通过改进的薄切片方法提升齿轮啮合刚度仿真精度

《Mechanism and Machine Theory》：Advancing gear mesh stiffness simulation through refined thin slices approach

　　•提出了更精确的齿轮齿面剪切柔度计算方法。•齿厚在径向方向的导数自然出现。•该公式能更准确地描述齿面上的剪切应力分布。•剪切柔度建模得到了自然改进。•其影响显著，尤其体现在网格刚度信号的形态上。

引言
齿轮广泛应用于各种领域，同时面临着越来越严格的设计要求，而负载、转速以及传输功率也在持续增加。齿轮的设计对于保证齿轮系统的正常运行至关重要，而网格刚度则是关键所在：a)齿轮网格刚度连接着齿轮传动的输入端与输出端的运动；b)齿轮网格刚度会影响系统的自然频率和模态形状，从而决定齿轮系统对动态激励的反应[1,2]；c)由于具有时变特性，齿轮网格刚度是高频内部动态激励的主要来源[3,4]。正因如此，准确预测齿轮网格刚度对于进行可靠的动态分析、噪声、振动与粗糙度（NVH）评估以及优化齿轮系统的整体性能而言极为重要。

用于模拟网格刚度的常用方法是基于有限元模型（FEM）[5]。随着计算能力的提升，有限元模型在精确描述齿面接触处的情况方面表现越来越好。早期的研究，如Arafa和Megahed提出的二维模型[6]，通过假设齿面宽度上的载荷均匀分布来减少元素数量，同时仅考虑一个齿的载荷以忽略轮缘基础的影响——因为轮缘基础会影响到依次受载的齿的刚度。Cooley等人[7]则利用局部斜率法，将FE仿真结果用于精确估算瞬时网格刚度。最近，Liang等人[8]提出了齿轮副的3D有限元模型，并表明不能忽略轮缘之间的耦合效应。

为克服纯有限元模型的计算局限，混合模型在文献中十分常见。Vedmar和Henriksson[9]以及后来的Chang等人[10]将接触问题的解析解与齿轮齿结构及齿轮体刚度的FE仿真相结合。Abousleiman和Velex[11]，以及之后的Portron等人[12]，则使用简化有限元模型来表示行星齿轮组中行星架的柔性，并结合半解析方法来描述齿面接触关系。Guilbert等人[13]则将接触问题和齿结构刚度的解析模型与薄轮缘齿轮体的简化3D有限元模型之间的相互作用进行了规范化处理。Guilbert和Velex[14]最近采用了一种完全混合模型：其中接触问题通过半解析方法求解，齿结构变形的局部耦合在3D有限元模型上进行校准，而齿轮体变形则完全由3D有限元模型计算。这种模型精度较高，但计算时间仍然较长，尤其是在需要频繁调整参数的优化或预设计阶段。

在计算速度的另一端，则是完全解析的近似公式，如[[15],[16],[17]]所示。这两种方法都是通过对时变单齿网格刚度曲线的形状进行近似处理，以避免在仿真的每个时间步都重新计算网格刚度，从而大幅缩短计算时间。Sánchez等人[15]采用余弦参数化方法，而Marafona等人[16]或Cai和Hayashi[17]则采用抛物线近似。

为在计算效率与精度之间取得平衡，薄层法作为一种广泛采用的、计算效率较高的方法被用来模拟齿轮网格刚度，能够在精度与计算成本之间实现良好平衡[18]。Sainsot和Velex[19]比较了现有的接触刚度公式，并提出了一种改进公式，该公式考虑了接触变形应为零的位移基准位置。Sainsot等人[20]基于Muskhelishvili的理论[21]发展了一种模型，用以改进传统的齿轮基座刚度公式。Xie等人[22]则通过更精确地估计齿根处的切向和法向应力分布，并允许模拟依次受载的齿之间的刚度耦合，进一步改进了这一公式。

在此框架下，Weber-Banaschek模型——近年来也被称作势能法[23]——仍被广泛用于量化单个齿的结构刚度分量，而这一分量正是整体网格刚度的重要构成部分。该方法在计算由剪切力产生的项时，会考虑齿轮齿沿其轮廓的局部厚度变化。相比那些假设齿形为梯形的简化模型[24]，这种对局部几何结构的考虑是该方法的一大优势。然而，仍存在一个关键缺陷：尽管该方法利用局部厚度来定义弯曲和剪切的截面属性，但传统模型并未明确考虑或纳入该局部厚度相对于齿廓方向的导数的影响[25]。这一遗漏意味着厚度变化率的改变——而这些改变本身就会影响应力分布和变形模式——无法被该模型完全捕捉。因此，这种疏忽可能会导致计算出的齿弯曲刚度出现误差，进而使预测的动态载荷、接触应力以及整个系统的响应出现偏差。解决这一根本问题对于提升基于薄层法的齿轮网格刚度仿真的准确性与预测能力至关重要。

本文将证明，局部齿厚相对于齿廓方向的导数会直接作用于齿面剪切应力的公式中，不能像通常那样被忽略。随后，将为计算齿弯曲刚度时出现的额外项推导出显式表达式。最后，将通过1000个随机几何结构的样本来评估这些项所带来的差异。首先分析结构刚度，其次评估整体网格刚度，最后分析网格刚度的频率分布，以判断这种变化是否会对系统的动力学特性产生影响。

作者发现，在剪切刚度计算中，这些额外的刚度项对平均网格刚度的影响相对较小，但对网格刚度的变化幅度以及网格刚度的频率分布有着显著影响，因此会对齿轮系统的动态行为产生较大影响。

章节节选
网格柔度的分解
图1展示了一个任意齿轮副的作用平面示意图。传统上，为简化网格刚度的计算，齿轮会被建模为一组薄层。每对相互接触的薄层都会对应一个单元刚度kij（此处，索引i表示接触线的编号，而索引j表示薄层对的编号）。

然后，该单元刚度kij会被分解为多个串联的弹簧。

应力场的FE验证
为验证前文所提出的理论，人们构建了一个与解析模型假设相一致的FE模型。如图6所示，仅保留位于力与齿轮中性纤维交点所在截面以下的齿部结构（也就是说，该截面以上的齿部的柔性已经包含在接触柔度中，详见第II.ii节“接触柔度”）。

额外项对整体结构柔度的影响
对于在第6部分生成的1000个随机齿轮副几何结构，分别使用传统公式和所提出的剪切项公式计算了系统的总结构刚度（包括剪切、弯曲和轴向压缩刚度）。分析了两种公式所得平均结构柔度之间的相对差异分布，结果汇总于表6中。注：pk为第k百分位数。例如，p20=?3.2%表示有20%的样本值小于该数值。

结论
本文通过考虑径向方向上齿厚的导数，改进了传统的剪切柔度公式，而这一导数是不能被忽略的。研究表明，与目前最常用的方法相比，所提出的公式能够显著提高对各种形状齿轮的剪切应力场仿真精度。剪切应力场直接影响所谓的剪切柔度，而剪切柔度又是整体网格刚度的重要组成部分。

CRediT作者贡献说明
Stéphane Portron：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，软件，方法论，研究，形式分析，数据整理，概念构建。Stéphane Portron