采用最大熵方法计算出的衍射应力因子

《Mechanics of Materials》：Diffraction stress factors calculated using a maximum entropy method

　　摘要：基于衍射的织构材料应力分析依赖于理解其弹性、塑性和热性能的各向异性对微观应变分布的影响。通常是通过采用简化的晶粒相互作用假设来计算张量应力因子，或者在织构非常强烈的情况下，将材料视为单晶（晶粒群方法）来进行分析。在本文中，我们首次将微观力学最大熵方法应用于应力因子计算，以处理具有织构的材料。该方法的独特之处在于能够通过材料的有效刚度进行参数化，从而使该方法能够与宏观可测量的样品属性相适配。我们对冷轧铜进行了示例应力分析，通过全场模拟验证发现，即使对于织构极为明显的材料，最大熵方法也能给出精确的局部应变值。在对织构较弱的冷轧铁素体钢进行的应力分析中，该方法的精度也与现有的Voigt、Reuss以及自洽Eshelby–Kr?ner方法相当。相比后者，该方法在计算效率上也更具优势。

引言：自Lester和Aborn在1925年进行实验以来，人们就已经知道残余应力会影响金属的衍射行为。Macherauch和Müller在1961年提出了基于无织构且无微特征应变的假设，利用sin2(ψ)技术通过衍射来分析应力。要使用该技术分析应力，必须知道材料的衍射弹性常数。如果材料存在织构，其行为会更为复杂，此时就需要使用D?lle和Hauk在1978年提出的应力因子。这些应力因子可以通过在已知应力状态下进行衍射实验来测量，也可以通过各种理论模型来计算。例如，Behnken和Hauk在1991年探讨了使用成熟的Voigt、Reuss以及Eshelby–Kr?ner（或自洽）模型来计算应力因子。这些模型的共同特点都是假设了晶粒间的相互作用，而这必然涉及到对有效刚度的估算。由于估算出的刚度可能与实际样品的刚度并不相同，因此晶粒相互作用的选择会带来额外的误差来源。Krause等人于2025年使用微观力学最大熵方法来计算无织构多晶体的衍射弹性常数。最大熵方法最初由Kreher和Pompe在1989年提出，是一种用于局部场统计的近似方法，它利用材料的宏观性质来替代微观结构的显式模型。在应力分析中，如果能够准确获得样品的刚度数据，最大熵方法就可以消除样品与模型之间的刚度差异。在本文中，我们将最大熵方法用于计算具有织构的多晶体的应力因子。在验证最大熵方法时，我们采用了基于计算生成的微观结构局部应变场的全场模拟方法。除了能够提供无仪器效应和测量误差的精确比较环境外，全场模拟还可以直接用于计算应力因子。此外，我们还将其与实验结果进行了对比。在本文中，我们主要关注弹性晶粒相互作用，不考虑特征应变。

本文结构如下：第2节阐述了应力因子计算和织构表示的规范；第3节介绍了在此框架下已有的Voigt、Reuss以及自洽方法的推导过程，随后是针对具有织构材料的最大熵方法；第4节通过对具有极强织构的轧制铜样品进行应力分析，来测试该方法在极端条件下的适用性，并通过全场模拟进行验证；第5节则针对织构较弱的铁素体钢样品，将最大熵方法计算得到的应力因子与数值模拟及实验结果进行比较；第6节对所有研究结果进行了总结。

符号说明：本文中的公式优先采用符号张量表示法。向量用加粗的小写字母表示（如x），二阶张量用加粗的大写字母或希腊字母表示（如A、σ），更高阶的张量则用黑板体字母表示（如C）。双线性积用?表示，点积或完全缩并用?表示，而将旋转Q作用于任意阶张量A的Rayleigh积则表示为Q?A。二阶张量A经过四阶张量C作用后的线性映射则用括号表示，即C[A]。四阶张量的矩阵乘积（AB）、转置（AT）、逆矩阵（A?1）以及Moore–Penrose伪逆矩阵（A+）则是通过将这些张量视为对称二阶张量上的线性映射来定义的，也就是用6×6矩阵的形式来表示。符号×表示张量Kronecker积，它可用于二阶或四阶张量A、B、C，其关系式为(A×B)[C]=ACBT。

织构表示：在下文中，“织构”指的是晶体学织构，即对晶体晶格取向的统计描述，而非形态学织构，后者是对晶粒形状取向的统计描述。在任何给定的材料点上，晶体晶格取向都可以通过一个正交的二阶张量Q来表征，该张量将固定的样品坐标系ei映射到晶格坐标系gi，其中i={1,2,3}，其关系为gi=Qei。

奇异逼近：在本节中，我们利用Fokin在1972年提出的奇异逼近方法，对现有的应力因子计算理论模型进行回顾。奇异逼近方法是用一组在统计上相似的单晶粒构成的集合来替代随机多晶微结构，这些单晶粒嵌入在刚度为C0的参考材料中。如2.1节所讨论的，我们假设该多晶体不存在形态学织构，因此其统计描述可以……

样品属性：本研究中所分析的材料为纯铜，其单晶弹性常数分别为C1111=170.2GPa、C1122=114.9GPa、C1212=61.0GPa，这些数值来自Simmons和Wang在1971年的研究。为了研究极为强烈的织构，我们假设这种铜已被冷轧成薄片，厚度逐渐减小，最大减薄比例可达95%。为了使用全场FFT方法分析这种轧制后的织构，我们首先模拟了织构的演变过程，然后利用得到的晶格取向作为样本……

样品属性：本研究中的另一种材料是耐腐蚀的铁素体铬钢X6Cr17（材质编号为1.4016）。我们假设其单晶的刚度与纯铁的相近，根据Landolt-B?rnstein数据库中的数据，纯铁的弹性常数为C1111=230GPa、C1122=135GPa、C1212=117GPa，相关数据出自Every和McCurdy在1992年的研究。所有的测量都是在从最终厚度为1.5毫米的冷轧薄片中切割出的样品上进行的。这些样品的织构是通过X射线衍射反射实验获得的。

总结与结论：在这项工作中，我们开发了一种用于分析具有织构的多晶体衍射应力的新方法，该方法利用最大熵方法来估算局部应变场。由于最大熵方法可以看作是Voigt方法和Reuss方法的加权插值，因此其实现可以基于现有的代码。与自洽方法相比，该方法的计算成本非常低。

CRediT作者贡献说明：Maximilian Krause：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、可视化、验证、软件、方法论、研究、形式分析、数据整理、概念构建。Nicola Simon：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、研究。Claudius Klein：写作——审稿与编辑、写作——初稿撰写、软件、研究。Jens Gibmeier：写作——审稿与编辑、资源获取、资金筹集。Thomas B?hlke：写作——审稿与编辑、监督指导。

利益冲突声明：作者们声明自己没有已知的可能影响本文所述工作的财务利益或个人关系。

致谢：本文所述的研究得到了德国研究基金会（DFG）的资助，项目编号为BO 1466/14-1和GI376/28-1，属于项目512640977“基于尺度桥接力学建模的残余应力分析中非线性sin2ψ分布的评估”范畴。我们衷心感谢德国研究基金会（DFG）的支持。

Maximilian Krause|Nicola Simon|Claudius Klein|Jens Gibmeier|Thomas B?hlke
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