基于JAX-FEM的物理增强型神经网络实现梯度增强损伤的可微框架

《Mechanics Research Communications》：A differentiable framework for gradient enhanced damage with physics-augmented neural networks in JAX-FEM

　　

摘要

橡胶、水凝胶和生物组织等软材料在应力自由几何形状无明显变化的情况下，会因刚度下降而出现损伤。准确模拟这种行为对于从软体机器人到医疗设备设计等各类应用而言至关重要，但目前存在两大难题：一是难以构建既灵活又符合热力学原理的本构模型；二是由于应变软化现象，有限元解具有网格依赖性。在此，我们通过将物理增强的神经网络本构模型与在可微分有限元框架JAX-FEM中实现的梯度增强型损伤模型相结合，同时解决这两个问题。弹性应变能和损伤屈服函数均由输入凸神经网络参数化，这类网络能够通过设计确保多凸性并满足克劳修斯-杜亥姆不等式。梯度增强型模型引入了一个由额外偏微分方程控制的非局部损伤场，从而规范损伤的空间分布，消除网格依赖性。该模型的有效性通过局部应力-应变拟合、单元素参数研究、均匀变形情况下的网格与解策略研究以及带缺口的板件模拟得到了验证。结果表明，所提出的框架能够为各类软材料实现灵活、数据驱动且与网格无关的损伤模拟。我们预计，这一开源实现将降低采用物理增强型神经网络本构模型的门槛。

引言

软材料在应力自由几何形状无明显变化的情况下，会因刚度下降而出现损伤[1]、[2]。这种现象最初在橡胶中作为穆林斯效应被观察到，此后在生物组织和水凝胶等材料中也有所发现[3]、[4]。其特点是具有滞回性的应力-应变响应：首次受力时，材料会沿着一条初始曲线变化，但卸载时应力会低于加载路径；再次加载时则沿卸载路径变化，直到达到之前的最大变形值，之后耗散作用重新开始，永久性刚度下降逐渐累积。当变形程度足够大时，刚度下降会十分严重，甚至出现软化现象，即切线刚度为负，这会在持续载荷作用下迅速导致材料失效。

在众多传统及新兴应用领域中，准确建模软材料的损伤行为都极为重要。例如，人们越来越关注具有良好能量耗散特性的高强度水凝胶[5]。在软体机器人等应用中，通过增材制造得到的软材料会经历极大变形，此时可靠的损伤预测就显得尤为关键[6]。生物组织在发生较大变形时也会出现损伤，因此需要准确的模型来指导医疗设备及干预措施的设计[7]。

传统的建模方法通常会引入一个表示损伤的内部变量，以及一个用于降低存储弹性能量的退化函数。Simo和Ju提出的公式被广泛采用，该公式将退化的自由能定义为$(1?d)\psi$，其中$d\in \left[\mathrm{0,1}\right]$是损伤变量，$\psi$则是未受损时的应变能密度；当$d=0$时代表材料完好无损，而$d=1$则表示材料已完全丧失承重能力。损伤的发展由一个屈服面控制，该屈服面反映了材料在受力历史中的最大变形程度，只有当变形达到这一程度时损伤才会累积。根据热力学第二定律，整个过程中的耗散值应始终非负，这一要求是通过基于最大耗散原理推导出的关联流动规则来实现的，同时还需要一个具有适当单调性性质的屈服函数$\mathcal{G}$，该函数与损伤变量的热力学共轭量相对应[8]、[9]。另一种构建符合热力学要求的演化规律的方法是GENERIC（非平衡可逆-不可逆耦合通用方程）形式主义[10]、[11]，Hütter和Tervoort也曾将其应用于损伤演化研究[12]。此外还有Ogden和Roxburgh提出的伪弹性框架[13]、Menzel和Steinmann提出的基于度量的建模方法[14]、基于微观力学的分析方法[15]等多种其他方法[16]。在此，我们采用以应变能函数和耗散势来描述材料连续损伤模型的方法。

这两个函数的闭式表达形式因材料而异。在很多情况下，解析表达式无法充分反映材料在广泛变形范围内的实验数据特征，这一情况推动了科学机器学习领域中越来越多以数据驱动为本构模型构建的研究。比如构成功能人工神经网络（CANN）[17]、[18]和EUCLID[19]、[20]等方法旨在实现可解释的模型识别，而物理增强的神经网络虽然牺牲了可解释性，但却能通过设计直接满足物理约束[21]、[22]。对于应变能而言，其核心要求包括客观性、材料对称性以及多凸性。人们利用基于右柯西-格林变形张量不变量的输入凸神经网络，通过设计来满足这些约束条件[23]。至于耗散势，我们此前已经开发出了具有单调性的神经网络架构，其中包括基于神经常微分方程的模型，这类模型能够通过设计确保满足耗散不等式的要求[24]。尽管具备这样的灵活性，但到目前为止，神经网络本构模型在有限元模拟中的应用仍然较为有限。

在有限元法中的损伤建模还存在另一个特殊难题，那就是由应变软化现象引起的众所周知的网格依赖性问题。一旦某个单元达到屈服面并开始软化，它就会将所有的耗散作用限制在自身范围内，使得相邻单元不会进一步出现损伤降解。这样一来，材料的失效模式就由网格结构决定，而非由材料本身的固有长度尺度决定，这在物理上是不合理的。非局部损伤模型通过将仅取决于单个材料点变形历史的局部本构响应，与一个用于规范损伤空间传播并引入特征长度尺度的全局平滑场相结合，从而解决了这一问题[25]。目前已有多种此类模型，有些方法是对局部场进行积分平滑处理[26]、[27]，还有一些方法是引入基于梯度的非局部正则化机制。前者是在局部场上直接应用体积平滑处理，后者则是在自由能中引入独立的梯度耦合机制[28]、[29]、[30]。

在本研究中，我们采用了Ostwald等人提出的方法[31]，将物理增强的神经网络本构模型与梯度增强型损伤模型相结合。物理增强的神经网络已经在多种编程语言和库中得到实现，其中JAX和PyTorch在科学机器学习领域尤为常用。JAX的一个关键优势在于它支持可微分编程：通过追踪某次运算的计算图，JAX无需通过解析方式计算梯度，就能借助反向链式法则实现自动微分。这一特性被用于开发可微分有限元框架JAX-FEM[32]。由于JAX-FEM与我们基于JAX的神经网络模型之间存在直接兼容性，因此它成为了开展本研究的理想平台。据此，我们在JAX-FEM框架内提出了梯度增强型损伤模型的构建方法及其实现方案，这首次实现了兼具灵活数据驱动特性与网格无关有限元解的损伤模拟。

章节节选

局部与非局部损伤模型

在构建损伤模型时，我们首先介绍一些基本的运动学量以及它们在自由能函数中的作用。自由能由应变能部分以及来自非局部损伤场的额外贡献共同构成。随后，我们可以将这一自由能纳入变分形式中，进而分别得到描述位移场和非局部损伤场的两个独立偏微分方程。在本节中，我们暂时保持本构模型的通用性，后续内容将会

JAX-FEM实现

上述的连续介质模型已在Python软件包JAX-FEM[32]中得到实现，这是一个基于JAX库开发的新型有限元软件包。该框架的一个显著优势就是具备自动微分功能，这大大简化了复杂本构模型的实现过程。例如，借助自动微分功能，只需给出自由能的表达式，就能自动计算出应力值和驱动力。除此之外，这一框架还有另一个重要优势

本构模型

前述的模型形式并不依赖于特定的本构定律，无论是描述局部还是非局部部分的应变能密度。为了进行对比，我们同时展示了闭式模型和神经网络模型，以此凸显JAX-FEM损伤模型的优势。我们采用了Ostwald等人提出的闭式模型[31]，同时还提出了一种基于物理增强型神经网络的数据驱动模型，该模型与Amiri-Hezaveh和Tepole的研究成果相一致[33]。本节将

数值算例

为展示所提框架的优势，我们给出了几个数值算例。第一个算例聚焦于使用闭式模型对单元素在单轴拉伸作用下的局部损伤演化进行验证，结果表明局部损伤演化表现符合预期。接着，我们使用同一框架展示了一个数据驱动模型，以此证明该框架可以适用于任何基于JAX框架定义的本构模型。此外，我们还进行了单元素层面的验证

讨论与结论

在本研究中，我们基于开源软件包JAX-FEM实现了一种数据驱动的梯度增强型损伤模型的有限元算法。这一实现整合了科学机器学习领域的两项最新进展：物理增强的神经网络本构模型以及可微分有限元方法。

可微分编程作为一种新的科学计算范式，正越来越受到重视，因为它能够免除人们手动推导和实现解析解的繁琐工作

CRediT作者贡献说明

Mark Wilkinson：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、软件开发、方法设计、研究实施、正式分析、数据整理、概念构思。Amirhossein Amiri-Hezaveh：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、软件开发、方法设计、研究实施、正式分析、数据整理。Adrian Buganza Tepole：撰写——审稿与编辑、撰写——初稿、可视化、验证、监督指导、资源提供、项目管理

利益冲突声明

作者声明，他们不存在任何可能影响本文研究结果的已知财务利益关系或个人关系。

致谢

作者衷心感谢美国陆军研究办公室在项目编号W911NF261A010项下的资助支持。

Mark Wilkinson|Amirhossein Amiri-Hezaveh|Adrian Buganza Tepole

美国普渡大学