一种拟合数值方法用于具有非光滑数据和大空间时滞的奇异摄动抛物型微分方程

《Results in Applied Mathematics》：A fitted numerical method for singularly perturbed parabolic differential equation with non-smooth data and large space delay

　　

本文提出了一种参数一致收敛（parameter uniformly convergent）的数值方法，用于求解具有非光滑数据（non-smooth data）和大空间时滞（large space delay）的奇异摄动抛物型偏微分方程（singularly perturbed parabolic partial differential equation）。上述抛物型微分方程在均匀网格上离散，时间方向采用Crank-Nicolson方法（Crank-Nicolson method），空间方向采用新的指数拟合数值方法（exponentially fitted numerical method）。通过空间方向上的Richardson外推技术（Richardson extrapolation technique），该方法在空间和时间方向上均建立了二次收敛阶（quadratic order of convergence）。研究人员通过三个数值算例验证了该方法的有效性。计算结果证实，该方法优于文献中其他数值方法获得的结果。

本文研究了一类具有非光滑数据和大空间时滞的奇异摄动延迟抛物型微分方程（singularly perturbed delay parabolic differential equation，SPDDE）。这类方程在数学模型中广泛出现，例如描述依赖于系统过去和当前状态的现象。当小参数?（0
研究人员为开展研究采用的主要关键技术方法包括：时间半离散化使用Crank-Nicolson方法，空间离散化基于Taylor级数展开构造指数拟合差分格式，通过分析齐次方程的解确定拟合参数σ（在[0,1]区域σ_i=a_iρ/2·coth(a_iρ/2)+a_iρ/4，在(1,2]区域σ_i=a_iρ/2·coth(a_iρ/2)-a_iρ/4，其中ρ=h/?）。收敛性分析采用标准截断误差和障碍函数，先证明空间方向一阶一致收敛，再通过Richardson外推技术将空间精度提升至二阶。时间方向基于Crank-Nicolson方法局部截断误差为O(Δt³)，全局误差为O(Δt²)，最终全离散格式总误差为O(Δt²+h²)。数值实验选取三个模型算例，采用双网格原理计算最大点态误差并验证参数一致收敛性。

研究结果部分如下：

**4. Convergence analysis**
收敛性分析表明，在空间方向上，所提方法在均匀网格上是一阶一致收敛的，即|y(x_i)-Y_i|≤Ch（C为与?和网格无关的常数）。通过Richardson外推技术，误差界改进为|Y_i^extra-y(x_i)|≤Ch²，实现空间方向二阶一致收敛。时间方向全局误差为O(Δt²)，因此全离散格式满足|y(x_i,t_k+1)-Y_i^k+1|≤C(Δt²+h²)，即参数一致收敛。

**5. Numerical results and discussion**
数值实验选取三个模型算例（Example 1-3），系数和源项在x=1处间断，具有非光滑数据和大空间时滞。由于精确解未知，采用双网格原理计算最大点态误差e_?^2h,2Δt和参数一致误差e^2h,2Δt，并计算收敛阶r^2h,2Δt。结果显示，当?从10^-4降至10^-8时，不同网格下的误差几乎不变，表明方法对扰动参数?具有鲁棒性。三个算例的参数一致收敛阶均接近理论值2（如Example 1在网格2h=512时r=1.9913，Example 3在2h=512时r=1.9959），验证了二次收敛阶。与文献[3],[17],[19],[20],[21]的结果对比，所提方法的最大误差更小（例如Example 1在2h=256时，本文误差为4.8493e-06，而文献[19]为5.4158e-04，文献[17]为0.001746），表明该方法显著优于现有数值方法。数值解剖面图（Fig.1-3）显示，在x=1处存在内层，在x=2处存在弱边界层，与理论分析一致。对数-对数图（Fig.4）进一步确认了二阶收敛阶。

**6. Conclusion**
本文建立了一类具有大空间时滞和非光滑数据的奇异摄动延迟抛物型微分方程的参数一致收敛数值方法。该方法结合Crank-Nicolson时间差分和指数拟合空间算子，通过Richardson外推实现空间二阶精度，整体收敛阶为O(Δt²+h²)。三个数值算例验证了方法的可行性和优越性，其数值结果优于文献中现有方法。

结论部分翻译：本文对一类具有大空间时滞和非光滑数据的奇异摄动延迟抛物型微分方程进行了数值求解。研究人员采用Crank-Nicolson差分方法进行时间方向离散，并使用一种新的指数拟合算子数值方法进行空间方向离散，从而构建了一个参数一致收敛的数值方法。收敛性分析表明，该方法的收敛阶为O(Δt²+h²)，且具有参数一致收敛性。通过三个模型算例的数值实验，证明了该方法的可行性。数值结果以表格和图形形式呈现，该方法改进了文献中一些先前数值技术的数值结果。