，还使用了近似距离函数[42]、[43]，以确保严格满足边界条件。接下来的章节将介绍神经网络架构和总体算法。通过多个数值示例评估了所提策略的有效性。本研究的主要创新点在于提出了一种名为DEM-REPFEM的混合DEM框架，专门用于模拟超弹性材料的有限变形。该研究的一些关键创新之处如下：
•该框架采用了REPFEM的插值函数以及最新开发的n+1点积分方案，从而具备了REPFEM在有限应变条件下的稳定性，以及解决传统FEM中常见网格变形问题的能力。
•为应对超弹性模型的强非线性，该研究将系统的总势能作为神经网络的损失函数。
•这种变分形式使得该框架无需基准数据即可作为非线性求解器运行。
•为提升性能，该研究采用了多种技术：（i）全精细调整与迁移学习：即保留上一加载步长的模型参数用于下一步，以提高多加载步长问题的准确性和稳定性；（ii）近似距离函数：这是一种稳健的方法，可用于确保严格满足边界条件。
•还描述了一种能够快速预测位移的替代模型。
•该模型大幅降低了计算成本，其预测时间仅为参考数值方法所需时间的很小一部分（例如，0.307秒，而参考方法需要771.16秒）。

简而言之，DEM已与多种离散化方法相结合，包括FEM[26]和无网格方法[5]。在本研究中，没有使用现有的离散化方法，而是采用REPFEM的插值函数来近似导数，进而计算DEM的损失函数。实际上，导数也可以通过自动微分来近似，但这种方法会增加计算成本。此外，DEM的精度还受积分方案的影响，如辛普森积分[24]、梯形积分[5]以及里兹方法[26]。当n+1点积分方案与REPFEM结合使用时，已被证明能有效捕捉超弹性材料的有限变形[27]。再者，通过采用全精细调整和自动微分等策略，还可以获得高精度的输出结果。

本文的其余结构如下：第2节介绍REPFEM的基本原理；第3节阐述所提出的框架；第4节给出DEM-REPFEM的验证示例及性能评估；最后，第5节总结总体结论并展望未来工作。

章节片段
结合n+1点积分方案的多边形有限元方法（REPFEM）
多边形元素在许多数值研究中被广泛用于分析各种工程问题[32]、[37]、[39]、[44]。考虑自然多边形域中的点x及其对应的节点Ti。从概念上讲，通过使用拉普拉斯插值函数[32]，可以得出多边形元素Ni(x)的形状函数，其表达式为Ni(x)=si(x)/hi(x)∑i=1nTsi(x)/hi(x)，其中si(x,Ti)表示x与节点Ti之间的沃罗诺伊边长度[32]，nT为多边形元素中的节点总数，hi(x,T)为……

面向REPFEM的深度能量方法（DEM-REPFEM）
DEM的势能损失精度会受到所采用的积分方法的显著影响[25]，比如辛普森积分[24]、梯形积分[5]以及里兹方法[26]。此外，底层离散化方法的插值函数也会对深度能量方法的结果产生重要影响[26]。如参考文献[27]所述，REPFEM在解决超弹性材料的有限变形问题方面表现良好。

数值示例与结果
通过三项基准测试评估了DEM-REPFEM框架在捕捉有限变形方面的精度和有效性，这些测试包括弯曲悬臂梁试验、库克膜试验以及L形框架结构试验。这些示例可分为两类：载荷控制型和位移控制型载荷。通过相对误差和绝对差值对所开发方法得到的位移结果进行了定量分析。

结论性意见
本文提出了一种有效的深度能量方法DEM-REPFEM，用于捕捉超弹性材料的有限变形。所提出的DEM-REPFEM兼具REPFEM在有限应变条件下的稳定性以及DEM的前馈分析能力。具体而言，该方法的损失函数定义为超弹性材料的能量泛函（在本研究中为neo-Hookean模型），并且通过插值函数来计算势能损失……

CRediT作者贡献声明
Du Dinh Nguyen：撰写——初稿、可视化、验证、软件、方法论、研究、正式分析、概念设计。Minh Ngoc Nguyen：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、监督、方法论、研究、概念设计。Chanh Dinh Vuong：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、软件、方法论、研究、数据整理、概念设计。Quoc-Hung Nguyen：撰写——审阅与编辑、撰写。

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