《INTERNATIONAL JOURNAL OF ROCK MECHANICS AND MINING SCIENCES》：NRNN: A physics-informed neural framework for non-linear rock modelling and deep tunnel analysis
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对岩石高度非线性的变形进行建模对于纯粹的基于数据驱动的神经网络（NN）而言仍然是一个巨大的挑战。为了克服这些局限性，本研究提出了非线性解析岩石神经网络（NRNN），这是一种新颖的物理信息深度学习框架。通过将物理约束显式地嵌入到前向网络架构中，NRNN将数学本构
对岩石高度非线性的变形进行建模对于纯粹的基于数据驱动的神经网络（NN）而言仍然是一个巨大的挑战。为了克服这些局限性，本研究提出了非线性解析岩石神经网络（NRNN），这是一种新颖的物理信息深度学习框架。通过将物理约束显式地嵌入到前向网络架构中，NRNN将数学本构定律作为严格的结构正则化项，从而增强了模型的稳定性与物理容许性。在针对涵盖石灰岩、大理岩、砂岩和页岩的全面的独立实验数据集进行评估时，NRNN有效地消除了在基线人工神经网络（ANN）中观察到的物理不许可预测，将主应力预测误差（MSE）降低了高达75%。此外，当扩展到边界值问题（如深埋隧道）时，该框架采用自回归推演引擎来模拟深部圆形隧道的力学响应。它成功地重构了复杂的全场应力-应变分布，且没有空间误差的累积。因此，物理信息架构不仅对于消除物理不许可预测至关重要，而且对于在各种岩性中实现卓越的泛化能力和物理一致性也起着决定性作用，为深部地下工程的实时反演分析提供了一个强大且计算高效的工具。
岩石材料因其非均匀的组成、演化的微观结构以及内在的损伤机制，而表现出高度复杂的力学行为。在变化的原位应力条件下，岩石显示出明显的非线性响应，最显著的是依赖于围压的脆-延性转换。在低围压水平下，伴随着严重的峰后应变软化的脆性破坏占据主导地位。然而，随着平均围压的增加，力学响应逐渐向延性流动过渡，伴随着压实的增强和强度退化的减弱。准确表征这些行为对于岩石力学和工程实践具有基础性意义。在过去几十年中，尽管众多先进的本构模型被提出并在实验室尺度上成功复制了应力-应变响应，但将其应用于工程尺度的数值分析仍极具挑战性。岩石的强非线性刚度以及应变软化引起的非平滑切向刚度，常常导致传统增量-迭代求解器出现严重的收敛困难，进而引发数值解的不稳定、网格敏感性及高昂的计算成本。
近年来，基于机器学习（ML）的数据驱动建模成为规避传统本构框架计算瓶颈的替代方案。传统的人工神经网络（ANN）被广泛部署以直接从实验观测中学习应力-应变关系。然而，这些纯数据驱动方法作为无约束的“黑盒”运行，映射输入到输出时完全不顾及基本物理原理或材料客观性。此外，岩石力学中的一个主要瓶颈是高质量三轴实验数据固有的稀疏性和噪声。当在此类碎片化数据集上训练时，标准ANN会遭受病态过拟合，在将复杂、未知的应力路径外推至训练流形之外时，其预测可靠性会完全崩溃。
为了弥合数据驱动建模与控制物理定律之间的鸿沟，物理信息神经网络（PINNs）作为一种混合计算范式被引入。尽管PINNs在一般固体力学中取得了成功，但在实际岩石力学和地下工程问题中的应用仍然有限。其首要瓶颈在于针对类岩石材料的物理约束的实施。绝大多数现有的PINN框架是为地质材料的简化本构模型而开发的，且在扩展至包含复杂的物理边界和严重材料非线性的实际岩石力学问题时，仍面临巨大瓶颈。在缺乏统一且严格执行的本构约束时，网络可能在满足数据拟合目标的同时违反底层强度准则。加剧这些本构挑战的是与迭代模拟中误差传播相关的固有架构限制。大多数现有的机器学习方法采用标准多层感知器（MLP），实施“全量公式”，直接将总应变映射为总应力。虽然此类架构在受控实验室条件下可重现个别应力-应变曲线，但其本身并未设计用于连续的空间或时间计算。在隧道开挖等边界值问题中，此限制尤为明显，局部预测误差会在连续步骤中累积，逐渐降低全局解的精度。
为了系统性地克服这些局限性，本研究提出了非线性解析岩石神经网络（NRNN）。该框架通过两项核心贡献对现有范式进行了创新。首先，摒弃了标准神经网络有缺陷的纯经验映射方法，将数学上严谨的非线性解析岩石（NAR）本构公式直接嵌入到NRNN的前向融合架构中。这明确地强制执行了屈服面的遵循和横向变形的协调性，涵盖了峰前硬化和严重的峰后软化阶段。其次，为了处理以空间路径依赖为特征的边界值问题，NRNN框架将其深度前馈骨干网络集成到专门的自回归空间推演方案中。该研究已发表于《INTERNATIONAL JOURNAL OF ROCK MECHANICS AND MINING SCIENCES》。
为开展此项研究，研究人员主要采用了以下关键技术方法：基于依赖于围压的Hoek-Brown强度准则的峰值与残余强度公式构建非线性解析岩石（NAR）本构模型；设计集成了强度演化与变形协调物理约束的物理信息前向融合架构，并采用Swish激活函数以确保高阶可微性；应用批量归一化（BN）、Dropout和L2正则化构成的协同优化策略以防止过拟合；在训练中采用Adam与L-BFGS-B交替的序列混合优化器以实现高精度收敛；结合海伦基奥特半解析解生成深埋圆形隧道的高保真数据集，用于训练自回归空间推演模型。实验验证样本队列来源于四种不同岩性的独立三轴实验测试数据集，包括石灰岩、大理岩、砂岩和页岩。
**NAR本构公式**
该部分构建了围压对轴向应力-应变响应峰值和残余状态的影响。通过三轴压缩实验发现，峰值强度与残余强度均表现出对围压的显著依赖性。研究人员采用类似于Hoek-Brown强度准则（H&B criterion）的经验公式分别描述峰值最大主应力(σ1p)与残余最大主应力(σ1r)的演化。此外，峰值点轴向应变(?1p)随围压的增加而增加的现象，则被一个幂律型函数有效捕捉。这些方程为统一描述岩石脆-延性转换及峰后力学响应提供了基础参考点。
**物理信息学习框架**
为了超越标准MLP的局限性，研究人员构建了NRNN深度学习架构。在该框架下，网络的状态输入变量经过了严格的归一化处理。通过网格搜索确立了一种四层且宽度逐渐扩展的拓扑结构（64-64-128-128神经元），这使得浅层能够捕获初始线性硬化响应，而深层则可模拟包括峰值强度突变和残余渐近线在内的复杂高阶交互。为保证物理约束要求的高阶可微性，研究采用了Swish激活机制。在训练策略上，该网络基于理论生成的合成数据集进行训练，并在来自不同岩石类型的真实独立实验数据上进行盲测验证。网络采用了一种物理引导的前向融合损失函数，将最终预测状态设定为纯数据驱动预测与物理驱动解析响应的硬编码算术平均值，从而强制网络进行残差学习，确保了绝对的物理鲁棒性。
**消融实验结果**
研究人员通过层级配置设计执行了全面的消融实验，以分离统计优化模块与物理信息约束的具体贡献。研究发现，未正则化的基线MLP预测能力严重退化。单独引入批量归一化或丢弃法可不同程度地缓解过拟合，其中Dropout被视为最强大的独立数据驱动正则化器。当所有统计模块协同组合达到纯数据驱动方法的性能上限后，再加入物理引导前向融合机制，模型展现出学习稳定性的深刻转变。即使在没有统计约束的情况下，强加物理融合也能显著提升预测精度，最终实现了全局最优配置。这证实了将物理定律直接嵌入神经网络架构是解锁预测鲁棒性上限的关键。
**深埋隧道的数据驱动求解**
在此部分，NRNN被扩展为捕捉深埋圆形隧道空间状态演化的自回归模型。利用半解析解生成的数据包含服从非线性解析理论的应力与应变演化。网络被设计为一个增量本构积分器，基于前一步的状态预测当前增量步的状态响应，从而尊重岩石变形的路径依赖性。定量评估显示，NRNN在所有关键状态变量上均实现了卓越的精度，成功避免了纯数据驱动ANN在迭代预测中因微小误差累积而导致的空间场失真问题，实现了复杂全场应力-应变分布的稳定重构。
**讨论：物理信息优越性的机制**
NRNN架构相对于基线ANN的优越性可归因于四个核心机制。首先，NRNN通过将物理边界和本构关系作为严格的结构先验，确保了物理一致性，有效防止了预测状态漂移出物理许可的解空间。其次，在空间自回归过程中，物理引导融合充当了稳健的自我修正积分器，严格满足控制微分方程，从而减轻了局部误差的指数级累积。第三，由于NRNN学习的是控制岩石变形的底层物理定律而非仅仅插值离散数据点，它在应对高度非线性和分布外输入时展现出了强大的泛化能力。第四，尽管离线训练需要一定成本，但训练后的在线推理仅需执行高度优化的前向计算，执行速度极快，为工程中的实时反演分析和数字孪生提供了一种显式且高度可扩展的替代方案。
**结论**
本研究提出的NRNN物理信息深度学习框架成功应用于强非线性岩石本构建模与深埋隧道开挖的边界值分析。它通过在前向网络架构中直接嵌入解析本构约束，将求解空间严格限制在物理许可的流形上，从而大幅提升了模型的稳定性与可解释性。相比传统的数据驱动方法，NRNN消除了物理不许可的预测，将材料本构层级的主应力预测误差降低了高达75%。在空间求解方面，自回归推演机制成功抑制了空间误差累积，实现了对全场应力-应变分布及脆-延性转换的精准描绘。消融实验进一步证实了嵌入解析本构定律的不可或缺性。未来的研究方向将集中在引入循环加载路径、真三轴应力状态及热-水-力（THM）多物理场耦合条件，并致力于将该框架整合至大规模数值求解器与数字孪生平台中。
