一种实现半线性抛物型偏微分方程边界控制并产生线性跟踪误差动态的新方法

《European Journal of Control》：A new approach to boundary control of semilinear parabolic PDEs that yields linear tracking error dynamics

　　

该研究介绍了一种控制边界驱动半线性抛物型系统的新方法。为传达设计的核心方面，出于简洁性考虑以扩散?反应PDE为例。在经过基于平坦性的状态变换得到严格反馈形式的无限维ODE系统后，递归应用经典积分器反步法。这使得能够设计所谓平坦坐标的精确线性化状态反馈，将系统映射为具有期望稳定裕度的线性目标系统。基于闭环目标系统的线性方程，在变换坐标中设计用于轨迹跟踪的控制器。基于平坦性的变换及所得控制律被归结为依赖于系统状态的适当线性柯西问题的解。提出了一种高效数值格式来近似柯西问题的解，从而获得控制律的在线近似。仿真结果证明了该设计的实用性并说明了控制性能。

研究背景方面，非线性抛物型PDE系统对许多技术相关应用如热化学反应、等离子体系统或晶体生长过程等进行建模，目前对此类PDE的控制设计结果普遍稀缺。广泛采用的方法包括早期集总，即为抛物型系统设计有限维近似控制器；域内驱动情况下可参见基于几何与李雅普诺夫技术的结果，另一突出方法依赖正确正交分解；后期集总方法也有研究，如将后期集总平坦性前馈控制与早期集总反馈控制结合，针对一类Hamilton–Jacobi PDE提出输出反馈控制，以及基于最优控制的策略。推广线性PDE反步法时，采用空间Volterra级数非线性算子将含Volterra级数非线性的半线性抛物型对象映射为稳定线性目标系统并推导镇定反馈律，所述算子通过求解在高维递增域上演化的递归线性双曲型PDE序列确定。本研究提出另一种设计，利用一维空间域上的柯西问题解来确定跟踪控制器，该控制律可解释为精确线性化的基于平坦性的状态反馈，扩展了此前带非线性边界动态的线性抛物型PDE的相关结果。研究意义在于为半线性抛物型PDE边界控制提供新途径，通过平坦性与反步结合实现精确线性化与轨迹跟踪，并有高效数值近似方案支撑在线实现，论文发表于《European Journal of Control》。

主要关键技术方法包括：1）基于平坦性的状态变换，将系统映射为无限维严格反馈ODE系统，以边界z=0处状态x(0,t)作为平坦输出y(t)；2）递归应用经典积分器反步（integrator backstepping）于无限维ODE以设计精确线性化状态反馈；3）将控制律与变换归结为依赖系统状态的线性柯西问题求解；4）提出高效数值格式将柯西问题近似为线性方程组以在线近似控制律；5）通过仿真验证设计实用性与控制性能。

研究结果部分按原文小标题依次说明如下：

1. 1.
   Notation：定义k阶导数为h^(k)，解析函数类为C^ω，Gevrey阶α函数记为h∈G_α，并说明解析函数属于G₁，引入在z上解析且在t上为二阶Gevrey类的函数类C^ωG₂，记y_[k]=(y₀,…,y_k)。
2. 2.
   Problem formulation：考虑带Neumann边界?_zx(0,t)=0、半线性项rx²(z,t)及边界控制x(1,t)=u(t)的扩散?反应方程，初始条件x₀∈C^ω，目标是设计状态反馈局部镇定可行参考轨迹(x_r(·,t),u_r(t))，指出若u∈G₂则在t_max>0内解x∈C^ωG₂，参考需满足x_r∈C^ωG₂及u_r∈G₂。
3. 3.
   Flatness-based feedforward control：A. Flatness-based parametrization中以y(t)=x(0,t)为平坦输出，通过关于z的线性柯西问题?_z²x=x_t?rx²、x(0,t)=y(t)、?_zx(0,t)=0，用幂级数x(z,t)=∑_k=0^∞ z^k/k! a_k(t)得到递推a_k+2=?_k?r?_k，因Neumann条件得奇数系数为零，引入平坦坐标y_k(t)=a_2k(t)得y_k+1=?_k?r_k(y₀,…,y_k)，最终参数化为x(z,t)=∑_k=0^∞ z^2k/(2k)! y_k(t)，在y∈G₂下级数有非零收敛半径，y∈G₂^r时在[0,1]收敛；B. Reference trajectory and open-loop control中由期望y_r∈G₂解递推得x_r∈C^ωG₂，在z=1处求值和u_r(t)=x_r(1,t)得开环控制u_r∈G₂。
4. 4.
   Control design：A. Infinite-dimensional ODE representation中将x(z,t)与无穷维状态w(t)=[y₀(t),y₁(t),…]^T通过级数等价，得dw/dt=f(w(t))及∑_k=0^∞ 1/(2k)! y_k(t)=u(t)，逆变换为y_k(t)=?_z^2kx(0,t)，在x∈C^ωG₂下等价且级数收敛；B. Stabilization by ODE backstepping中设y_r(t)=0及μ>0，对严格反馈ODE递归积分反步，定义误差坐标?_k=y_k?κ_k(y_[k?1])，得线性化闭环d?_k/dt=?μ?_k+?_k+1，反馈为u(t)=?(t)+∑_k=1^∞ 1/(2k)! κ_k(y_[k?1](t))，变换可逆，且平坦输出不变y(t)=y₀(t)=?₀(t)，由严格反馈得?_k(t)=(d/dt+μ)^k y(t)，代入得?(t)=∑_k=0^∞ 1/(2k)! (d/dt+μ)^k y(t)，特征方程为cosh(√(λ+μ))=0，特征值λ_n=?μ?(2n?1)²π²/4<0（n∈N），当μ>?π²/4时全为负；C. Equivalence to target system中指出级数x?(z,t)=∑_k=0^∞ z^2k/(2k)! ?_k(t)将线性ODE系统映射为目标系统?_tx?=?_z²x??μx?等，逆为?_k(t)=?_z^2kx?(0,t)，序列变换(14)、(21)、(29)通过反馈(22)将原非线性系统映射为线性目标系统，此结果为局部的因需y∈G₂^r保证收敛；D. Tracking control中在变换坐标下定义误差e?(z,t)=x?(z,t)?x?_r(z,t)，代入?(t)=?_r(t)得误差系统?_te?=?_z²e??μe?等，基于线性目标系统更易由y_r∈G₂^r确定参考轨迹与?_r∈G₂。

讨论与结论部分总结：研究通过平坦性变换将边界控制半线性抛物型PDE转为无限维严格反馈ODE，递归积分反步实现精确线性化至带参数μ的线性目标系统，控制律等价于依赖系统状态的线性柯西问题解，提出数值格式近似求解以在线实现，仿真验证实用性与性能；结论为该方法为半线性抛物型PDE边界轨迹跟踪提供新途径，通过平坦坐标与反步产生线性跟踪误差动态，在μ>?π²/4下目标系统指数稳定，平坦输出y(t)在变换中保持，结果为局部的受Gevrey类收敛条件限制，后续需进一步研究全局性。