基于运动静差模型与数据驱动方法的混合式机床标定

《Mechanism and Machine Theory》：Calibration of a hybrid machine tool using kinetostatic error model and data-driven method

　　•提出了一种结合模型驱动与数据驱动方法的层级校准方案。•对混合式机床的几何误差与变形误差均进行了建模。•将这些误差统一到有限螺旋理论与瞬时螺旋理论框架下进行分析。•识别出冗余误差并将其从误差模型中剔除。•提出了一种基于BO-GBDT的数据驱动方法用于校准残余误差。

引言
铸造件通常需要经过粗加工，以去除诸如铸件头、毛边或接合线等多余部分。对于复杂零件的自由成形切削或磨削，则需使用五轴机床。与串联式机床相比，并联运动机构具有更高的结构刚度、动态性能以及负载重量比等优点[1]。用相同自由度的并联运动机构替代直线或旋转轴，被视为设计机床的一种有前景的解决方案[2]。在我们之前的研究[3]中，x轴和y轴的线性移动由平面并联运动机构实现，而z轴的移动及旋转轴则采用串联结构。由此，我们开发出一种可用于磨削不同尺寸和表面形状的铸造件的混合式机床。为确保更好的磨削质量，还对这种混合式机床的体积误差进行了建模与补偿。

通常，机床的体积误差可分为与位置相关的几何误差（PDGEs）和与位置无关的几何误差（PIGEs）。PDGEs是由部件制造缺陷引起的轴内运动误差，这类误差会随轴的位置变化而改变，例如导轨的直线度误差[4]。PIGEs则是由于部件装配不完美导致的轴间运动误差，比如接头错位和角度偏差[5]。因此，对机床的PDGEs和PIGEs误差进行校准与补偿至关重要。

五轴机床的误差模型是指运动误差与测量配置之间的映射关系。一种经典的建立该模型的方法是基于齐次变换矩阵（HTM）。几何误差采用ISO 230标准中的定义与表示方式，这些误差被视为由HTM描述的运动，并被纳入机床的实际正向运动学中。例如，Zhu[6]、He[7]和Li[8]通过4×4 HTM的乘法运算来描述机床理想状态下的刀尖位置/方向，他们的区别在于所采用的误差模型。类似地，各轴的几何误差也被累积到工具中心点（TCP）上[9]，机床坐标系中的TCP与工件坐标系之间的转换关系也被用作误差模型。另一种更常见的方法是直接计算工件坐标系中的TCP位置[10,11]。代表从工件坐标系到机床坐标系变换的HTM中已包含了前述的几何误差[12,13]。基于HTM的模型还被应用于类似Delta结构的并联机器人的公差综合，方法是将几何误差纳入变换矩阵中[14]。

除了直接构建包含几何误差的实际运动学模型外，还有一种基于微分运动矩阵（DMM）的建模方法，该方法受d-H准则启发，用于分析误差传播现象在机床校准中的应用。Fu[15]用六维向量来描述五轴机床的PDGEs和PIGEs，定义了坐标系之间的微分变化，通过简单求和即可得到误差模型。Yang[16]指出传统方法描述的是一个轴相对于前一个接头的6种误差，这些误差是在全局坐标系中定义的，误差向量的变换则通过微分映射来实现。分析型微分模型以及基于灵敏度分析的方法也被用来评估几何参数变化对末端执行器误差的影响。还有学者提出了无量纲灵敏度指标，用于识别PAR2并联运动机构的主要几何误差源[17]。基于几何建模、工作空间优化以及基于矩阵的灵敏度分析，进一步研究了PAR2/类似Delta结构的并联机械手的稳健设计与公差综合问题[18]。最近，几何误差建模与灵敏度分析还被应用于6-UPS Gough-Stewart平台的精度设计中[19]。不过，对于具有多个耦合轴的闭环混合式机床而言，建立局部坐标系或推导灵敏度矩阵仍然是一项繁琐的工作。

指数积（POE）与单位双四元数（UDQ）是两种能够对机床误差进行全局描述的数学工具。机床的PIGEs可通过求和纳入扭转描述中，而刀尖位置的雅可比矩阵则可通过POE公式得出[20]。Xiang[21]将PDGEs和PIGEs都视为轴的有限运动，通过乘法运算累积误差，再利用POE公式构建机床的实际正向运动学模型。Qiao[22]进一步考虑了旋转关节与棱柱关节的约束条件，提出了基于POE公式的共垂线变换方法，从而降低了识别系数矩阵的规模。Fu[23]则将POE与DMM结合起来用于机床的误差建模，用误差扭转来表示PDGEs和PIGEs，而DMM则用于描述各轴的误差贡献。Wang[24]注意到UDQ是一种表达螺旋位移的有效方式，因此重新定义了五轴机床的PIGEs，避免了归一化处理，进而简化了通过UDQ进行误差识别的过程。这些方法之间的差异在于误差的描述方式与累积方式。虽然PDGEs和PIGEs在机床校准中被广泛应用，但不同方法对于如何表示它们存在不同观点，此外，对于实际误差扭转与名义误差扭转之间的关系以及误差的可识别性，不同方法的处理方式也不尽相同。

上述方法主要用于校准具有串联结构的机床。而对于本文所研究的混合式机床来说，要对其闭环结构下的误差累积进行建模是一项相当具有挑战性的任务。尤其是这种混合式机床采用如图1所示的水平布局，重力与负载会导致结构变形，进而影响工具中心点的定位精度，因此有必要采用弹性几何建模与校准方法。

在用于加工操作的并联机构中，弹性变形是影响姿态精度的重要因素。Kelaiaia通过修正电机驱动的关节变量，为Delta机器人开发了一种准静态变形补偿模型[25]。在6自由度串联机床的关节处也设置了线性弹簧，同时假设各连杆为刚性结构[26]。弹簧刚度、自身重力以及重心都被视为需要识别的参数。在[27]中，人们在修正运动学参数之后，还考虑了关节的刚度因素，从而识别出了变形误差。研究者们还在加载状态与未加载状态的机床上进行了实验。Deng[28]意识到在这些研究中，几何误差与变形误差是被分别识别的，于是他采用了相同的优化配置，实现了弹性几何同步校准。与串联机床的弹性静态建模类似，Kalas[29]仅考虑了主动关节之间的刚度特性，同时也将变形测量误差以及作用力中的误差视为误差来源。还有研究同时考虑了连杆与关节的弹性变形，对具有冗余驱动装置的并联运动机构进行了弹性几何建模与误差识别[30]。在针对3-RCU并联机床的弹性几何校准中，人们尤其关注重力变形与刚度误差问题[31]。总体而言，人们已经认识到重力与静态负载引起的变形误差会影响串联式与并联式机械手的定位精度，但如何对这类变形误差进行建模仍是一个未解决的问题。

除了上述基于模型的校准方法外，近年来也有越来越多的研究致力于结合数据驱动方法来提升机床的绝对精度。这类方法通常先利用运动学与刚度模型来识别并补偿几何误差以及部分非几何参数，然后再借助数据驱动技术来解决复杂的残余非线性误差问题。Zhou[32]开发了一种结合高斯过程回归（GPR）的统一运动静力模型，可用于同时处理ABB工业机床在负载状态下的几何误差与变形误差。Le[33]为HH800机床的关节刚度与运动学参数建立了识别模型，采用基于教学学习的神经网络来识别这些参数。Cao[34]将扩展卡尔曼滤波（EKF）与通过蝴蝶花授粉算法优化的神经网络相结合，而Wang[35]则设计了一种三阶段策略，包括基于POE的几何校准以及通过甲虫群优化算法实现的神经网络补偿。此外，Yang等人还提出了一种级联EKF与残差神经网络（ResNN）模型，该模型能有效抑制测量噪声并补偿未被建模的误差，在多种工业机床数据集上均展现了出色的精度表现[36]。这些方法主要以GPR或神经网络为核心。随着数据集规模的增大，GPR方法的计算复杂度会显著上升，而且其对核函数选择的敏感性也会愈发突出。同样，神经网络也需要大量数据，且在校准数据有限的情况下容易出现过拟合现象。对于具有多链耦合结构的混合式机床而言，选择一种能够与误差模型无缝整合的合适数据驱动方法，是提升其绝对精度的一种具有挑战性但前景广阔的解决方案。

综上所述，本研究旨在为这种水平布局的混合式机床开发一种基于模型与数据驱动相结合的校准方法。与现有的建模方法相比，基于HTM的方法会为每个关节建立局部坐标系，这对串联式机床来说并无问题，但对于混合式机构而言则显得十分繁琐。POE与UDQ能够为刚体运动提供简洁的全局描述，非常适合用于几何误差建模。不过，它们的误差传播主要是通过乘法形式的运动组合来实现的，这种方法虽适用于几何误差的累积，但不太便于处理由重力引起的静态变形误差[37]。与基于HTM的矩阵乘法以及基于POE/UDQ的运动组合相比，FIS能够为刚体运动与误差扭转提供更为简洁的描述方式[38]。除了通过有限螺旋的微分运算来描述几何误差外，扭转误差也能用来表征由重力引起的变形误差。对于混合式机构而言，由于瞬时螺旋的累积作用，各构件内的误差可直接汇总得到末端执行器的误差。在各构件之间，扭转量与力矩之间存在互为反比的关系，这一特性为消除被动关节的误差分量提供了便利。基于FIS框架，几何误差与重力引起的变形误差被整合到一个识别模型中，随后通过去除冗余参数，得到可识别的几何参数与刚度参数。此外，在基于模型的校准之后，还引入了一种基于BO-GBDT的残差补偿模型，用于预测并补偿那些未被建模的非线性残余误差，从而进一步提升混合式机床的绝对定位精度。

本文的其余部分结构如下：第2节介绍这种混合式机床，并建立其运动静力误差模型；第3节阐述基于该误差模型的误差识别与补偿方法；第4节则介绍如何使用BO-GBDT进行残余误差的预测与补偿；第5节展示仿真与实验结果；第6节对全文进行总结。

混合式机床的结构描述
如图1a所示，这款5自由度混合式机床由四个主要子系统组成：垂直导轨、平面5R并联机构，以及两个旋转倾斜头（分别记为倾斜头I与倾斜头II）。垂直导轨包含一个滑动鞍座、一个滚珠丝杠以及两条滑轨，整个装置通过这些滑轨与机床框架相连。伺服电机驱动滚珠丝杠，从而使平面5R并联机构与倾斜头能够沿着相应方向移动。

参数可识别性分析
基于误差模型，可以对末端执行器的测量数据进行处理，并构建相应的识别模型。通常会进行可识别性分析，以检查识别映射矩阵的线性相关性，从而实现更稳健、更精确的参数识别。需要识别的参数包括几何误差与刚度系数。如方程（23）所示的集成识别模型中所体现的那样，几何误差参数与刚度系数都会被纳入识别过程中。

数据驱动的残余误差预测与补偿
残余误差的产生原因包括等效重力效应、模型偏差、齿轮间隙、传感器精度不足，以及温度、湿度、运动部件间的摩擦等因素所引发的变动。这类误差很难通过建模来准确描述，因此需要借助数据驱动算法来解决，见图3。对于本文所研究的混合式机床，我们选择梯度提升决策树（GBDT）来预测残余误差。GBDT具有以下优势：1）它能自动捕捉非线性特征。

仿真
仿真的实施过程如图4所示。首先需要通过定义初始姿态下的名义关节轴与实际关节轴，以及初始姿态下从基座坐标系到工具坐标系的名义变换矩阵与实际变换矩阵，来确定几何误差参数，相关参数列于表1中。此外，如表2所示，各部件的顺应矩阵的对角参数是预先定义好的。为确保模拟测量配置的合理性，对这些配置进行了优化。结论对于采用水平布局的机床而言，几何误差和静态变形引起的误差都会导致刀尖位置的偏差，但在校准过程中往往忽略变形误差。本文提出了一种基于模型和数据驱动的混合机床校准方法，通过FIS框架对几何误差和变形误差进行描述和建模。主要结论如下：1）基于FIS理论，建立了明确的误差模型。数据可用性所使用的数据属于保密信息。CRediT作者贡献说明宋一民：写作——审稿与编辑、概念设计。夏宇：写作——初稿撰写、验证、软件开发、实验分析。连斌斌：写作——审稿与编辑、监督、方法设计。王鹏峰：写作——审稿与编辑、可视化处理、数据整理。孙涛：写作——审稿与编辑、项目管理、资金筹措、正式分析。宋一民|夏宇|连斌斌|王鹏峰|孙涛