一个创新的分数阶耦合系统用于同时图像去噪和去模糊

《Results in Applied Mathematics》：An innovative fractional coupled system for simultaneous image denoising and deblurring

　　

同时图像去噪和去模糊仍然是图像处理中的一个重大挑战，因为噪声和边缘都是高频信号，它们会相互抵消同时增强边缘效应。在这项工作中，研究人员提出了一种创新的分数阶耦合系统，以及基于Atangana–Baleanu分数阶导数（AB分数阶导数）的时间分数阶扩散方程和一个分数阶冲击滤波器。研究人员提供了整数阶和分数阶导数的有限差分格式的详细离散化过程，并证明了该数值方法的理论稳定性。研究人员还提出了几种模拟实验以最优地选择模型参数。实验结果表明，研究人员的方法不仅有效地降低噪声和锐化边缘，而且还减弱了阶梯效应（staircase effect），优于现有的其他相关模型，并可应用于磁共振成像（MRI）和胸部X射线（chest X–Ray）图像。

图像复原是图像处理的关键步骤，但同时对图像进行去噪和去模糊仍是挑战，因为噪声和边缘均为高频信号，难以区分。现有方法主要分为变分法和基于偏微分方程（PDE）的方法。变分法如ROF模型会产生阶梯效应（staircase effect）并降低对比度；PDE方法如冲击滤波器虽能锐化边缘但对噪声敏感，且多数模型仅针对单一任务。近年来，分数阶微分技术因其能考虑邻域像素信息而减少阶梯效应，但大多数分数阶模型仍专注于去噪或去模糊。Bahador等人曾提出一个分数阶耦合系统，但基于Caputo分数阶导数。Atangana和Baleanu于2016年引入了一种非奇异核的分数阶导数（Atangana–Baleanu分数阶导数，AB分数阶导数），在图像处理中显示出潜力，但尚未被用于同时去噪和去模糊。因此，研究人员提出一种基于AB分数阶导数的创新分数阶耦合系统，集成时间分数阶扩散方程和分数阶冲击滤波器，旨在同时去除噪声、锐化边缘并减弱阶梯效应。该论文发表在《Results in Applied Mathematics》。

研究人员采用有限差分法对整数和分数阶导数进行离散化。对Atangana–Baleanu分数阶导数（AB分数阶导数）提出了一种新的差分格式（式(3.8)-(3.9)），并给出了耦合系统（式(3.1)）的离散化方案。该耦合系统包含两个方程：第一个方程基于分数阶冲击滤波器，使用空间变化的分数阶符号算子FS^ρ（其中ρ由局部曲率确定）自适应增强边缘，并结合各向异性扩散（c_η，c_ξ，w_η参数根据梯度幅值划分为强边缘、中等边缘和平坦区域三类）；第二个方程是时间分数阶扩散方程，基于AB导数处理噪声去除。研究人员还证明了数值方法的稳定性条件（定理4.1）。实验使用六幅标准测试图像（512×512，JPG格式）以及人体颅骨MRI和X-ray图像（850×850），添加高斯噪声或泊松噪声进行验证。

**5. 数值方法的实验评估**

研究人员首先通过参数扫描实验确定最优参数组合（Δt=0.1，α=0.85，β=20，γ=0.5，r=0.4，λ=0.02等），以最大化峰值信噪比（PSNR）值。随后，在六幅测试图像（House、Pirate、Peppers、Lena、Cameraman、Butterfly）上，将本方法与Bettahar、Alvarez、Kornprobst、Fu、Xiao、Bahador六种模型进行比较。定量指标包括PSNR、信噪比（SNR）、结构相似性指数（SSIM）和基于边缘的对比度测量（EBCM）。结果显示，本方法在所有测试图像上均获得最高的PSNR、SNR、SSIM和EBCM值（见表2）。例如，在Lena图像上，本方法PSNR为31.81 dB，而其他模型最高为28.66 dB。视觉对比也表明，本方法能有效去除噪声、锐化边缘，同时显著减弱阶梯效应，且计算时间与其他模型相当（约0.3分钟）。通过对比实验，研究人员得出结论：本方法在性能上优于现有的相关模型。

**6. 人体颅骨MRI和X射线图像测试**

研究人员将方法应用于添加泊松噪声的人体颅骨MRI和X-ray图像。使用固定参数（N=10，Δt=0.1，α=0.85，β=20，γ=0.6，r=0.4，λ=0.01等）进行100次迭代。结果显示，复原后的MRI图像PSNR从19.90 dB提升至32.54 dB，SNR从10.49 dB提升至26.03 dB，SSIM从0.51提升至0.98（表3）；X-ray图像的PSNR从21.06 dB提升至33.25 dB，SNR从16.25 dB提升至30.99 dB，SSIM从0.39提升至0.97（表4）。局部放大图清晰展示了细节恢复效果，证明本方法在医学图像去噪和去模糊中的有效性。通过医学图像测试，研究人员得出结论：本方法可有效应用于MRI和X-ray图像，大幅提升图像质量。

研究人员在本文中引入了一个基于Atangana–Baleanu分数阶导数（AB分数阶导数）和分数阶冲击滤波器的创新分数阶耦合系统，用于同时图像去噪和去模糊，并加入了可调新参数以控制正则化过程。研究人员提供了对Atangana–Baleanu分数阶导数的有限差分格式的详细证明，并提出了一个用于近似所提出的分数阶时间扩散方程右侧散度项的有限差分格式。随后，研究人员证明了该数值方法的理论稳定性。该模型允许研究人员调整参数以更好地控制正则化，增强减少图像噪声和模糊的能力。研究人员研究了不同的参数值以确定产生最高PSNR值的最优配置。这些实验有助于识别确保算法收敛的参数值。此外，研究人员基于实验洞察提供了如何选择合适参数以实现收敛的指南。最后，研究人员将他们的方法与已知模型（Alvarez、Bettahar、Kornprobst、Fu、Xiao、Bahador）进行了比较，表明他们的方法实现了优越的性能。