求解非线性病态方程的高阶迭代方法

《Journal of Complexity》：Higher order iterative method for solving nonlinear ill-posed equations

　　摘要：本文研究了一种用于非线性病态方程的规范牛顿型迭代方法，其收敛阶至少为三。所研究的病态方程涉及实希尔伯特空间中的单调算子。该迭代方法被用来逼近拉夫连季夫规范化解，通过霍尔德型源条件来获得误差估计。此外，还提出了一种新的参数选择策略，这种策略不依赖于源条件参数，而是依据误差数据来确定规范化参数。数值算例验证了理论结果。

引言：设?为由内积〈.,.〉诱导范数‖.‖的实希尔伯特空间，?????:D(?)??→?为非线性单调算子[1]、[3]、[4]、[13]、[21]，即满足???〈?(x)??(y),x?y〉≥0，对所有x,y∈D(?)成立。假设??在解z?附近的弗雷歇导数是局部一致有界的，其中z?是非线性病态算子方程??(z)=y的解。由于(1.1)是包含单调算子的病态方程，因此考虑使用拉夫连季夫规范化方法来逼近z?[10]、[19]、[27]、[28]、[29]。拉夫连季夫规范化解zα满足方程??(z)+α(z?z0)=y，其中z0是精确解z?的初始猜测值，α>0为规范化参数。对于固定的?y∈?和固定的α>0，(1.2)有唯一解zα（参见[6]中的定理11.2以及[2]、[3]、[4]、[13]、[19]、[21]、[27]、[28]、[29]、[30]）。实际上，通常有已知误差δ的误差数据yδ，即‖y?yδ‖≤δ。在这种情况下，需要考虑方程??(z)+α(z?z0)=yδ而非(1.2)。同样，已知当α?0且δ?0时，(1.4)也有唯一解zαδ，且zαδ?z?（参见[2]、[3]、[4]、[6]、[13]）。在后续研究中将用到以下已知结果：‖zαδ?zα‖≤δα且‖zα?z?‖≤‖z??z0‖。为了根据规范化参数α得到‖zα?z?‖的误差估计，需要一些源条件。最常见的源条件为：?z0?z?=?′(z?)νw，0≤ν≤1以及?z0?z?=?′(z0)νw，0≤ν≤1，其中?w∈D(?)。更一般的源条件可在[21]中找到。在源条件(1.7)[21]和(1.8)[10]、[13]、[19]、[29]下，可证明‖zα?z?‖≤c1αν，其中c1为大于0的常数。本文主要研究以下内容：1.探讨一种收敛阶至少为三的迭代方法，用于给定α和δ时逼近zαδ。需指出的是，根据[17]、[22]，若存在常数C>0，使得??‖zn+1?x?‖≤C‖zn?x?‖p对所有n成立，则称序列{zn}以至少p阶的收敛速度收敛到x。2.提出一种类似先验的参数选择策略，该策略利用源条件(1.8)，不依赖ν，而是依据误差数据来确定规范化参数α。由于(1.4)是非线性方程，一般很难直接得到其解zαδ，因此需要寻找能够逼近zαδ的迭代方法。需要注意的是，对于单调算子??，其弗雷歇导数??′(x)在?x∈D(?)时也是单调的（参见[28]），因此对于?x∈D(?)，?(?′(x)+αI)是可逆的。在本文中，我们提出了一种如下逼近zαδ的迭代方法：对于每个k=0,1,?，该方法定义为?zk+1,αδ=zk,αδ?(?′(uk,αδ)+αI)?1Rα(zk,αδ)，其中?Rα(z):=?(z)+α(z?z0)?yδ，?uk,αδ=zk,αδ?12(?′(zk,αδ)+αI)?1Rα(zk,αδ)。我们将证明方法(1.10)具有半局部收敛性（基于初始点z0,α附近的信息）和局部收敛性（基于解zαδ附近的信息）（参见[3]），同时还会证明该方法の收敛阶至少为三。半局部收敛性和局部收敛性分析的含义如下：半局部收敛性分析旨在确定在所考虑的算法下所有初始点都将如何收敛（即找出初始猜测值应满足的条件，使得迭代序列能收敛到解）；而局部收敛性分析则是研究当初始点接近解时，迭代序列收敛的速度有多快。主要贡献：1.我们针对病态方程，提出了类似于[7]、[16]中研究的良定方程的三阶方法的变体，并通过标准假设以及最大化序列法证明了该方法的收敛性。2.在标准假设下，该方法的可收敛阶为二，而通过额外假设，可将其收敛阶提升至三。即便不满足额外假设，该方法依然会收敛，此时可利用注解2.8中定义的近似收敛阶来估计收敛阶。3.我们还提出了一种类似先验的参数选择策略，该策略基于标准假设和矩不等式，且依据误差数据yδ来确定规范化参数α。本文的其余结构如下：第2节讨论所提方法的半局部收敛性，第3节阐述其局部收敛性，第4节给出主要结果，第5节介绍参数选择策略及算法的具体实现，第6节为结论部分。片段内容：半局部收敛性：设?Bλ(u)={v∈?:‖u?v‖<λ}，?bˉλ(u)={v∈?:‖u?v‖≤λ}。本文将用到以下引理和定理。引理2.1（参见[25]中的定理9.1）：设t是在x上定义的有界线性算子，且‖t‖≤ρ<1，则算子i?t是可逆的，且‖(i?t)?1‖≤11?ρ。定理2.2（参见[5]的第3.3节）：积分形式的均值定理表述为，只要?x,y∈d(?)，y+s(x?y)∈g对所有s∈(0,1)成立，且??′(y+s(x?y))是可积的，就有????(x)??(y)=∫01?′(y+s(x?y))(x?y)ds。注解2.3：假设??′(z)的谱集?σ(?′(z))?[0,∞)，且????′(z)?=?′(z)。局部收敛性：在本节中，我们将确定方法(1.10)的收敛阶。借助假设(a1)，首先估算??‖(?′(u)+αi)?1(?′(zαδ)+αi)‖的值，其中?u=z?12(?′(z)+αi)?1r(z)，z∈b5?1l0(zαδ)。由于?(?′(zαδ)+αi)是可逆的，因此对于z∈b5?1l0(zαδ)，有??????‖(?′(zαδ)+αi)?1(?′(u)??′(zαδ))v‖≤‖(?′(zαδ)+αi)?1?′(zαδ)?(u,zαδ,v)‖≤l0‖u?zαδ‖‖v‖，对所有v∈?成立。根据u的定义以及r(zαδ)=0的事实，可得????u?zαδ=z?zαδ?12(?′(z)+αi)?1[r(z)?r(zαδ)]=z?zαδ?12(?′(z)+αi)?1[?(z)??(z)。主要结果：通过结合(1.5)、(1.9)和(3.7)，我们可以得到‖zn+1,αδ?z?‖的误差估计。定理4.1：设zn,αδ如(1.10)中所定义，且满足定理3.2中的假设条件。若满足(1.7)或(1.8)条件，令nδ:={min?{n:e?γ12n≤δα},若假设(a1)成立；min?{n:e?γ3n≤δα},若假设(a1)和(a2)均成立}，则有以下结论：‖znδ+1,αδ?z?‖≤?ˉ(αν+δα)，其中?ˉ={max?{c1,1?112+1},若假设(a1)成立；max?{c1,1?13+1},若假设(a1)和(a2)均成立}。□实现方式：最终，参数选择(4.4)的实现包括以下步骤：算法1：利用(4.4)来确定规范化参数α。算法2：采用自适应方法来确定规范化参数α。注解5.1：如果?????:d(?)??→?是弗雷歇可微的且具有m-增性，同时?是严格凸的巴拿赫空间且为实反射空间，那么对于α>0以及固定的?f∈?，方程??(z)+α(z?z0)=f有唯一解（参见[2]、[3]、[4]、[15]），将该解记为zα。此外，当α?0时，有zα?z?（参见[2]、[3]）。结论：本文研究了三阶牛顿型方法在逼近病态方程解中的应用。所得结果可推广到实希尔伯特空间中包含单调/正型算子的病态方程。文中给出了该方法的局部收敛性和半局部收敛性分析，并在一般的霍尔德型源条件下得到了最优阶误差估计。同时，还提出了新的参数选择策略以及自适应参数选择策略用于确定规范化参数。致谢：第二作者感谢卡纳塔克邦国家技术学院提供的财政支持。Santhosh George|Muniyasamy M卡纳塔克邦国家技术学院，印度卡纳塔克邦苏拉特卡尔，邮编575025。