自适应前馈控制中用于平衡多谐波干扰抑制的结构化特征值均衡方法

《IFAC Journal of Systems and Control》：Structured eigenvalue equalization for balanced multi-harmonic disturbance rejection in adaptive feedforward control

　　摘要：在旋转机械中，当多谐波干扰的幅值具有高动态范围（HDR >50dB）时，自适应前馈控制面临重大挑战：传统自适应控制器存在严重的模式间收敛不平衡问题，弱谐波无法得到有效控制，而主导模式则会出现饱和现象。这种控制性能差异源于滤波后参考相关矩阵的条件数过高（κ～105），导致不同模式的收敛时间常数相差四个数量级。在PNANC块对角结构中，可通过将通道归一化与稳态正弦映射整合到统一框架中，从而同时实现各模式的均衡控制与高效计算。所提出的低复杂度特征值均衡算法利用块对角特征结构实现结构化的通道归一化，同时借助正弦参考结构用O(K)阶矩阵运算替代FIR卷积，从而通过对角预处理将条件数从κ≈9×104降低到接近1，相比传统方法可将计算复杂度降低98.4%。通过受控仿真以及使用MIMII数据集中的真实工业宽带噪声进行的半合成实验验证了该方法的性能，与传统PNANC相比，该集成框架的收敛速度提升了23.4倍，平均稳态干扰抑制效果提升了9.3 dB。针对每谐波的收敛性分析表明，在特征值均衡作用下，所有K=8个受控谐波都能实现均匀收敛，而传统PNANC下仅基频模式能实现收敛。对4台不同机器的12组数据的统计分析也证明了该效果的显著性（p<0.001）。即使在严重宽带干扰（信噪比低至?5dB）、次路径幅度建模误差高达30%，以及频率抖动高达0.5 Hz RMS的情况下，该系统仍能保持稳定。通过七种不同场景的扩展测试确定了实际应用中的限制条件：为保证系统稳定，幅度、相位和延迟误差分别应控制在±10%、±15°和±5个采样值以内。这些结果表明，性能提升主要得益于PNANC框架的结构特性而非参数调整，同时也显示出该方案在低成本嵌入式系统中用于处理高动态范围干扰控制的潜力。

引言：谐波干扰的自适应调节属于控制系统中的经典前馈调节问题（Elliott, 2001; Kuo and Morgan, 1996; Landau et al., 2011; Widrow and Stearns, 1985）。当周期性干扰d(t)=∑kAksin(ωkt+?k)可通过参考传感器（如旋转机械中的转速信号）检测到时，自适应前馈控制器可生成反相控制信号，以最小化指定误差传感器处的残余干扰。滤波x最小二乘算法（FxLMS）（Elliott, 2001; Kuo and Morgan, 1996）为这类自适应调节提供了一种计算效率较高的梯度下降方法。然而，当干扰谐波具有高动态范围时——这在工业风扇、压缩机和涡轮机中很常见，其中基频叶片通过频率比高阶模式高出40–60 dB（Jiang et al., 2020; Lu et al., 2017; Yu and Cao, 2022）——传统FxLMS控制器无法实现多模式的均衡控制。根本问题在于条件数过高：滤波后的参考相关矩阵的特征值分布极为分散（κ～104–105），导致不同模式的收敛速度差异很大，弱谐波在适应过程中实际上会“冻结”。这是高动态范围场景下多谐波干扰抑制面临的重大瓶颈。在这种前馈调节方式中，另一个实际瓶颈是生成滤波参考值的计算负担。在窄带FxLMS实现中，滤波参考值通常是通过与时域中的次路径模型进行卷积得到的，这就使得每个样本的计算复杂度与受控谐波的数量以及次路径长度都成正比。图1展示了一个典型管道式验证场景的控制架构。在典型的工业风扇中，基频的带宽可能比高阶谐波高40–60 dB（Jiang et al., 2020; Lu et al., 2017; Yu and Cao, 2022）。例如，一台转速为1200 RPM、具有8片叶片的离心风扇，其基频为160 Hz，谐波能量主要集中在前几阶。从自适应滤波的角度来看，这种极端的能量差异会导致标准滤波x最小二乘算法中的输入自相关矩阵条件数极为恶劣。由于每个特征模式的收敛时间常数与其对应特征值成反比（Elliott, 2001; Xiao et al., 2008），弱高阶谐波在适应过程中实际上会“冻结”。这种由高动态范围导致的收敛速度差异造成了一个持续的权衡：为确保主导基频模式的稳定性而调整步长，必然会导致弱谐波通道的收敛停滞。为缓解这种条件数过高的问题，人们提出了多种信号处理策略。变步长FxLMS算法（Gomathi et al., 2016; Huang et al., 2013）可以自适应调整学习率，但往往会增加计算开销，且需要精心调整参数。频域块FxLMS算法（Park et al., 2015; Zhang et al., 2019）虽然能降低平均计算负荷，但会引入块延迟，从而缩小相位裕度，增加闭环控制的不稳定性风险（Wang et al., 2022）。全局归一化FxLMS算法（NFxLMS）则对整个参考向量应用统一的归一化因子，但这种全局缩放仍会受到最强谐波的影响，无法实现各通道间的均衡收敛。关于周期性干扰的自适应前馈控制，信号处理领域（Elliott, 2001; Widrow and Stearns, 1985）和控制理论领域（Bodson et al., 2001; Landau et al., 2011）都已进行了大量研究，近期也有研究将其扩展到多谐波场景（Sun et al., 2015; Thomas et al., 2008）。本研究中所考虑的并行窄带架构被称为PNANC（Chang et al., 2025; Chang and Kuo, 2013），它能够将控制任务分解为多个独立的谐波通道。然而，如果没有对每个通道进行归一化，就无法解决特征值分布的问题，因为所有通道仍然共享由最强谐波决定的统一步长。虽然理论上在PNANC框架内采用通道归一化LMS算法（ChNLMS）可以解决这个问题，但传统实现方式仍需使用滤波x卷积，其计算成本为O(KLs)阶（其中K为谐波数量，Ls为次路径长度），这一数值很快就会超出低成本边缘微控制器的实时处理能力（Lee et al., 2016; Shi et al., 2021）。特征值均衡概念最初由Thomas等人（2008）提出，用于宽带MIMO系统，后来Sun等人（2015）将其应用于动力总成噪声控制。不过，这些方法都是针对宽带多通道系统设计的，依赖于离线计算完整的预处理矩阵，且没有充分利用PNANC的块对角特征结构。更重要的是，它们也无法解决O(KLs)级的滤波x计算瓶颈。近期有一些研究试图通过各种方法降低窄带滤波x自适应控制的计算复杂度。Xiao（2011）提出了一种基于自适应陷波滤波器的高效窄带系统，但该方法并未利用PNANC的并行结构。Bagha等人（2020）开发了一种能够应对频率失配的窄带控制器，但其卷积计算成本依然很高。Lian等人（2025）和Wenzhao等人（2023）提出了频点选择和块坐标下降法来降低复杂度，但这些方法要么会引入近似误差，要么需要迭代优化。Wang等人（2025）提出了因果预处理滤波器，但其设计过程涉及离线矩阵求逆，且无法保证矩阵的对角结构。其他方法还包括用于单音消除的自适应陷波滤波器（Glover, 1977; Nehorai, 1985），这类方法并不具备此处所利用的并行块对角结构；还有基于深度学习的干扰控制方法（Luo et al., 2023; Zhang and Wang, 2021），虽然前景不错，但目前其计算成本仍超过了目标低成本平台的承受能力。表1总结了各类代表性窄带主动降噪算法的特点。随着智能制造和精密工程的发展，越来越多的领域开始采用数据驱动和机器学习辅助的方法来进行工艺监控、质量控制和干扰抑制（Zhang and Xu, 2021a; Zhang and Xu, 2021b; Zhang and Xu, 2022a; Zhang and Xu, 2022b）。这些方法通常利用大规模数据集和离线训练来学习复杂的输入输出映射关系，而这些关系很难通过解析方法建模。例如，高斯过程回归已被用于车削加工中的表面粗糙度预测（Zhang & Xu, 2022a），而基于物理信息的机器学习框架则有望将第一性原理模型与数据驱动的修正方法相结合，用于材料去除率预测（Zhang & Xu, 2021b）。在智能工程系统中，数据驱动方法在切削参数估计（Zhang & Xu, 2021a）和回弹预测（Zhang & Xu, 2022b）方面已经展现出优势，表明在拥有丰富运行数据的情况下，机器学习可以弥补传统控制方法的不足。在主动干扰控制领域，也有不少研究探讨了基于深度学习的方法（Luo et al., 2023; Zhang and Wang, 2021）。尽管这些方法在模拟环境中的表现不错，但在实际应用中仍面临三个限制：其一，其计算需求超过了低成本嵌入式平台的能力上限（通常低于100 MIPS）；其二，它们依赖于大量的训练数据，而在系统调试阶段可能无法获得这些数据；其三，对于分布偏移情况下的稳定性与收敛性，目前还缺乏足够的理论保障。所提出的LC-EE-PNANC框架则起到了互补的作用：它既具有理论上可保证的收敛特性，又具有适合实时嵌入式实现的确定性复杂度限制，同时也承认在面对复杂非线性动态或拥有丰富训练数据的情况下，数据驱动方法可能更具优势。未来的研究或许可以探索混合架构，以LC-EE分析框架作为基础控制器，再结合数据驱动的剩余误差补偿机制来处理非线性效应。重复控制技术（RC）（Hara et al., 1988）是一种成熟的基于内部模型的方法，可用于跟踪和抑制周期性信号。该技术会在控制回路中嵌入一个周期信号发生器1/(1?z?N)，其中N为每个基频周期的采样点数，因此理论上可以在所有谐波频率上同时实现无限增益。虽然从原理上讲，RC能够实现对周期性干扰的完美抑制，但出于多种实际考虑，本文采用了基于PNANC的方法：首先，频率选择性问题：RC会在所有谐波上提供相同的高增益，包括那些处于目标频带之外的谐波。在高动态范围场景下，由于基频已经占据了大部分控制能力，再通过RC添加相同的均匀增益也无法解决模式间收敛不平衡的问题，而这正是本文所提出的通道级特征值均衡方法要解决的。其次，瞬态响应问题：RC的内部模型会在单位圆上引入N个极点，因此需要通过Q滤波器进行稳定处理，而这会在跟踪精度与系统稳定性之间造成权衡。当仅关注K?N个谐波时（例如在Fs=10 kHz时，K=8而N≈63），RC架构的瞬态响应可能会明显慢于PNANC架构。最后，适应粒度问题：RC为所有谐波提供单一的适应机制，因此无法实现本文所强调的通道级特征值均衡功能。而PNANC架构通过将问题分解为多个独立的谐波通道，能够实现对每个模式的针对性预处理，从而直接解决高动态范围导致的收敛差异问题。因此，虽然RC是一种强大的通用周期性干扰抑制技术，但带有通道级特征值均衡功能的PNANC架构则是专为高动态范围多谐波场景设计的，因为在这样的场景中，模式间收敛平衡才是最重要的性能瓶颈，而非渐进式的跟踪精度。为同时应对模式间收敛不平衡和实时计算限制这两个问题，所提出的框架将结构化预处理与正弦稳态映射相结合，构建了一种并行自适应前馈控制架构。其创新之处在于将这两种技术整合到PNANC的块对角结构中，从而实现了收敛平衡与实现效率的同步提升，这是传统时域实现方法所无法做到的。单独使用任何一种技术都无法同时解决这两个问题：首先，没有低复杂度的通道归一化方法：虽然直接在PNANC中应用ChNLMS算法（Douglas, 1994; Slock, 1993）可以实现特征值均衡，但仍然需要通过滤波x卷积产生O(KLs)级的计算复杂度。其次，没有归一化的低复杂度方法：虽然可以利用稳态正弦响应特性（Elliott, 2001）用O(K)阶矩阵运算替代卷积，从而降低计算成本，但这种方法无法解决高动态范围导致的特征值分布问题。最后，PNANC架构内的协同作用：PNANC的块对角特征结构使得可以使用标量功率估计来实现精确的通道归一化（在宽带系统中由于谐波间的耦合效应，这种方法不可行），而窄带正弦参考结构则使得可以用2 × 2矩阵运算替代FIR卷积（这种方法不适用于一般的宽带信号）。这种相互配合的关系——即单独使用任何一种技术都无法解决两个问题，但将它们整合到PNANC架构中后，却能够同时实现特征值压缩和计算复杂度降低——正是本文在架构层面的贡献所在。为明确现有技术与本文创新成果之间的区别，表2对所提出的LC-EE框架的各个组成部分进行了系统梳理。由此产生的低复杂度特征值均衡PNANC框架不仅能够将条件数从κ≈9×104降低到接近1，还将计算复杂度降低了98.4%，相比传统实现方法有了显著提升。本文的主要贡献如下：首先，对问题进行了深入分析，研究了信号源的高动态范围与次路径频率选择性共同作用的结果，指出在PNANC架构中，相应的滤波x相关矩阵可能会出现严重的条件数过高的问题（命题1）。具体而言，我们将条件数表示为κ=(P1/PK)?(|S1|2/|SK|2)，以此量化信号源因素与路径因素对条件数影响的程度，从而为不同谐波之间存在的显著收敛差异提供了定量解释。其次，提出了通道级特征值均衡方法。针对PNANC块对角结构，推导出一种功率归一化更新规则。如命题2所示，这种归一化方式可形成有效的对角预处理器，将条件数压缩至接近1的值。与Thomas等人（2008）采用的宽带特征值均衡方法不同，后者需要离线计算完整的预处理矩阵，而所提出的方法利用PNANC结构，仅通过在线标量功率估计即可实现精确的特征值压缩，每采样点仅需额外2K次乘法运算。3.低复杂度实现：利用LTI系统的稳态正弦响应，以每谐波的2×2矩阵运算替代滤波后的x卷积（引理1），从而将计算复杂度从O(KLs)降低到O(K)。在稳态条件下（n≥Ls）该等价关系是精确的，且通过初始阶段的短暂卷积相位设置，从第一个采样点起即可实现精确性。将这种简化方法与每通道归一化相结合，可形成一个统一框架，同时解决收敛不平衡和计算约束问题。4.包括半合成实验在内的全面验证：除了标准的理想化仿真外，还使用来自MIMII工业机器数据集（Purohit等人，2019）的真实宽带噪声记录进行离线半合成实验。通过对4台不同机器的12组记录进行交叉验证，确认该算法在现实的非高斯、非白噪声统计条件下仍具有优势。统计分析显示显著性水平为p<0.001，表明所观察到的性能提升源于结构特性，而非参数调整或理想化假设。本研究旨在在可控、可重复的条件下，明确所提出的LC-EE-PNANC框架的算法特性——即收敛性、复杂度及鲁棒性。我们意识到，实际硬件部署会带来额外的挑战（如传感器噪声、执行器非线性、量化问题以及时变次级路径），这些挑战仅靠仿真难以完全体现。不过，我们认为下面所提出的分层验证框架已为该算法的可行性提供了充分证据，足以支撑现阶段发表，原因如下：首先，审稿人提出的每一个实际问题都通过专门的鲁棒性分析得到了明确解答：•传感器噪声：第4.11节系统评估了测量噪声底限（信噪比从60 dB降至20 dB）对所有算法的影响，证实即使在现实的传感器噪声水平下，EE方法的优势依然存在。•执行器非线性和时变路径：第4.9节通过结合幅度、相位和延迟扰动的七种场景进行了扩展的不匹配分析，确定了实际的稳定性边界（幅度±10%，相位±15°，延迟±5个采样点），并指出了需要在线进行次级路径建模的情况。•量化效应：第3.7节（量化抗性）探讨了O(K)结构在定点实现方面的固有优势，并给出了初步的定点仿真结果（16位Q15算术运算下的误差小于1dB）。•频率波动：第4.6节量化了在受控频率抖动（均方根值为0–2.0 Hz）条件下的鲁棒性，证实当均方根值为0.5 Hz时，性能下降小于3dB。其次，半合成验证使用了真实的工业记录数据（MIMII数据集，4台不同风扇单元的12组记录），这些数据保留了真实宽带湍流的非高斯、非白谱特性，其生态有效性高于理想化的白噪声仿真。第三，该算法的贡献在于结构层面而非参数层面：特征值压缩和复杂度降低源自PNANC的块对角特征结构以及正弦稳态映射——这两者均不受具体硬件实现的限制。在相同的步长下，仍能观察到39.1倍的收敛加速效果（见表6），这表明这种改进是预处理器的结构特性，而非有利参数调整的结果。该方法通过四种互补的方法进行评估：1.理论分析（第2章至3.5.3节）：正式推导特征值压缩原理（命题1–2）、复杂度降低机制（引理1）、稳定性边界以及非对角线鲁棒性条件。同时通过定量有效性界限对各项假设进行了严格检验（第2.7节）。2.受控数值仿真（第4.2节至4.6节）：在理想化条件下进行实验（信噪比无限大，次级路径模型完美），以分离算法的各个作用机制；同时针对每谐波的收敛轨迹、偏离稳态等效性的瞬态现象、频率抖动鲁棒性、扩展模型不匹配问题以及谐波可扩展性（K=2–12）进行了专门分析。3.半合成验证（第4.12节）：结合合成音调成分与真实的MIMII宽带噪声（Purohit等人，2019）进行离线实验，涵盖多种信噪比条件，并对4台机器的12组记录进行交叉验证。4.实际实现分析（第3.7节）：讨论估计器调整、离线与在线映射方法、量化抗性、启动处理以及嵌入式延迟估算问题（在采样频率为10 kHz时，运算速度约为0.96 MIPS，可与工作频率为80 MHz的Cortex-M4处理器配合使用）。目前仍在开展基于实验室轴流风扇平台的物理闭环验证以及向MIMO配置的扩展研究。第4.15节报告了在7叶片轴流风扇测试平台（ARCTIC P12 Pro，带通滤波器截止频率约100Hz，高频分辨率约43dB）上，结合双麦克风频率跟踪主动降噪技术，对PNANC与LC-EE方法进行的初步硬件对比结果。硬件实验表明，次级路径建模的精度是决定仿真中观察到的EE方法收敛优势能否在实际应用中得以体现的关键因素，这一结果验证了理论分析（第3.5节）的预测，也凸显了现场校准作为实际应用前提条件的必要性。本文的其余部分介绍了系统模型与理论分析（第2节）、所提出的LC-EE控制策略（第3节）、仿真与半合成验证结果（第4节），以及结论与未来展望（第5节）。章节要点谐波干扰模型图1展示了自适应前馈控制系统的结构。该控制回路包括：•主要干扰源：由旋转机械产生的多谐波干扰d0(n），例如离心风扇中的叶片经过时的音调。•主路径P(z）：从干扰源到误差传感器位置的声学/机械传递函数。•自适应控制器：基于FxLMS的自适应滤波器W(z)，它根据与转速计同步的参考信号生成控制信号y(n）。•次级路径特征值均衡控制策略本节通过说明在PNANC框架内，结构化的每通道预处理与正弦稳态映射如何相互促进，来介绍所提出的LC-EE-PNANC策略。我们首先通过対角预处理引入特征值均衡机制，以解决由高频分辨率差异导致的收敛速度不匹配问题；接着利用正弦映射推导出低复杂度的滤波后x实现方法；最后对整个集成方案进行综合分析。闭环仿真验证与性能分析本节通过两种互补的评估体系来验证所提出的LC-EE-PNANC算法。第4.1节至4.9节在理想化条件下进行受控数值仿真，以分离算法的各个作用机制并验证理论预测。第4.10节则通过使用真实的工业宽带噪声进行半合成验证，从而证明该算法在现实的非高斯、非白噪声环境下的鲁棒性。结论与未来方向本文解决了在高动态范围条件下，针对多谐波干扰的自适应前馈控制中存在的模式间收敛不平衡这一核心问题。本研究的重要贡献在于发现了PNANC结构中的内在协同效应，使得通道级预处理与低复杂度的滤波参考信号生成能够在明确的假设条件下同时实现，并且可以进行理论分析。作者贡献声明邵雷：撰写原始稿件、概念构思。常思远：撰写原始稿件。刘洪利：数据整理。李吉：资源协调。李超：审稿与编辑。朱丽华：资金筹集。孙文涛：审稿与编辑。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益或个人关系。致谢本研究部分得到了中国国家自然科学基金（项目编号52277016）以及天津市新能源电力变换、传输与智能控制重点实验室的支持。邵雷|常思远|刘洪利|李吉|李超|朱丽华|孙文涛