基于高效预处理方案与自动网格生成技术的基于周期动力学方法的断裂分析有限元实现

《Finite Elements in Analysis and Design》：Implementation of the peridynamics-based finite element method for fracture analysis based on an efficient preprocessing scheme and automatic mesh generation techniques

　　•提出了一种采用高效预处理方案的PeriFEM方法，用于解决断裂分析问题。•针对存在裂纹的复杂几何形状，提出了一种改进的基于网格的网格生成算法。•开发了一种机器视觉识别系统，用于提取裂纹特征以构建B-rep导向模型。•设计了一种快速的周动力学元素搜索方法，将时间复杂度从O(N2)降低到O(Nlog2N)。•改进后的PeriFEM方法能够灵活便捷地处理具有任意裂纹的复杂实际几何形状。

引言
固体材料及结构的失效，尤其是裂纹的扩展，一直是工程力学中的核心问题[1]。由偏微分方程构成的经典连续介质力学理论是传统断裂力学的基础。然而，这些方程不适用于诸如裂纹之类的空间不连续现象[2]。有限元法（FEM）等数值方法在处理连续应力场问题时非常有效，但用于断裂模拟则存在很大困难[[3], [4], [5]]。为模拟裂纹的扩展，标准有限元法需要复杂的且计算成本高昂的网格划分。而扩展有限元法及其他类似方法虽然通过增加自由度与富集函数来表示位移不连续性，无需重新划分网格，但其求解过程仍受限于框架的连续性特性[[6], [7], [8]]。

周动力学（PD）[9,10]作为一种非局部、无网格的建模方法被提出，用以克服经典连续介质力学的局限性。其内力计算基于积分方程，而非传统理论中的空间导数[11,12]。材料点通过非局部的“键合”在短距离内相互作用。即便存在不连续性，积分方程依然有效，这使得周动力学无需特殊的裂纹尖端条件或附加函数即可模拟裂纹的萌生、扩展与分叉过程。

许多学者提出了混合建模技术，将周动力学与有限元法相结合[13]，图1展示了几种常见的混合建模方法。我们改进了基于周动力学的有限元方法（PeriFEM），将其周动力学的天然断裂建模优势与经典有限元方法成熟高效的计算框架相结合[14,15]。PeriFEM是一种数值方法，它能将非局部的周动力学积分-微分方程转化为经典的有限元弱形式。在这种模式下，连续域被离散为传统的有限元，而周动力学相互作用则被分配到这些元素上[16]。这样一来，就可以利用经过高度优化的标准有限元求解器来处理非局部断裂行为，同时保留断裂模拟所需的不连续特性[17]。

除了PeriFEM的优势之外，其实际应用还面临诸多挑战。该计算框架依赖背景网格来生成周动力学元素，而背景网格的质量与分布直接影响非局部相互作用的精度以及最终的断裂模拟结果[[18], [19], [20]]。同时，构建非局部周动力学元素需要空间搜索，以找出定义范围内的所有邻近位置。传统搜索方法的时间复杂度为O(N2)，这一数值相当高，严重限制了PeriFEM在大型工程应用中的效率。

因此，我们提出了一种基于周动力学的有限元方法，该方法结合了高效预处理方案与自动网格生成技术，可用于解决断裂分析问题。所提出的高效预处理方案与自动网格生成技术的贡献如下：(i)针对存在裂纹的复杂几何模型，提出了一种改进的网格生成方法，可构建高效的自适应以四边形为主的网格。(ii)为准确识别裂纹特征，我们设计了基于机器视觉技术的识别系统，该系统可实现裂纹图像的采集与特征提取，为后续构建B-rep模型做好准备。(iii)基于所提出的网格生成方法，设计了一种快速的周动力学元素搜索算法，可将构建周动力学元素的时间复杂度从O(N2)大幅降低至O(Nlog2N)。(iv)通过有限宽板模型验证了所提方法的计算精度，此外还通过数值算例进一步证明了该方法在断裂损伤分析中的可行性。本文的其余结构如下：第2节详细阐述基于键合的周动力学理论；第3节介绍基于周动力学的有限元方法的数值实现流程；第4节和第5节阐述自动网格生成技术及高效预处理方案；第6节通过多个数值算例证明所提方法的有效性与可靠性；图2将系统展示所提方法的高效预处理方案与自动网格生成技术的流程图。

部分内容摘录
基于键合的周动力学基本模型
基于键合的周动力学模型由Silling[21]提出，该模型假设连续材料由有限数量的材料点构成。如图3所示，点x会与其邻域H(x,δ)内的所有点发生相互作用，其中δ表示相互作用范围的半径。因此，运动方程可表示为：
ρ(x)u¨=∫Hδ(x)f(u(x′)?u(x),ξ)dVx′+b(x)η(x′,x)=u(x′)?u(x)f(ξ)=C(ξ)·η(x′,x)
其中ρ为质量密度，u¨为加速度，f为……

基于周动力学的有限元方法
分析过程的标准化是有限元法最显著的特点，也是其在工程分析中得以广泛应用的重要原因之一。将基于元素离散化的数值方法与周动力学的非局部特性相结合，对于实现PeriFEM至关重要。

自适应非结构化网格生成
网格的质量直接影响裂纹扩展与损伤问题数值分析结果的精度与可靠性。本文提出了一种针对任意几何形状的、基于改进的基于网格的方法与受限Delaunay网格生成技术的自适应非结构化以四边形为主的网格生成方法。该方法不仅整合了基于网格的方法与Delaunay技术，还解决了从外向内构建网格时的实体边界匹配问题。

快速周动力学元素搜索方法
在基于周动力学的有限元方法中，周动力学元素的生成需通过双重嵌套循环结构遍历所有元素对，并对每个元素进行距离计算，这在大规模数值模拟时会导致极大的计算成本。因此，基于所提出的网格生成方法，为二叉树网格结构设计了一种快速的周动力学元素搜索方法。该算法的核心在于……

有限宽板在双向拉伸作用下的验证算例
我们选取了有限宽板在双向拉伸作用下的算例，来验证本文所提方法的准确性。将模拟得到的断裂情况与BB-PD方法的结果进行比较，同时也将计算得到的位移结果与有限元法的结果进行对比。图20展示了有限宽板模型的边界条件与网格生成情况，该材料的杨氏模量为E = 200 GPa，临界伸长率为scrit = 0.01。

预处理方法

结论
本文提出了一种用于PeriFEM的集成预处理与计算框架，其主要贡献总结如下：(1)结合基于机器视觉的边界表示建模与自适应基于网格的网格生成技术，无需对存在不规则裂纹的模型进行手动网格修改。本文提出的网格生成方法在网格质量指标方面优于商业软件，尤其是在保持边界曲率方面表现更佳。(2)快速……

CRediT作者贡献声明
张贤成：写作——初稿撰写、可视化。郝景泉：写作——审阅与编辑、验证。迟宝涛：写作——初稿撰写、软件、资源准备。辛国茂：数据整理、概念构思。王芳利：方法论设计。张超：软件、项目管理。吴伟东：写作——审阅与编辑。

利益冲突声明
我代表各位合著者声明，在提交本手稿时不存在任何利益冲突，且所有作者均同意发表该手稿。

致谢
本研究得到了中国国家自然科学基金（12202251、12172201）、中国博士后科学基金（2021M702024、2022M712393）、山东省自然科学基金（ZR2024QE073、ZR2025MS977）、泰山产业领军人才计划（2023）、山东省科技型中小企业创新计划（2024TSGC0023、2024TSGC0858）、山东省海洋工程装备与材料创新创业共同体计划（SOFM-IEC，GTP-2404）的支持；参与研究的作者包括张贤成、郝景泉、迟宝涛、辛国茂、王芳利、张超、吴伟东。