基于模型的条件傅里叶神经算子用于生成谱一致的人工湍流

《Computer Physics Communications》：Model-driven conditional Fourier neural operator for spectrum-consistent synthetic turbulence generation

　　摘要：在计算流体动力学中，与光谱一致的合成湍流对于构建入流边界以及预测宽带气动声学噪声至关重要。基于神经网络的数据驱动湍流生成方法展现出巨大潜力。然而，在不同的物理条件下生成与预定能量谱匹配的流场依然是一项挑战。现有的数据驱动方法通常依赖于成本高昂且可靠性有限的数据库，其泛化能力较差，并且在空间域训练时容易出现回归到均值的问题。为了解决这些问题，本文提出了模型驱动的条件傅里叶神经算子（MD-CFNO），该算子包含三个相互关联的部分：模型驱动的数据构建，通过光谱先验提高可解释性并扩大可泛化的参数范围；条件傅里叶神经算子生成，结合全局频谱域表示与条件参数注入，以减轻回归到均值的影响并实现参数依赖的生成；以及复合光谱监督，通过施加直接的物理约束来提升收敛性和光谱一致性。实验结果表明，所提出的MD-CFNO能够生成与光谱一致的合成湍流，并在插值和分布外推条件下均表现出良好的性能。本研究从模型驱动的角度探讨了合成湍流的方法，展现了傅里叶神经算子在条件生成方面的优势。

引言：本研究的目的是提出一种模型驱动的条件傅里叶神经算子（MD-CFNO），用于生成与光谱一致的合成湍流。生成建模是现代人工智能领域的核心范式，旨在近似复杂数据的潜在概率分布，并从中采样以产生与底层分布一致的新数据[1]、[2]。在高分辨率图像合成[3]、蛋白质结构预测[4]以及分子设计[5]等方面已经取得了显著进展。将这些模型应用到物理问题中仍然具有挑战性，尤其是在生成过程中必须保持重要的结构特性和物理属性时[6]、[7]。近期，人们将现代生成建模技术应用于合成湍流生成，常见的数据驱动框架包括变分自编码器（VAEs）[8]、[9]、生成对抗网络（GANs）[10]、[11]、[12]以及扩散模型[1]、[13]、[14]、[15]。首先，基于自编码器的方法被用于潜在表示学习与流场生成：Yousif等人[9]将多尺度卷积自编码器与长短期记忆网络相结合，成功再现了Reτ=180和550条件下的时空统计特性。其次，基于GAN的模型提升了纹理的真实感，并增强了雷诺数的泛化能力。Kim等人[11]将GAN与循环神经网络结合，在Reτ=180、360和540条件下训练后，能够生成未知雷诺数下的湍流场。第三，扩散模型近年来已成为湍流生成的竞争性强大方法[14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]。特别是Li等人[15]开发了一种基于扩散的框架，用于生成拉格朗日湍流，该框架能够从大尺度一直再现到惯性-粘性尺度范围内的拉格朗日统计特性，捕捉接近柯尔莫戈洛夫时间尺度处的局部缩放行为，而且相较于Wasserstein GAN基线，其在小尺度上的表现更为优异。基于扩散的CoNFiLD-inlet模型[18]对入流条件进行了参数化处理，并显示出在Reτ=103 - 104范围内的泛化能力。尽管取得了这些进展，但要实现条件可控的湍流生成仍面临两大主要挑战。首先，传统在空间域训练的神经网络容易出现回归到均值的问题[20]，从而导致流场过于平滑，无法有效捕捉复杂的湍流结构，进而使实际结果偏离理论能量谱。其次，数据驱动的湍流生成方法往往受到直接数值模拟成本高昂或实验测量数据稀少的限制[11]、[18]、[21]，这使得训练数据集只能覆盖参数空间的有限部分，从而影响模型的泛化能力。针对第一个挑战，傅里叶神经算子（FNOs）可以直接在傅里叶空间学习全局映射，为保留多尺度结构与光谱信息提供了一种有效途径[22]。近期的架构和算法创新使得FNOs能够应用于越来越复杂的任务。对于高维问题，通过多网格张量化[23]和稀疏变量间连接[24]提高了FNOs的扩展性。在振荡和多尺度问题中，分层式的局部-全局FNO架构有助于消除光谱偏差[25]，而多尺度输入变换则能增强不同尺度特征的表示能力[26]。FNOs还被用于处理不连续解，通过引入守恒约束来提高物理一致性[27]，同时学习数值通量以更好地处理不连续性和激波[28]。具备几何感知能力的编码方式则进一步将FNOs应用于不规则网格和参数化几何体[29]。与此同时，合成湍流模型被广泛用于涡旋解析模拟中的入流生成以及宽带气动声学噪声预测[30]、[31]。最近的研究进一步提升了这些模型的光谱一致性和无散度特性[32]、[33]。鉴于将算子学习与合成湍流建模相结合的潜力，我们提出了用于合成湍流生成的MD-CFNO。从算子学习的视角来看，该任务可以被看作是从高斯白噪声到满足预定湍流能量谱的速度场的非线性映射，其中湍流动能和耗散率被用作确保光谱一致性的显式控制变量。其主要贡献如下：(1)提出了一种基于随机傅里叶模型的模型驱动策略，用以替代成本高昂的直接数值模拟数据，通过在数据构建阶段嵌入光谱先验，提高模型的可解释性并扩大可泛化的参数范围。(2)开发了一种用于生成与光谱一致的随机湍流的条件傅里叶神经算子。其全局频谱域表示有助于缓解回归到均值的现象，而湍流参数的条件注入则能使生成的速度场适应不同的预定能量谱。(3)通过引入显式的波数域约束，设计了一种多约束损失函数，这种约束能够提供直接的物理监督，从而提升训练的收敛性和光谱一致性。

概述：本研究旨在开发一种基于算子学习的生成模型，该模型能够在给定湍流动能（TKE）和耗散率（ε）的条件下，快速生成具有预定能量谱的湍流速度场u(x)。湍流生成问题被定义为从高斯白噪声空间到物理湍流速度场的非线性条件映射，相应的生成算子Gθ定义为Gθ:(z(x),c)?upred(x)，其中z(x)为随机向量。

数据集配置：为了评估所提出的MD-CFNO在不同物理条件下的泛化能力，本研究采用了第2.2节中描述的模型驱动数据策略构建了一个合成湍流数据集。该物理参数空间由湍流动能（TKE）和耗散率（ε）决定。一旦确定了(TKE, ε)条件，方程(3)中的光谱形状参数α和κe就可以通过预定的物理关系唯一确定[37]，从而确定对应的湍流特性。

性能验证：根据MD-CFNO的三组分设计，本节首先在3.2节描述的受控环境下，通过将MD-CFNO与C-UNet以及无条件FNO进行比较，来评估条件傅里叶算子生成的性能。前者用于研究傅里叶算子核心结构的作用，后者则用于判断湍流参数注入的必要性。之后，还将该模型与传统的RFM在光谱精度和计算效率方面进行比较。

结论：我们提出了一种模型驱动的条件傅里叶神经算子（MD-CFNO），用于生成与光谱一致的合成湍流速度场。为了解决空间域网络中常见的回归到均值问题，该条件傅里叶神经算子将随机输入和湍流条件投影到频谱域的潜在表示中，通过全局波数域积分来保持光谱一致性。此外，借助模型驱动策略，该算子还实现了……

关于手稿准备过程中生成式人工智能及人工智能辅助技术的声明：在撰写本文档的过程中，作者们使用了Gemini工具来提升文本的可读性、语法水平以及语言表达质量。在使用该工具后，作者们根据需要对内容进行了审核和编辑，并对最终发表文章的内容承担全部责任。

数据与代码获取：MD-CFNO模型的源代码已在GitHub上公开发布，地址为https://github.com/Hongyuan0/CFNO_Turbulence。本研究过程中生成并分析的数据集，可在合理请求下从相应作者处获取。

CRediT作者贡献说明：Hongyuan Lin：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，软件，资源，方法论，研究，数据整理，概念构思。Shizhao Wang：写作——审阅与编辑，指导，资金获取，概念构思。

利益冲突声明：作者声明不存在任何可能影响本文研究成果的已知财务利益或个人关系。

Hongyuan Lin|Shizhao Wang中国科学院力学研究所非线性力学国家重点实验室，北京，100190，中国