基于降阶有限元方法对小参数电机神经系统传输模型进行数值模拟

《Computers & Mathematics with Applications》：Numerical simulation of motor neural system transmission model with small parameters via reduced-order finite element method

　　摘要
运动神经系统的传输模型属于非线性动态系统，其动作电位状态受内在特性、轴突输入以及先前状态的复杂相互作用影响。该动态系统可用FitzHugh-Nagumo模型来描述，但由于其强非线性特征以及包含对神经冲动传播起关键作用的小参数（如?），直接求解该模型面临巨大计算挑战。为在计算精度、效率与物理真实性之间取得平衡，我们首先构建了一种完全离散的有限元方案，通过对非线性项进行时间平均线性化处理，有效降低了数值刚性。随后，我们将该方案与正交分解技术相结合，提出了ROFE方法。重要的是，借助原始有限元方案的线性隐式结构，ROFE方法无需采用成本高昂的超降维技术即可实现显著的维度降低。通过严格的理论分析，我们得到了有限元解与ROFE解的最佳误差估计，明确了网格尺寸、时间步长以及POD基函数数量对这些误差的影响。数值实验验证了理论结果，表明ROFE方案可使计算时间减少80%以上（二维模型甚至可减少89%），仅需3到5个POD模式就能捕获系统98%以上的能量。最为关键的是，这两种方案均严格保持了FHN模型的核心生物物理特性：即只有当α∈(0,1]时，神经冲动才会以正常方式传播。通过确保数值稳定性、最优收敛性以及物理一致性，本研究为大规模非线性反应-扩散系统模拟提供了可靠且高效的框架，可直接应用于运动神经动力学及可激发介质领域。

引言
近年来，运动神经系统传输模型已成为控制与识别、模式识别以及信号处理等多个领域的研究焦点。FitzHugh-Nagumo方程作为一种典型的非线性反应-扩散模型，作为Hodgkin-Huxley模型的简化版本而被提出，它为描述运动神经信号的传输动态提供了理论基础。除了在神经科学领域的应用外，该模型还因能够捕捉可激发系统的核心特征，而被广泛应用于自催化化学反应、火焰传播以及逻辑斯蒂种群增长等跨学科领域。FHN方程的一个显著特点在于存在一个小的扰动参数?——即控制神经冲动传播速度和范围的扩散系数——这一参数会导致严重的数值刚性，使得在实际参数范围内无法获得解析解。这就给那些需要同时兼顾精度、效率与生物物理一致性的数值方法的发展带来了巨大挑战，这一问题也成为了计算数学、神经科学以及应用物理学研究中的重要课题。

为应对这些挑战，人们开发出了多种数值方法来求解FHN方程，其中有限差分法和有限元法是最为常用的两种方法。对于有限差分法，人们提出了多种改进方案，如指数型、半隐式型、非标准型以及混合双网格型方法，旨在提升一维/二维FHN模型的稳定性、精度与计算效率。在有限元法方面，则采用了牛顿型迭代技术以及Galerkin方法，并对标准离散化方案进行了严格的收敛性分析。此外，还有诸如Jacobi-Gauss配点法以及张力样条法之类的先进数值策略，被用于处理具有时间依赖系数的广义FHN方程，这些努力体现了人们在解决非线性可激发系统模型中稳定性、精度与可实现性之间矛盾方面的持续探索。

尽管取得了这些进展，现有针对含?参数的FHN方程的数值方法仍存在三个关键局限性，这限制了它们在大型神经系统模拟中的实际应用：第一，计算效率低：传统的有限元法和有限差分法需要极其精细的时空网格才能处理由小参数?引发的剧烈动态变化，从而导致过高的计算成本和存储需求，使得二维/三维的大规模模拟难以实现；第二，缺乏严谨的降阶误差分析：现有的FHN方程降阶方法（如将正交分解与有限差分法结合）未能为小参数?提供最优的误差估计，而且很少有研究量化?参数以及POD基函数数量对降阶解精度的影响；第三，生物物理特性丧失：许多数值方案更注重计算效率，而忽视了保持FHN模型的核心生物物理特性，尤其是神经冲动传播的阈值行为——即只有当α∈(0,1)时，神经冲动才会以正常方式传播，而这对于保证神经生理学的合理性至关重要。

正交分解技术作为一种强大的数据驱动型模型降阶方法，已被证明是解决非线性偏微分方程计算难题的有效手段。通过从全阶模型的瞬时解中构建低维子空间，正交分解技术已成功与有限元方法相结合，用于处理Allen-Cahn方程和sin-Gordon方程等非线性偏微分方程，从而形成了具有严格误差分析且能大幅节省计算成本的降阶有限元方法。值得注意的是，近期关于基于正交分解的ROFE方法在相场模型中的应用研究，为平衡理论严谨性与计算效率提供了框架。然而，这一框架尚未被应用于含?参数的FHN方程，而如何在降阶解中保留生物物理特性这一关键问题，在神经传输系统领域仍然没有得到解决。

基于上述背景，本研究的主要目标是针对含?参数的FHN方程开发一系列专用数值方案，其双重目标是建立严格的最优误差估计，并保持神经冲动传播的核心生物物理特性。为此，我们首先构建了一种完全离散的有限元方案，该方案通过对非线性项进行改进的时间平均处理，有效降低了由小参数?引起的数值刚性，确保在实际的时空步长下仍能保持无条件稳定性。随后，我们将该有限元方案与正交分解技术相结合，开发出用于维度降低的ROFE方法，同时利用有限元方案的线性隐式结构，避免了成本高昂的超降维技术。通过全面的理论分析，我们证明了全阶有限元解的最佳误差估计，并为ROFE解给出了明确的误差界限，量化了网格尺寸h、时间步长δt以及POD基函数数量m对数值误差的影响。此外，我们还在一维具有解析解的FHN方程以及一维/二维没有解析解的FHN方程上进行了大量数值实验，以验证理论结果、评估计算效率并确认生物物理特性的保持情况。

本研究的创新点可总结如下：第一，方法创新：提出了一种改进的全离散有限元方案，通过对非线性项进行时间平均处理，有效降低了由小参数?引起的数值刚性，确保了算法的无条件稳定性；第二，理论创新：首次为有限元方案建立了L2范数与梯度范数下的严格最优误差估计，并推导出了ROFE方法的误差界限，明确了网格尺寸h、时间步长δt以及POD基函数数量m对降阶解精度的影响机制；第三，物理一致性创新：这两种方案均严格保持了FHN模型的核心生物物理特性，即只有当α∈(0,1)时，神经冲动才会以正常方式传播，从而实现了计算数学与神经生理学现实之间的衔接；第四，计算效率创新：ROFE方案仅需3到5个POD基函数（即可捕获系统98%以上的能量），就能使计算时间减少80%以上（二维模型甚至可减少89%），从而便于进行大规模神经系统模拟。

本文的其余结构如下：第2节阐述了完全离散有限元方案，并对其最优误差估计给出了详细证明；第3节介绍了正交分解技术，建立了ROFE方法的公式体系，并推导出了其误差界限；第4节通过系统的数值实验验证了理论结果，分析了各参数的影响；第5节总结了主要研究成果，并提出了未来的研究方向。