从折叠力学到机器人功能：一种用于柔性折纸的统一建模框架

《Advanced Science》：From Folding Mechanics to Robotic Function: A Unified Modeling Framework for Compliant Origami

　　

折纸启发架构为轻量级、可重构和可编程机器人系统提供了有力途径，但一个能够无缝连接刚性折叠、弹性变形和稳定性驱动转变的柔性折纸统一力学框架仍然缺失。在此，研究人员引入了一种基于离散微分几何（DDG）的几何一致建模框架，该框架在单一变分公式中统一了面板弹性和折痕旋转。通过将折痕-面板耦合直接嵌入中边几何离散化中，该框架自然地在单一力学一致结构中捕捉了刚性折叠极限、分布式弯曲、多稳态和非线性动态跳跃。这种统一描述使研究人员能够跨刚性和柔性区域对稳定性和变形进行可编程控制，从而允许折纸结构从静态折叠机构转变为主动机器人模块。一个包含重力、接触、摩擦和磁驱动的隐式动态公式进一步支持了强耦合多物理场模拟。通过涵盖单折叠分叉、可展开Miura膜、双稳态Waterbomb模块和基于Kresling的爬行机器人等代表性示例，研究人员展示了几何驱动力学如何直接指导机器人功能。这项工作确立了离散微分几何作为智能折纸机器人的基础设计语言，在统一计算平台内实现了预测性建模、稳定性编程和力学引导的机器人驱动。

论文解读文章

**研究背景与问题**
折纸启发的结构设计为轻量级、可重构和可编程机器人系统提供了强大范式，通过几何折叠模式实现大变形，已应用于可展开空间系统、自适应机械超材料、机器人驱动器和仿生运动平台。然而，预测和控制柔性折纸系统的力学行为仍面临挑战，因为折叠运动学、面板弹性与非线稳定性转变之间存在强耦合。现有建模策略各有局限：刚性面板模型忽略面板分布式弯曲和面内变形；杆-铰链模型依赖启发式刚度分配；连续体有限元方法（FEM）计算成本高，难以在近刚性区域兼顾效率与精度。因此，亟待一个统一的、几何一致的框架来桥接刚性折叠运动学与分布式壳变形，并实现可编程稳定性设计。

**研究内容与结论**
研究人员开发了一种基于离散微分几何（DDG）的统一建模框架，用于柔性折纸机器人系统的力学引导设计。该框架将面板和折痕嵌入同一几何离散化中，通过单一变分公式描述壳变形和折痕旋转，并引入隐式动态公式（包含重力、接触、摩擦和磁驱动）以支持强耦合多物理场模拟。代表性示例（单折叠、Miura图案、Waterbomb图案、Kresling结构）验证了框架从刚性折叠到柔性变形的连续过渡能力，展示了可编程稳定性如何通过折痕-面板刚度竞争重塑能量景观。研究发现，该框架能准确捕捉非线性刚度变化、分叉行为、多稳态、跳跃动态以及方向性运动，并成功模拟了基于Waterbomb双稳态的跳跃机器人和基于Kresling方向驱动的爬行机器人。论文发表在《Advanced Science》。该工作将离散微分几何确立为智能折纸机器人的基础设计语言，为预测性建模、稳定性编程和力学引导机器人驱动提供了统一计算平台。

**关键技术与方法**
（不超过250字）
研究人员采用基于离散微分几何（DDG）的几何一致离散化方法，将柔性折纸面板建模为三角形网格壳单元，折痕建模为旋转单元和附加弯曲单元。通过中边离散化嵌入折痕-面板耦合，折痕旋转角作为虚拟自由度引入。弹性势能包括壳能量（基于离散第一和第二基本形式的拉伸和弯曲）和折痕旋转能量。动力学方程通过隐式欧拉时间积分和牛顿迭代求解。环境交互包括：重力（通过节点集中质量）、法向接触（惩罚法）、切向摩擦（正则化库仑定律）、磁驱动（磁化面板与外磁场相互作用）。示例中涉及不同刚度比参数（η）扫描，无需物理样本队列。

**研究结果**
**3 可编程稳定性在柔性折纸单元中**
- **3.1 拉伸加载：弯曲-折痕耦合**：通过单折叠（Z-fold）结构在拉伸位移下分析，引入无量纲刚度比η=K_rW/(Eh³)。DDG预测与FEM吻合。当η?1时，变形集中于折痕，接近刚性折纸极限；η?1时，折痕旋转被抑制，面板弯曲主导。折叠角随η的变化呈现两个平台，连续过渡由Ritz模型解析表达。
- **3.2 剪切加载：非线性响应与分叉**：在剪切位移下，结构出现两种后屈曲模式：镜面对称和中心对称。中心对称模式全局能量更低，为稳定后屈曲状态。折痕刚度调制可改变稳定性特征，为可编程机器人行为提供力学基础。

**4 连接刚性和柔性折纸区域**
- **4.1 刚性极限下的运动学折叠**：采用四单元Miura结构，小η下压缩加载。DDG预测的力-位移曲线与解析运动学模型一致，并再现负泊松比。
- **4.2 中等柔性Miura的弹性曲率编程**：四点弯曲下，Miura结构出现鞍形和圆柱形两种弯曲模式。弯曲泊松比-κ_W/κ_L等于面内负泊松比-ν_WL。当折叠角φ变化时，计算与理论一致，需考虑φ的演化。
- **4.3 高柔性可展开膜行为**：位移和力驱动展开模拟表明，展开分为面板弯曲主导和折痕旋转主导两阶段。折痕刚度影响最终表面平整度，η=1时残留非均匀性，η=1×10^-4时较平坦。
- **4.4 模型适用性与计算效率**：DDG框架统一了刚性折叠、中等柔性杆-铰链模型和连续壳FEM，粗网格用于快速探索，细网格趋向壳精度，计算效率优于壳FEA。

**5 从结构力学到机器人功能**
- **5.1 跳跃机器人：Waterbomb折纸的双稳态驱动**
- **5.1.1 柔性Waterbomb的双稳态**：通过中心按压诱发翻转，准静态加载显示负刚度区和两次跳跃（snap 1和snap 2），能量曲线表明两个稳定状态位于不同分支。
- **5.1.2 刚性Waterbomb的跳跃行为**：12条折痕的刚性Waterbomb从不同高度释放，低高度返回初始状态，高高度翻转至反转状态，实现跳跃。
- **5.2 爬行机器人：Kresling折纸的方向驱动**
- **5.2.1 刚性Kresling系统的多稳态**：单个单元轴向或扭转加载显示正-负-正刚度，表示双稳态，源于面板拉伸。四单元堆叠呈现级联稳定状态转换。
- **5.2.2 柔性爬行机器人的动力学**：移除山线使折痕开放，弯曲主导降低能量势垒，可实现平稳驱动。磁驱动下，通过各向异性摩擦实现定向爬行，一个完整周期包含折叠和伸展两阶段，交替锁定左右脚产生净位移。

**总结与结论**
（翻译研究结论部分）
在这项工作中，研究人员建立了一个基于离散微分几何（DDG）的统一框架，用于模拟从刚性运动学折叠到柔性壳变形的整个范围的机器人折纸系统。受理解和设计柔性折纸机器人的需求驱动，该公式在单一几何一致结构中桥接了传统分离的建模范式——刚性折叠运动学、杆-铰链抽象和连续壳力学。通过在中边离散化下引入壳和折痕单元，并通过双面和二面角表示表达其力学，该框架在统一变分环境中提供了对弯曲、折叠和旋转的一致描述。这种一致性使得刚性运动、弹性变形和非线性稳定性现象作为同一底层公式的不同区域出现，而非根本不同的模型。为了捕捉折纸系统固有的强非线性和动态行为，框架中包含了隐式时间积分方案和环境交互（包括重力、接触、摩擦和磁驱动）。通过逐步的代表性示例——包括单折叠（Z-fold）、Miura图案、Waterbomb图案和Kresling结构——该框架在几何复杂性和力学非线性递增的水平上得到了验证。这些示例从基本折叠单元延伸到功能驱动的折纸机器人，覆盖了从简单几何重构到跳跃推进和方向运动的多种行为。总体而言，这项工作为柔性动态折纸系统提供了概念性和计算基础，推进了柔性折纸力学的理论理解，同时为下一代可编程折纸机器人提供了实用的设计和分析工具。