《Mathematics and Computers in Simulation》：Application of DMD family methods and Higher Order DMD with Control for Reduced-Order Modeling of Nonlinear Elastic Structures
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近年来，数据驱动算法已成为工程领域的关键组成部分。动态模态分解（Dynamic Mode Decomposition, DMD）是其中之一，在机械工程（如流体动力学、机器人学或热力学）中具有诸多应用。它利用系统的时序数据执行时空分解，提取表征系统行为的动态模态
近年来，数据驱动算法已成为工程领域的关键组成部分。动态模态分解（Dynamic Mode Decomposition, DMD）是其中之一，在机械工程（如流体动力学、机器人学或热力学）中具有诸多应用。它利用系统的时序数据执行时空分解，提取表征系统行为的动态模态。本文详尽阐述了该算法若干最流行的变体，并提出一种名为带控制高阶动态模态分解（Higher Order Dynamic Mode Decomposition with Control, HODMDc）的新方法。该方法考虑载荷条件，为原始高阶动态模态分解（Higher Order Dynamic Mode Decomposition, HODMD）方法增添更多物理洞察。随后，这些算法被用于构建某高度非线性弹性系统的不同降阶模型（Reduced-Order Model, ROM）。首先采用有限元法（Finite Element Method, FEM）对系统建模，并在时变载荷条件下进行一系列动态仿真。所收集数据既作为前沿算法的输入，也用于本文提出的新算法。基于降阶模型，重复此前由有限元法完成的全动态仿真。结果表明，基于动态模态分解的模型产出与有限元法仿真相当的结果，但计算成本显著降低。此外，研究人员还使用新载荷场景进行了进一步仿真。同样，部分降阶模型给出的结果接近全模型结果，而计算成本低数个数量级。
研究背景方面，数据驱动技术在机械工程中日益重要，能够实现复杂高维系统的降阶数学建模，以远低于原始系统的计算成本进行动态仿真，甚至可对动力学方程未知的系统仿真。动态模态分解（DMD）作为一种数据驱动技术，利用给定系统的时序数据执行时空分解，提取表征系统行为的动态模态以构建降阶模型，已广泛应用于计算流体动力学、视频处理、疾病传播识别、神经科学及风力机叶片风场分析等领域。然而在固体力学中，DMD的应用迄今相当有限：已有研究将其用于实验模态分析、高度非线性机器人作动器动力学模型推导、轮式小车倒立摆线性模型构建等，但基于几何非线性与内部模态耦合主导的非线性弹性结构动态降阶建模仍具挑战。现有Koopman算子框架下的非自治系统方法常依赖移位空间、核函数或时变算子，增加复杂度且需精细调参，并非专为获取可解释的结构降阶模型而设计。为此，研究人员开展本研究，旨在利用动态模态分解族方法并结合提出的HODMDc，从有限元法动态仿真数据构建线性降阶动态模型，兼顾简洁性、低计算成本与物理可解释性，并给出一种混合仿真框架以加速长期仿真。
关键技术方法上，研究人员采用Ansys Mechanical APDL 2020 R2建立悬臂梁有限元模型（长度1000 mm，方形截面30×30 mm2，1000个梁单元，端部固支），以弹性模量500 MPa材料实现大变形；在0.01 s步长、5 s总时长的隐式积分下，分别采集无外载自由振荡与y向正弦时变载荷（幅值0.1 N、频率0.5 Hz）下的节点位移与速度时序，构成快照矩阵X与X′及控制矩阵Υ；依次实施标准DMD、带控制DMD（DMDc）、扩展DMD（EDMD）及其控版本、HODMD，以及新提出的HODMDc——后者通过两次截断奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）降维，先对X按容差ε?截留r列得U?，再构造d阶延迟块Hankel快照矩阵X?并二次SVD按ε?降维，同步构造f阶控制Hankel矩阵Υ?，求解约化Koopman矩阵T?与约化控制矩阵Q?，获得阶数远低于有限元的线性递推降阶模型；以相对均方根误差（RRMSE）和特征值稳定性评估，并以3自由度非线性质量-弹簧-阻尼振子（PRBS训练、谐波验证、含高斯噪声）作玩具算例校验。
研究结果部分，第4节玩具算例：3自由度非线性振子中，仅测质量3位移与外载，对比HODMDc与DMDc显示，DMDc因单特征值主导误差大（RRMSE 0.7342），HODMDc取延迟阶数d=5、ε?=10?2时RRMSE降至0.2260，证明引入时延嵌入可准确刻画非线性受迫系统且保持低阶简单。第5节非线性悬臂梁结果：5.1案例研究中梁模型实现大变形；5.2方法应用说明快照构造与约化投影流程；5.3无外载案例中，标准DMD在r=16时y向位移复现好（相对误0.0276）但x向因几何非线性与模态耦合失效，HODMD取d=8将x向RRMSE降至0.0595，证实时延嵌入可补单步Markov近似不足；5.4时变外载案例中，DMD需r=499才逼近有限元且伴不稳定特征值，HODMD（d=12）精度高但不可换载荷，DMDc与EDMDc仅y向尚可、x向失败，HODMDc在训练载荷区间（0.8~1 N、1 rad/s）内双轴复现佳，但对训练外幅值0.95 N验证载荷泛化不足；5.5混合仿真中，以有限元跑前5 s训练HODMDc续跑剩余15 s，结果与全20 s有限元一致且耗时降约三数量级。
讨论与结论翻译：本工作使用动态模态分解（DMD）族方法并提出高阶动态模态分解带控制（HODMDc）新版本以获取结构动力学降阶模型。HODMDc允许将外部控制作为输入，与本文其余DMD算法共同表征非线性悬臂梁的动态丰富性。以3自由度玩具模型对比HODMDc与一阶DMDc，验证其适用于依任意变化输入降阶高阶模型；在Ansys所得真实非线性梁数据中，各模型拟合效果不一但计算成本降数数量级。无外载自由振荡时DMD在随机初值下无法复现纵向位移却能复现更线性的竖向位移，HODMD则双轴皆可。加谐波外载时DMDc仅竖向部分复现且不能泛化他载，并现不稳定特征值致发散；EDMDc同此；HODMDc在原时变载荷下双轴预测成功，尤适于本文混合仿真框架降低长期仿真成本，但训练外载荷复现仍需更多研究。总之，本文数据驱动技术尤其HODMDc能为高非线性动态系统推导降阶线性模型，加快计算并促进后续分析、仿真与控制。该文发表于《Mathematics and Computers in Simulation》。
