N=1、D=4超引力下的预辛BV-AKSZ方法

《Journal of Geometry and Physics》：Presymplectic BV-AKSZ for N?=?1, D?=?4 Supergravity

　　摘要：我们详细阐述了用于超对称系统的预辛BV-AKSZ方法。特别地，我们以超庞加莱代数或AdS超代数的Chevalley-Eilenberg复形作为目标空间，为N=1, D=4超引力构建了这样的表述形式，正如我们所展示的，该复形具有三阶的不变预辛结构。这些数据包含了该系统的完整Batalin-Vilkovisky表述，其中包括BV主动作的简洁形式。（预辛）AKSZ模型的重要特点在于，至少在运动方程层面，它们可以通过添加或消除可缩维数来等价地改写在相应的时空中。例如，引力的预辛AKSZ表述可以提升到相应的“群流形”上，至少在局部赋予其主丛结构以及其中的Cartan联络。特别是，所谓的流变学条件作为预辛AKSZ运动方程的一部分出现。类似的考虑也适用于超引力及其向超空间的提升。我们还研究了通过添加或去除可缩时空维数而相关联的一般预辛BV-AKSZ模型，以便在类似AKSZ的框架内系统地关联同一系统的时空与超空间表述。随后，我们利用超对称粒子作为玩具模型来说明这些关系。

引言：Batalin-Vilkovisky形式主义[1]、[2]为经典和量子层面的规范理论提供了极为通用且系统的框架。不过，这种方法的普遍性代价在于，在应用于具体的局域规范理论时，规范变换、运动方程、全局对称性等背后的几何结构会在涉及大量辅助变量（如鬼场、鬼场之间的相互作用及其共轭反场）的BV场-反场空间中变得较为隐晦。在拓扑理论中，通过运用著名的AKSZ[3]构造，BV表述可以变得极为简洁且具有几何意义。这样一来，BV主动作和辛结构被编码在通常为有限维的目标空间的几何结构中，而物理场、鬼场、反场等则表现为时空流形上的非齐次微分形式的不同分量。此外，规范变换、运动方程等也在从源空间到目标空间的映射空间中获得了清晰的几何含义。目前，已有将AKSZ构造扩展到非拓扑规范理论的各种方法。一种可能是允许使用与系统的喷流束BV描述以及偏微分方程的几何方法[8]、[9]、[10]以及高自旋理论的所谓展开方法[11]、[12]直接相关的无限维目标空间[4]、[5]、[6]、[7]。另一种可能是用非自由生成的微分分级交换代数来替代时空外代数[13]、[14]、[15]，另见[16]、[17]。在本工作中，我们主要采用AKSZ构造的另一种扩展形式，其中允许目标空间的辛结构退化，这样运动方程就不会强制要求广义曲率的所有分量都消失，该形式能够很好地用有限维目标空间来描述非拓扑理论[21]、[22]、[23]，另见[24]、[25]、[26]。这种方法的最新版本被称为预辛BV-AKSZ形式主义[27]、[28]，它用预辛几乎Q流形的有限维几何结构，对局域规范理论的BV表述给出了极为简洁的描述。AKSZ构造的关键优势在于，它允许在保持系统等价性的同时系统地添加或去除可缩时空维数[4]，另见[29]、[30]、[13]、[31]、[32]、[33]，其中类似思想也出现在相关领域。例如，在描述哈密顿BFV形式的AKSZ模型中加入时间方向，就能得到同一理论的BV表述，反之亦然[34]、[35]。在自由微分代数的更为严格的设定中，这类关系也已为人所知较长时间[36]、[37]、[38]、[39]、[40]。这一思想也被用于以几何方式实现某些对称性的表述构建中。例如，在从基于AdS/共形对称性线性作用的环境空间的表述出发，推导出规范场的明显AdS或共形不变表述时，就运用了类似的关系[30]、[31]、[41]、[42]。在超对称系统中，这一特性尤其有用，因为在那里，以超空间为表述基础、让超对称性以几何方式发挥作用的表述尤为重要。例如，可以从其在闵可夫斯基空间中作为自由微分代数的表述出发，系统地推导出最简单超多重态的超空间表述[39]、[40]。然而，将拉格朗日AKSZ构造直接应用于超空间表述并非如此直接，因为没有额外结构的话，超空间上的微分形式是无法积分的，关于超空间AKSZ西格玛模型的讨论可见[43]、[44]、[45]。在本工作中，我们详细阐述了用于超对称系统的预辛BV-AKSZ方法。特别地，我们为四维中最简单的N=1超引力构建了预辛BV-AKSZ表述形式[46]，给出了已知BV表述的简洁的一阶版本[47]，另见[48]、[49]、[50]。由于任何预辛BV-AKSZ系统都可以在运动方程层面进行考虑，因此它可以自然地提升到扩展的时空中。将N=1 D=4超引力的预辛AKSZ表述提升到相应的“群流形”上，就能自然而然地展现出自[37]、[54]提出的（超）引力群流形方法中的主要对象，更多近期讨论可见[55]、[56]。更准确地说，扩展后的系统描述了底层纤维丛整个空间上的相应Cartan联络的某种形式。虽然将超引力提升到超空间仅是在运动方程层面完成的，但我们证明了，对于超对称粒子的玩具模型，类似的处理在拉格朗日层面也同样容易实现。为此，我们引入了预辛BV-AKSZ形式主义的扩展形式，即用带有迹的合适微分分级交换代数替换源空间，从而为研究通过添加/去除时空方向而得到的预辛BV-AKSZ模型之间的关系提供了简洁的框架。这也可以视为对[13]、[14]、[15]中提出的AKSZ构造扩展的预辛推广。事实证明，通过使用合适的退化迹，超对称模型可以被转化为预辛AKSZ形式。在我们的玩具模型示例中，对迹的必要修改可以理解为引入来自[57]的合适图像变换算子。我们利用超对称粒子的玩具模型明确展示了所有步骤。特别是，我们证明了在超空间上的模型BV-AKSZ表述中使用的图像变换算子，定义了一种预辛BV-AKSZ表述。本文的结构如下：第2节介绍背景知识，包括以爱因斯坦引力的Palatini-Cartan-Weyl（类框架）表述为例的预辛AKSZ构造，同时我们还回顾了引力子场的传统拉格朗日表述以及完整的N=1, D=4超引力。第3节我们提出了N=1 D=4超引力的预辛BV-AKSZ表述，并证明它能够以非常简洁的形式再现经典的拉格朗日表述及其BV扩展形式。第4节给出了研究通过添加/去除可缩维数而相关的时空上的（预辛）BV-AKSZ表述的一般框架。第5节我们研究了将（超）引力提升到超空间的过程，并证明它能够自然地再现相应的Cartan几何结构。第6节我们以N=1超对称粒子为例，详细研究了时空与超空间中的（预辛）BV-AKSZ表述之间的关系，特别是我们通过将时空BV-AKSZ表述提升到超空间，系统地推导出了相应的超场作用量。附录中给出了部分技术细节以及约定总结。

片段内容：

闵可夫斯基空间中的无质量自旋3/2粒子：无质量自旋-3/2粒子由一个取值于马约拉纳旋量ψμ（ψμ?=ψμγ0=ψμTC）的时空1-形式来描述。我们使用符号ψ=ψμdxμ，并假设ψμ是反相量的，即?(ψμ)=|ψμ|=1，具体约定总结见附录A。其拉格朗日量为L=?μνρσψ￣μγ5γν?ρψσ，对应的运动方程为无质量的Rarita–Schwinger方程：?μνρσγ5γν?ρψσ=0。该拉格朗日量在以下规范变换下保持不变：ψμ→ψμ+?με，其中马约拉纳旋量ε是一个规范参数。

基本结构：设g=siso(1,3)为四维中的N=1超庞加莱代数。在标准基下的对易关系可表示为：:=ηbcMad+ηadMbc?ηbdMac?ηacMbd，[Mab,Pc]=ηbcPa?ηcaPb，{Qα,Qβ}=?(γa)αβPa，[Mab,Qβ]=12Qα(γab)βα。我们的符号约定总结在附录A中。如果用eI表示g的所有基元素，那么与之相关的分级超流形g[1]上的坐标为ΨI，满足gh(ΨI)=1且|ΨI|=1?|eI|mod2，其中|?|表示g中元素或g上函数的格拉斯曼奇偶性。

可缩时空维数：在讨论超引力的预辛BV-AKSZ表述与群流形方法[37]、[54]之间的关系之前，让我们先对AKSZ西格玛模型的源空间如何进行等价扩展或缩减做一些一般性探讨。

Palatini-Cartan-Weyl引力：如2.4节所回顾的，如果从运动方程层面来考虑，引力的预辛BV-AKSZ表述可以提升到更高维度的时空流形中。更确切地说，可以将预辛AKSZ模型重新解读为弱AKSZ模型，在这种模型中，添加额外的可缩时空方向仅仅是一种等价变换。当然，如果只关注运动方程，这一点几乎是显而易见的，因为运动方程可以用相应方式表示。

N=1超对称粒子与预辛BV-AKSZ：在本节中，我们利用一个玩具模型来演示如何运用预辛BV-AKSZ形式主义以几何方式重构超空间的拉格朗日量及其BV扩展形式。

致谢：我们感谢Pietro Grassi在项目初期阶段的合作。同时也很感激与Ivan Dneprov的交流。MG还要感谢Nicolas Boulanger、Martin Cederwall、Alexey Kotov、Vasileios Letsios、Thomas Strobl以及Maxim Zabzine的宝贵意见。MG的工作得到了比利时F.R.S.-FNRS的ULYSSE科研流动激励基金[MISU] F.6003.24的支持。AM的工作则得到了BASIS基金会奖学金的支持。

Maxim Grigoriev | Alexander Mamekin
蒙斯大学宇宙物理、场与引力研究组，地址：比利时蒙斯市Parc广场20号，邮编7000