《Results in Applied Mathematics》：Fixed/preassigned-time synchronization analysis and applications of the delayed hybrid neural dynamical systems
编辑推荐：
本研究探讨延迟混合神经动力学系统的固定时间（Fixed-Time, FXT）与预定时间（Preassigned-Time, PAT）同步问题，以复值忆阻神经网络（Complex-Valued Memristive Neural Networks, CVMNNs
本研究探讨延迟混合神经动力学系统的固定时间（Fixed-Time, FXT）与预定时间（Preassigned-Time, PAT）同步问题，以复值忆阻神经网络（Complex-Valued Memristive Neural Networks, CVMNNs）作为典型混合动态子类展开研究。首先，基于双曲余弦（hyperbolic cosine）函数提出新颖的FXT与PAT稳定性判据。随后，构建带有混合时变延迟的CVMNN模型，并建立非分离分析框架以避免传统分解方法带来的计算复杂度。最后，数值模拟验证理论结果，图像与音频加密两项应用展示所提同步机制的工程价值。
研究背景与问题提出
忆阻器（memristor）自1971年由Leon Chua首次提出并于2008年在HP实验室实现物理制备后，因其独特记忆特性在包括网络电路等领域获得广泛关注与成功应用，并推动了人工神经网络（Artificial Neural Networks, ANNs）的演进，由此产生的忆阻神经网络（Memristive Neural Networks, MNNs）在联想记忆等方面展现出显著潜力。实际应用中，受硬件开关速度限制与信号传输干扰等因素影响，时滞（time delays）普遍存在且难以完全避免，其会导致系统不稳定、振荡、分岔甚至混沌行为，因此在模型中纳入离散与分布延迟构成的混合延迟更符合现实场景且具有显著研究意义。现有关于含混合延迟MNN的研究多聚焦于实值（Real-Valued, RV）系统，而RV系统在解决如Tohru提出的XOR问题时常需借助复域（complex domain）以更有效处理，复值（Complex-Valued, CV）系统具备更强处理能力与上计算效率，在天线设计、信号处理、图像分类等领域具更广应用前景。传统分析复值神经网络（Complex-Valued Neural Networks, CVNNs）的方法通常将其分解为两个独立RV系统分别处理，这会导致系统复杂度增加、所需控制器数量增多及计算负担显著上升。本文采用非分离（non-separation）方法，直接在复域内建立分析框架，借助CV范数与符号函数研究含混合延迟的CVMNNs，从而有效降低计算复杂度。在NNs多种动态行为中，同步长期为研究热点，长期以来多集中于渐近同步，随后有限时间同步受到关注，但其收敛时间依赖初始条件且在噪声环境中难以准确估计。为此涌现出固定时间（FXT）同步，其从属系统状态在独立于初始值、仅由控制器参数或系统本身决定的固定调节时间内收敛至主系统状态。进一步提出更具灵活性的预定时间（PAT）同步，确保在无论参数与初始状态如何的PAT内实现同步。现有FXT与PAT同步研究中Lyapunov函数主要采用幂函数或指数函数等传统形式，本文引入基于双曲余弦函数的改进判据，发展多种新颖稳定性定理。为将NNs同步理论应用于实际场景，部分研究结合图像加密，但多数现有方法仅依赖系统固有属性或基础异或（XOR）操作，制约加密效能。本文尝试基于含混合延迟CVMNNs同步提升加密强度与通信安全，并将基于同步的加密算法拓展至音频加密领域，突破此前主要局限于图像加密的限制，丰富NNs同步的应用版图。该研究首次以非分离方法及含双曲余弦函数的判据研究含混合延迟CVMNNs的FXT与PAT同步，主要创新贡献包括：设计改进的双曲余弦基判据，建立多种新颖FXT与PAT同步定理，增强同步控制灵活性与可靠性并丰富CV同步理论体系；提出基于复值忆阻同步的加密方案以提升安全性能，并将同步基加密算法延伸至音频加密领域，拓宽同步技术应用范围。《Results in Applied Mathematics》刊载了此项研究。
主要关键技术方法
研究人员构建带混合时变延迟的复值忆阻神经网络（CVMNNs）模型，采用微分包含（differential inclusions）与集值映射（set-valued maps）理论处理忆阻连接权重的切换特性；设计基于双曲余弦函数的Lyapunov稳定性判据以推导固定时间（FXT）与预定时间（PAT）同步的充分条件；建立直接在复域运算的非分离分析框架，利用复值1-范数（1-norm）与复值符号函数（sign function）避免传统实部虚部分解；通过数值模拟验证理论推导，并设计图像与音频加密应用流程以测试同步机制的工程效用。
研究结果
1. Introduction
研究人员在引言中系统梳理忆阻器及忆阻神经网络的发展脉络，指出现有实值系统研究的局限与复值系统非分离分析的必要性，阐述从渐近同步、有限时间同步到固定时间与预定时间同步的演进逻辑，明确现有Lyapunov函数形式的单一性，提出引入双曲余弦函数判据的创新点，并说明将CVMNNs同步拓展至音频加密的应用价值，最终列出两项主要创新贡献。
2. Preliminaries
给出含离散延迟ζk(t)与分布延迟?k(t)的CVMNNs主系统（master system）微分方程模型及对应响应系统（response system）模型，定义状态变量Υl(t)∈?、自抑制系数al∈?、有界激活函数H(·)及其1-范数上界约束，说明忆阻连接权重qlk、rlk、slk依状态幅值1-范数切换的分段常数形式与阈值Ξl，给出初始条件在区间[???, 0]上的定义；借助微分包含与集值映射理论将主从系统改写为含凸包co(·)的包含形式，定义误差?l(t) = ?l(t) ? Υl(t)并推导同步误差系统模型，确立后续理论证明的数学基础与非分离框架下的符号与范数使用规范（如复值1-范数‖?(t)‖1 = Σml=1 |?l|1，其中|?l|1 = |?lR| + |?lI|）。
讨论与结论翻译
讨论部分指出，复值忆阻神经网络（CVMNNs）的同步机制在信息安全领域尤其理论与加密技术衔接方面具广阔应用前景，可具体用于安全通信等领域；相比实值忆阻神经网络（RVMNNs），CVMNNs在加密算法设计中具更强扩展潜力与安全强度，例如作为加密密钥初始值可扩展至两倍位长。因此为满足安全传输与信息隐藏实际需求，深入研究生值忆阻神经网络的固定时间与预定时间同步具有重要意义，既可提升加密系统抵御各类安全攻击的鲁棒性，又能优化解密过程时效性。结论部分提出基于双曲余弦函数的改进判据并建立多种新颖固定时间与预定时间同步定理，丰富复值同步理论体系；提出基于复值忆阻同步的加密方案并将同步基算法拓展至音频加密，突破图像加密局限并拓宽同步技术应用范围；数值模拟与图像、音频加密应用验证了所提延迟混合神经动力学系统同步理论与控制策略的有效性与工程价值。
