《European Journal of Mechanics - A/Solids》：A two-stage machine-learning-assisted inverse design framework for customizable quasi-zero-stiffness metastructures
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•针对QZS超结构可定制的特性，研究了一种两阶段的机器学习辅助逆向设计框架。•ANN–NSGA-II方法能够快速可靠地实现QZS特性的定制，误差可控制在5%以下。•皮尔逊相关分析和SHAP值分析揭示了几何结构与性能之间的关联关系。•通过准静态和动态测试，验证了经逆向设计得到的PX
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针对QZS超结构可定制的特性，研究了一种两阶段的机器学习辅助逆向设计框架。
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ANN–NSGA-II方法能够快速可靠地实现QZS特性的定制，误差可控制在5%以下。
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皮尔逊相关分析和SHAP值分析揭示了几何结构与性能之间的关联关系。
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通过准静态和动态测试，验证了经逆向设计得到的PXC隔振器性能。
引言
在精密制造、交通系统以及对振动敏感的设备中，抑制有害的机械振动尤为重要，尤其是在低频范围内。过大的振动会影响结构的完整性、功能的精确性以及运行的安全性（Sarkar等人，2025；Xie等人，2023）。因此，振动隔离在减轻这些不良影响方面起着核心作用。QZS隔振器兼具较高的静态承载能力和良好的低频振动隔离性能，避免了传统线性隔振器存在的固有设计矛盾，因而受到了广泛关注（Liu等人，2024a；Ding等人，2019）。
通过巧妙整合非线性刚度机制，QZS隔振器能够在保持足够静态刚度以支撑载荷的同时，在平衡点附近实现近乎零的动态刚度，从而实现更出色的低频振动隔离效果（Cheng和Ma，2024）。实现QZS特性的一种常见方法是组合正刚度元件和负刚度元件。传统设计通过机械结构利用几何非线性，比如倾斜弹簧（Wang等人，2020；Zhao等人，2021）、凸轮滚轴机构（Li等人，2020）以及X形连接结构（Wang和Jing，2019；Chai等人，2022a、2022b）。为进一步提升隔离性能，人们还引入了其他非线性刚度元件，如非线性弹簧（Tian等人，2024；Liu和Li，2025）、永磁体（Qi等人，2025；Zhao等人，2023）、欧拉屈曲梁（Chen等人，2021），以及受生物结构或折纸结构启发的设计（Yuan等人，2024；Han等人，2021）。此外，还研究了采用电磁（Ma等人，2023）、气动（Xu等人，2024）和磁流变（Deng等人，2023）机制的半主动和主动式解决方案。更有趣的是，随着超结构/超材料在低频振动隔离领域的优势逐渐显现（Hamzehei等人，2024；Zhao等人，2026），人们在开发具有更高紧凑性、更低重量以及更好稳定性的新型QZS隔振器方面取得了显著进展，其中组合式（Li等人，2025；Qiu等人，2026）和集成式（Liu等人，2024b、2025a；Zhang等人，2025a）QZS超结构就是典型的代表。虽然这类隔振器可以通过对结构单元进行正向参数调优得到，但由于现有的参数研究有限或参数扫描较为粗糙，要在庞大的设计空间中逆向确定出能满足目标QZS性能的结构单元仍然面临巨大挑战（Zhang等人，2025b；Liu等人，2020）。
为解决这一难题，传统的逆向设计方法通常采用启发式算法来直接驱动有限元分析或解析计算。Liu等人（2024c）和Song等人（2025）使用遗传算法优化带有正负刚度元件的QZS结构的刚度匹配。类似地，Liu等人（2025b）、Hou等人（2025）以及Hu等人（2025a）也在集成式弯曲梁单元结构中实现了定制化的QZS特性。这类基于种群优化的方法存在一个关键缺陷，那就是缺乏数据复用性。由于之前的计算结果无法用于新的目标，一旦设计目标发生变化，就需要重新进行大规模的仿真或计算，这会带来极高的计算成本和时间消耗。这一限制严重影响了多目标可定制应用的设计效率。
近年来，机器学习辅助技术作为一种加速逆向设计进程的有效方法逐渐受到重视（Muhammad和Lim，2022；Zhao等人，2025）。经过充分发展的机器学习替代模型结合了理论推导和数值仿真的优点，能够以相对较低的计算成本有效捕捉几何配置与机械响应之间的复杂映射关系（Chang等人，2025；Park等人，2025）。当这类替代模型与启发式优化算法相结合时，就能快速且可重复地生成符合特定性能要求的QZS结构，而且在每次新的逆向设计过程中无需再进行额外的仿真或计算（Chen等人，2026）。Hu在2024年和2025年提出了另一种逆向设计策略，将深度神经网络与遗传算法相结合，利用深度神经网络学习几何配置与少量采样的载荷响应之间的映射关系。与基于直接有限元分析的优化方法相比，这种以载荷响应为导向的方法实现了大约三个数量级的计算速度提升。不过，这种逆向设计方法要求各个单元结构具有相同的压缩行程。如果单元结构的高度或允许的压缩范围不同，相同索引的力样本对应的位移坐标也会不同。由于替代模型仅学习了离散的载荷数值（Yin等人，2025），这些预测值无法明确对应到同一组物理位移位置。更重要的是，还有一个尚未解决的问题，即能否通过准确重建采样量较少的载荷-位移曲线就确保准确预测相应的QZS特性。这个问题并非简单，因为QZS特性（如承载能力、工作范围和平衡位置）是从局部刚度响应中提取出来的（Liu等人，2025b；Hou等人，2025）。因此，即使预测载荷值存在微小的局部误差，在进行刚度评估时也可能会被放大，从而导致提取出的QZS特性出现较大偏差。
本研究通过一种以特性为导向的逆向设计框架来弥补上述不足。首先，用承载能力、工作范围和平衡位置这三个具有物理意义的参数来表征QZS特性，这样逆向搜索就可以直接针对功能需求展开，而无需从重建的响应曲线中间接获取这些参数。其次，研究开发了一种级联分类器-回归器型的人工神经网络替代模型，将QZS特性的识别与量化预测分开，从而在混合刚度-响应设计空间中更好地控制逆向搜索的可行性。第三，通过皮尔逊相关性分析和Shapley加性解释方法，进一步明确几何参数如何影响QZS特性的可行性以及上述三个目标特性，为有针对性的几何结构调整提供具有物理意义的指导。最后，通过多次随机优化试验，将该机器学习-NSGA-II逆向设计框架与单阶段的以载荷响应为导向的深度神经网络-遗传算法策略、准静态和动态实验，以及包括训练规模敏感性分析、交叉验证、制造公差分析，还有逆向设计结果与训练数据集中样本的对比分析等在内的其他补充验证方法进行比较，以此评估该框架的性能。
本文的其余部分结构如下：第2节介绍PXC单元结构的结构设计及其QZS特性；第3节构建机器学习数据集并设计逆向设计框架；第4节探讨正向预测性能、特征的相关性及贡献，以及逆向设计的定制化能力；第5节进行分析隔振性能；第6节总结全文。
各节要点
结构设计与QZS特性
单元结构是决定超结构性能的基本构成要素。本节首先介绍预弯曲X形手性（PXC）单元结构的几何形状及建模方法，随后通过有限元分析研究该单元结构的QZS特性。
两阶段机器学习辅助框架的构建
本节介绍用于PXC单元结构的二阶段机器学习辅助逆向设计框架。首先介绍自动化的数据集构建流程，然后构建基于人工神经网络的两阶段正向预测模型。之后将该人工神经网络替代模型与NSGA-Ⅱ算法结合，从而实现QZS特性的定制化设计。
两阶段机器学习辅助框架的评估
本节从三个方面对所提出的两阶段机器学习辅助逆向设计框架进行评估：级联型人工神经网络替代模型的正向预测性能、几何参数影响的可解释性，以及人工神经网络-NSGA-II优化策略的逆向设计能力。
PXC超结构隔振器的实验验证
为研究该框架在加速具备QZS特性的PXC隔振器逆向设计中的应用，本节开展了准静态压缩实验和振动隔离实验。通过多项式拟合方法建立准静态曲线，同时建立并求解隔振系统的动力学方程。基于经过验证的理论模型，分析了阻尼和激励变化对振动隔离效果的影响。
结论
本研究提出了一种两阶段的机器学习辅助设计框架，通过由级联型人工神经网络正向预测器加速的NSGA-II优化器，实现可定制的QZS振动隔振器的设计。我们详细阐述了整个逆向设计过程，并对该策略的可解释性和稳健性表现进行了全面研究。
作为构建机器学习数据集的设计原型，本研究开发了预弯曲X形手性（PXC）单元结构。该结构是基于自动化的有限元分析方法
CRediT作者贡献说明
李建雷：概念构思、数据整理、研究实施、结果验证、可视化处理、初稿撰写。韩学锋：正式分析、研究指导、论文审阅与修改。林建勇：数据整理、研究实施、结果验证。高大勇：正式分析、方法设计。吴扬军：正式分析、研究实施。姚洪亮：资金筹集、研究实施、结果验证、论文审阅与修改。
利益冲突声明
作者声明不存在任何可能影响本文研究结果的已知利益冲突或个人关系。
致谢
本研究得到了中国国家自然科学基金的支持（项目编号：52475094）。
Jianlei Li|Xuefeng Han|Jianyong Lin|Dayong Gao|Yangjun Wu|Hongliang Yao
