基于物理原理的机器学习方法：用于小规模训练数据下的替代模型构建

《IEEE Transactions on Magnetics》：Physics-Aware Machine Learning for Construction of Surrogate Models With Small Training Data

　　

摘要：

本文表明，即使训练数据有限，具备物理认知的机器学习方法也能构建出精确的替代模型，用于最优设计、不确定性量化以及数据同化处理。在这种方法中，替代模型被用来预测真实值与基于物理模型的预测值之间的比率——真实值可通过实地计算或测量获得。通过这种乘法校正方式，替代模型能为基于物理模型的预测提供修正因子，例如分析公式或经验公式。经过训练后，便可利用基于物理模型的预测结果以及经过训练的机器学习系统得到准确预测，且这两种方法的计算负担都较轻。文中还测试了加法校正方法，即使用真实值与基于物理模型预测值之间的差值而非比率。数值实验表明，基于比率的乘法校正比基于差值的加法校正更为精确。因为比率的响应面往往较为平坦，所以可以用少量训练数据来表示，而基于差值的方法以及直接预测则无法做到这一点。本文还提出了基于线性回归的比率近似公式，便于从物理角度进行解释，并指出了该方法在数据同化等方面的潜在应用。

I. 引言

在开发电动机、变压器、电感器以及无线电能传输设备等电气电子设备时，人们通常会采用最优设计方法来确定其形状、结构以及材料选择[1]、[2]。同时，不确定性量化也被广泛运用，用于评估材料特性随时间的变化、特性差异以及制造误差等因素对设备性能的影响。这类分析往往需要运用有限元法（FEM）和电路分析等方法，而这些方法都需要大量的计算资源，包括计算时间和计算核心数量。为解决这一问题，一种有效的办法是用计算强度较低的替代模型来取代计算成本较高的传统方法。监督学习方法，如神经网络、核回归和回归树，常被用来构建这类替代模型。然而，监督学习通常需要大量的训练数据，这又会带来较高的计算成本。要想有效利用替代模型，构建模型以及进行优化或不确定性量化处理的总体计算成本，必须远远低于不使用替代模型的传统方法的成本。在本研究中，我们将物理原理融入机器学习中，以此降低构建替代模型的计算成本。这种方法被称为具备物理认知的机器学习。