基于RRAM的模拟矩阵计算一步求解线性规划

《Frontiers in Nanotechnology》：Solving linear programming in one step with RRAM-based analog matrix computing

　　

线性规划（LP）是最基本的优化技术之一。然而，在传统数字硬件上求解LP问题日益受到矩阵运算多项式计算复杂度的约束。在本工作中，研究人员提出了一个基于阻变随机存取存储器（RRAM）交叉阵列和投影神经网络（PNN）模型的模拟矩阵计算（AMC）电路，该电路能够一步求解LP问题。所提出的电路直接将PNN动力系统映射到一个闭环反馈系统上，其中基于RRAM的投影矩阵计算单元一步执行投影矩阵计算，而模拟神经元模块执行积分、非线性激活和减法，以建立全局负反馈环路。该电路在分配问题和来自LP Netlib测试集的实例上进行了测试。电路级仿真表明，对于多达100个变量的问题，求解器在大约15微秒（μs）内达到稳定解，相比数字PNN基线实现了近两个数量级的加速。研究人员进一步引入了一种模拟-数字混合方法，其中模拟电路快速提供接近最优的种子解以初始化数字迭代求解器，将后续迭代次数减少高达54.4%。这些结果表明，基于RRAM的AMC为大规模实时、节能的LP求解提供了一条有前景的途径。

线性规划（LP）是优化理论的基础分支，广泛应用于物流调度、电网规划、资源分配及分布式机器学习参数优化等领域。随着人工智能与云计算发展，LP问题维度持续增长，对求解速度和能效提出更高要求。传统数字求解器（如单纯形法和内点法）依赖迭代求解，本质涉及矩阵求逆、矩阵-向量乘法（MVM）和矩阵-矩阵乘法，计算复杂度为O(n²)至O(n³)，且数据频繁移动，限制了大尺度实时处理能力。基于阻变随机存取存储器（RRAM）的模拟矩阵计算（AMC）技术，通过将矩阵元素映射为RRAM单元电导值、输入向量映射为电压向量，可实现一步MVM，并通过全局负反馈完成更复杂的矩阵运算（如求逆）。然而，现有RRAM LP求解器多针对小规模问题或依赖离散迭代算法，未充分挖掘AMC电路的计算潜力。为此，研究人员提出基于投影神经网络（PNN）模型的AMC电路，一步求解LP问题。该论文发表在《Frontiers in Nanotechnology》上。

研究人员设计并验证了一个由RRAM交叉阵列和模拟神经元模块构成的闭环电路，直接映射PNN动力系统。投影单元利用两个RRAM阵列存储约束矩阵转置A^T，通过跨阻放大器和运算放大器（OA）反馈结构，一步完成投影矩阵P = A^T(A A^T)^-1A的计算。模拟神经元模块每个变量对应一个神经元，由三个OA组成：OA1实现积分（时间常数ε = C_f/G₀），OA2实现ReLU非线性激活（y⁺ = max(0, y)），OA3实现减法，将输出反馈至投影单元输入，形成全局负反馈。电路通过基尔霍夫电流定律和虚拟短路条件推导出与PNN方程一致的微分方程，确保系统收敛至LP最优解。在分配问题（64、100变量）和LP Netlib测试集（SC50A、SC50B）上进行电路级SPICE仿真，与数字PNN基线（MATLAB实现）比较。进一步提出模拟-数字混合范式：模拟电路快速提供近优种子解，初始化数字迭代求解器，减少后续迭代次数。

**研究结果：**

**4.1 分配问题**
通过8×8（64变量）和10×10（100变量）分配问题仿真，研究人员将约束矩阵映射至RRAM电导值，目标向量b和成本向量c作为电压输入。电路级仿真显示，64变量问题在约15 μs内达到稳态，而数字PNN基线需约1.9 ms，实现近两个数量级加速。对于100变量问题，模拟输出因非理想性偏离精确0/1值，但通过50%阈值后处理（仅适用于二进制分配问题），仍可恢复与数字求解器一致的最优分配方案。该结果验证了模拟电路在大规模分配问题中的速度优势与可行性。

**4.2 标准测试集评估**
在Netlib SC50A（50行、78列，160非零元）和SC50B（50行、78列，148非零元）阶梯结构基准上进行测试。研究人员将原始问题通过添加松弛变量转换为标准形式，并将约束向量b缩放200倍以适配电压范围。模拟解与数字解逐分量对比显示，SC50A数据点紧密聚集在对角线附近，仅少数松弛变量（c_i=0）有轻微偏差；SC50B聚集更紧密。模拟求解器获得的目标值分别为?0.3109和?0.3457（数字参考：?0.3229和?0.3500），原始残差∥Ax?b∥分别为0.0215和0.0279。该结果证明模拟LP求解器能可靠处理实际来源的阶梯结构基准实例，保持一步模拟计算的能力。

**4.3 模拟-数字混合计算范式**
针对模拟电路精度有限的问题，研究人员提出混合范式：模拟LP求解器在微秒时间尺度产生近优近似解，作为种子初始化高精度数字迭代求解器（相同PNN离散化，步长0.1，最大迭代次数预设）。在64变量分配问题上，与随机初始化相比，模拟种子使数字求解器在达到约束残差阈值10^?4、10^?6和10^?8时，平均迭代次数减少15.4%–37.9%，最高减少54.4%。由于模拟计算时间远小于单次数字迭代，总求解时间显著降低。该结果证明了混合范式在平衡模拟速度与数字精度方面的有效性。

**讨论与结论**
讨论部分指出，精度是模拟求解器的关键挑战，主要来源于器件非理想性（RRAM电导变化、导线寄生电阻）。通过64变量分配问题重新仿真，当导线电阻达2Ω时出现轻微IR压降，电导变化在±5%以内时，经阈值处理仍可恢复正确分配。与先前工作（如Tank-Hopfield网络、Vichik和Borrelli的模拟LP/QP电路、Cai等人的内点加速器、Shang等人的Douglas-Rachford框架）相比，本文首次将完整PNN动力系统映射至闭环RRAM投影单元和模拟神经元，在问题规模（100变量）和基准测试（Netlib）上达到更宽验证范围，速度（15 μs）和能效（每解约0.84 μJ）具有优势。未来可推广至二次规划等凸优化问题。

结论部分翻译：研究人员提出并验证了一个基于RRAM的AMC电路，通过利用PNN模型一步求解LP问题。该架构将基于RRAM交叉阵列的投影单元和模拟神经元模块耦合，形成一个闭环动力系统，在微秒内收敛到最优解。对5到100个变量的问题以及Netlib SC50A和SC50B基准的仿真表明，相比数字PNN基线实现了近两个数量级的加速，且精度足以满足实际应用。伴随的模拟种子/数字迭代混合范式弥合了模拟速度与数字精度之间的差距，将数字迭代次数减少高达54.4%。这些结果确立了基于RRAM的一步AMC作为大规模实时、节能优化的有前景平台。