面向曲线几何的简化多相格子玻尔兹曼方法结合浸入边界法

《Computers & Fluids》：Simplified Multiphase Lattice Boltzmann method for curved geometry using Immersed Boundary Method

　　

提出了一种浸入边界-简化多相格子玻尔兹曼方法（IB-SMLBM），用于在任意曲线、非网格对齐的几何体上进行高效、高密度比的多相模拟。最近引入的简化多相格子玻尔兹曼方法（SMLBM）可以使用Cahn–Hilliard方程作为界面追踪算法，仅通过演化平衡分布函数求解多相流，从而降低虚拟内存需求。在本工作中，研究人员将浸入边界法（IBM）引入简化多相格子玻尔兹曼方法，以模拟曲线和非网格对齐几何体上的三相接触线。通过包括静态液滴的拉普拉斯定律（Laplace law）和多层泊肃叶流（Poiseuille flow）在内的测试案例验证了该实现的正确性，确保简化多相格子玻尔兹曼方法（SMLBM）方案的正确实施。在平坦表面上，分别在有和没有浸入边界法（IBM）的情况下，以及在固体圆柱体和倾斜平面上的接触角滞后（contact angle hysteresis）情况下，对三相接触线的实现进行了验证。

论文解读：面向曲线几何的简化多相格子玻尔兹曼方法结合浸入边界法

**研究背景、问题与动机**
格子玻尔兹曼方法（Lattice Boltzmann Method, LBM）因具有并行性好、无需求解椭圆型压力方程等优势，被广泛用于多相流模拟。然而，传统LBM存在两大瓶颈：一是虚拟内存消耗大，尤其在高密度比多相流中；二是边界条件实现复杂，且难以处理曲线几何体上的三相接触线。为克服这些局限，Chen等人提出了简化多相格子玻尔兹曼方法（Simplified Multiphase Lattice Boltzmann Method, SMLBM），该方法仅使用平衡与非平衡分布函数，显著降低内存需求，并基于宏观变量实现边界条件，提高了数值稳定性和物理直观性。但SMLBM尚未被用于曲线几何体上的三相接触线模拟。现有LBM研究中，大多数工作不涉及三相接触线，即使涉及也仅限于直线几何。同时，LBM采用笛卡尔网格，难以直接适配曲线边界。浸入边界法（Immersed Boundary Method, IBM）允许在笛卡尔网格上模拟曲线几何体上的流动，已被成功用于单相流。Fakhari和Bolster曾将相场LBM与IBM结合模拟曲线几何上的三相接触线，但未在SMLBM框架下实现。因此，本研究将IBM引入SMLBM，构建一种能高效、稳健地模拟曲线、非网格对齐几何体上三相接触线的数值框架，以扩展SMLBM在复杂固体边界多相流问题中的应用。论文发表在《Computers》上。

**关键技术方法概述**
本研究采用以下主要技术方法：
（1）简化多相格子玻尔兹曼方法（SMLBM）：基于Cahn–Hilliard方程追踪界面，仅演化平衡分布函数，通过分数步法（predictor–corrector）求解宏观变量（压力、动量、相场），减少虚拟内存需求。
（2）尖锐界面浸入边界法（IBM）：通过点-多边形方法标记流体节点、固体节点和幽灵节点（ghost nodes）；对幽灵节点采用二次多项式（含6个系数）进行最小二乘插值/外推，以施加边界条件。
（3）Dirichlet速度边界条件：在固体边界上施加无滑移条件（速度为零），通过将边界点速度设为0纳入插值系统。
（4）Neumann压力/相场边界条件：在固体边界上施加零法向导数条件，通过将法向梯度表达式代入插值系统实现。
（5）润湿边界条件（用于三相接触线）：在界面带（0.1（6）接触角滞后（CAH）模型：采用“滞后窗口”概念，将动态接触角限制在前进角和后退角之间，若超出则强制设为对应边界值。
所有方法均基于数值模拟，无样本队列来源。

**研究结果**
- **3.1 拉普拉斯测试（Laplace test）**：通过模拟不同半径的静态液滴，验证表面张力实现正确。数值结果与拉普拉斯定律（Δp=σ/R）吻合，在密度比1000、不同表面张力系数（0.005、0.01、0.025）下均一致。
- **3.2 多层泊肃叶流（Layered Poiseuille flow）**：模拟两层不相溶流体在压力梯度下的流动，验证体力实现正确。数值动量与速度轮廓与解析解吻合，密度比1000、运动粘度比1；网格收敛分析显示L1误差的收敛阶约为1.24，略高于一阶，在多相流中合理。
- **3.3 平坦表面上的润湿边界（Wetting boundary on flat surface）**：分别在有/无IBM方法下施加接触角，测量得到的接触角与设定值非常接近（如30°、60°、90°、120°、150°），残差速度量级为10^-5，验证了接触角实现正确。
- **3.4 曲线表面上的润湿边界（Wetting boundary on curved surface）**：模拟液滴在圆柱体上的润湿行为，接触角范围5°≤θ≤135°。数值结果与解析解对比显示，无量纲高度Hmax/R在粗网格下被低估，归因于质量损失。相对质量损失在0.5%~5%之间，随网格细化显著减小；网格收敛分析显示质量损失随网格间距减小而系统降低，斜率接近1，证实方法一致且收敛。
- **3.5 接触角滞后（Contact angle hysteresis）**：模拟液滴在倾斜平面上受重力作用发生变形，采用滞后窗口[80°,100°]和[60°,120°]。有/无IBM方法得到的临界倾角βc与解析解（sinβc=2π/Bo(cosθR?cosθA)）吻合良好，尤其在细网格上（800×800），验证了方法在体力作用下捕捉接触角滞后的能力。

**讨论与结论**
本研究将IBM与SMLBM集成，成功实现了曲线、非网格对齐几何体上三相接触线的模拟，保留了SMLBM内存效率高、边界条件实现直观等优势。数值结果与解析解良好一致，验证了方法的准确性和鲁棒性。然而，质量（体积）守恒仍是当前方法的局限，尤其粗网格下质量损失明显，这与Cahn–Hilliard方程本身不完全守恒以及浸入边界处理可能引入额外误差有关。未来工作需引入保守相场公式和保守浸入边界处理以减轻质量损失，从而支持长时间稳定的复杂动态界面现象模拟。
**研究结论翻译**：浸入边界法与简化多相格子玻尔兹曼方法的集成使得在曲线和非网格对齐几何体上模拟三相接触线成为可能，同时保留了SMLBM框架的关键优势。基准测试案例的数值结果与解析解吻合良好，验证了所提出方案的准确性和鲁棒性。尽管如此，质量（体积）守恒仍是当前方法的局限，特别是在粗网格上，这在圆柱体上的三相接触线模拟中观察到。虽然当前公式成功捕捉了界面动力学和润湿行为，但需要进一步改进以增强质量/体积守恒。特别是，引入保守相场公式和保守浸入边界处理有望减轻质量损失。在SMLBM框架内解决这些问题将是未来工作的重要重点，这也将使得能够模拟通常需要长时间稳定模拟的固体表面上的复杂动态界面现象。