一种基于高阶多项式立方有限元的三维椭圆问题交错离散Galerkin方法

《Journal of Computational and Applied Mathematics》：A staggered discontinuous Galerkin method for three-dimensional elliptic problems on cubic finite elements of higher order polynomials

　　摘要：本文构建并分析了用于三维椭圆问题的立方体网格上的SDG（交错间断Galerkin）近似方法。该立方体网格被细分为八个子立方体，每个子立方体上定义k阶多项式，从而形成两个具有交错间断性的有限元函数空间。与基于四面体网格的方法相比，使用立方体网格的SDG方法在处理高阶多项式近似时更为简便。针对给定的多项式阶数k，从理论上证明了其在L2和H1范数下的最优收敛性，并通过数值结果验证了这些理论结论。

引言：SDG方法最初是在[1]中为波动传播问题引入的，随后在[2]中扩展到基于四面体网格的三维问题。在二维情况下，对于给定的初始三角剖分，每个三角形会被细分为三个三角形，从而形成新的网格。接着，在该网格上引入一对具有交错间断性的有限元空间，用以逼近模型问题的解。通过引入一个辅助未知量，可将模型问题转化为了一阶系统，然后利用这两个有限元空间来逼近该一阶系统的解。与标准的DG（间断Galerkin）方法[3]不同，SDG方法可以通过对应的连续有限元函数得到元素边界处的通量值，因此无需处理元素边界上的人为通量。SDG方法具备与标准DG方法相同的良好特性，如超收敛性、局部守恒性以及局部后处理能力，且已成功应用于众多实际问题，参见[4][5][6][7][8]。此外，与符合性有限元近似类似，结合域分解预处理器，SDG方法所得的代数方程组也可以高效求解，参见[9][10][11]。

本文研究基于立方体网格的三维椭圆问题的SDG方法。最早尝试将笛卡尔网格用于SDG方法的是[12]中的三维麦克斯韦方程问题。在第二作者之前的研究[13]中，SDG方法被发展并分析用于基于笛卡尔网格的二维椭圆问题，该方法后来又被扩展到二维斯托克斯问题[14]。SDG方法还被扩展到一般多边形网格，此时每个多边形会被细分为三角形，从而形成三角形网格，随后可直接将标准SDG方法应用于该三角形网格，参见[15][16][17]。另一方面，与一般多边形情况相比，将SDG方法扩展到笛卡尔网格需要额外的工具来处理无穷-下确界稳定性证明及误差估计，相关内容已在[13][14]中讨论。使用笛卡尔网格处理三维模型问题不仅简化了实现过程，还便于利用有限元函数的张量积结构开发高效的求解器。更详细地说，可以为迭代求解器开发多网格预处理器以及基于高斯-洛巴托点的低阶预处理器[18][19]，而且预处理后的迭代求解器中的矩阵向量运算可以通过GPU计算更高效地实现。这些问题将在我们后续的工作中加以探讨。作为第二作者之前研究[13]的延续，本文将进一步发展并分析基于立方体网格及高阶多项式的三维椭圆问题的SDG方法。

我们考虑具有齐次狄利克雷边界条件的椭圆方程：{??·(a(x,y,z)?u+b(x,y,z)u)+c(x,y,z)u=g(x,y,z)，在Ω内，u=0，在?Ω上}，其中Ω是R3中的立方体区域，其边界为?Ω。在后续分析中，我们引入标准的希尔伯特空间L2(Ω)和H01(Ω)。具体而言，L2(Ω)空间配备了内积和范数，分别为(u,v)=∫Ωuv，∥u∥L2(Ω)=(u,u)。而H01(Ω)空间则配备如下范数：∥u∥H01(Ω)=∥ux∥L2(Ω)2+∥uy∥L2(Ω)2+∥uz∥L2(Ω)2+∥u∥L2(Ω)2。方程(1)的弱形式可表示为：给定g∈L2(Ω)，在H01(Ω)中寻找u，使得a(u,v)=(g,v)，对所有v∈H01(Ω)成立，其中a(u,v)=∫Ω(a?u+bu)·?v+∫Ωcuv。为简化后续的分析和数值模拟，我们假设a、b以及在Ωˉ上足够光滑的ca，同时存在常数a0>0，使得对所有(x,y,z)∈Ω，都有a(x,y,z)≥a0>0，且c(x,y,z)?1a0∥b∥L∞(Ω)2≥0。在假设(3)和(4)的前提下，H01(Ω)×H01(Ω)上的连续双线性形式a(·,·)是强制性的，即对所有v∈H01(Ω)，都有a(v,v)≥a02∥v∥H01(Ω)2。因此，根据拉克斯-米尔格拉姆定理，变分问题(2)存在唯一的弱解u，更多细节可见[20]。接下来，我们将发展SDG方法来逼近上述模型问题的解。第2节中，我们首先研究简单椭圆方程——即立方体区域内的泊松方程的SDG方法。我们将定义泊松问题的SDG空间及离散变分形式，进行收敛性分析并给出显式的误差估计，最终得到最优收敛结果。第3节中，我们考虑立方体网格上更一般的椭圆方程，如方程(1)所示。这里我们仍然使用第2节中定义的SDG空间，同时也验证了相同的最优收敛阶数，同时还给出了更一般的离散变分形式。第4节将详细介绍泊松模型问题的实现方法及数值结果。最后，第5节将总结全文。

章节节选：

交错间断Galerkin离散化：在本节中，我们提出一种间断Galerkin（DG）方法，用于求解具有齐次边界条件的以下泊松问题：{??·(?u)=ginΩ，u=0在?Ω上}，其中g是平方可积函数，Ω是R3中的立方体区域。方程(5)存在属于H01(Ω)的弱解u，且满足∫Ω?u·?vdx=∫Ωgvdx，对所有v∈H01(Ω)均成立。接下来将描述方程(5)所对应的一阶系统的SDG方法：{w=?uinΩ，??·w=ginΩ，u=0在?Ω上}，其中引入了一个辅助变量w。

一般椭圆模型问题：我们考虑以下椭圆问题：在H01(Ω)中寻找u，使得{??·(a(x,y,z)?u+b(x,y,z)u)+c(x,y,z)u=g(x,y,z)，在Ω内}，其中对Ω内的所有(x, y, z)，都有a(x, y, z)≥a0>0，而b(x, y, z)是一个光滑的向量值函数。我们引入w=a(x,y,z)?u+b(x,y,z)u，然后将等式两边同时除以a(x, y, z)，得到αw=?u+βu，其中α=1/a(x,y,z)，β=b(x,y,z)/a(x,y,z)。接着，我们将上述椭圆问题转化为以下一阶系统：αw=?u+βuinΩ，??·w+cu=ginΩ。与前一节类似，我们对立方体区域进行划分……

数值结果：在本节中，我们给出了本文提出的SDG方法的数值结果。我们研究了具有齐次和非齐次边界条件的泊松模型问题。在这两种情况下，都是通过将单位立方体区域划分为均匀的立方体，再进一步将其分割成更小的子立方体来获得结构化的立方体网格，如图1所示。我们使用k阶（≥1）的分段张量积多项式作为基函数，记w=(w1,w2,w3)=?u。

结论：本文发展并分析了用于三维椭圆问题的立方体网格上的SDG方法。对于离散解uh，给出了在给定多项式阶数k的情况下，其在L2范数和H1范数（即‖·‖Z范数）下的最优误差阶数。与基于三角形网格的标准SDG方法相比，进行误差分析时需要额外的工具和插值算子。这些误差估计也适用于一般椭圆问题。在我们的数值示例中，取得了良好的……

利益冲突声明：无。

朴惠珍|金惠贤
韩国首尔庆熙大学数学系，邮编02447