《Journal of Computational Physics》：Structure-Preserving High-Order Methods for the Compressible Euler Equations in Potential Temperature Formulation for Atmospheric Flows
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研究人员开发了针对可压缩欧拉方程（compressible Euler equations）的保结构数值方法，采用位温（potential temperature, θ）作为预报变量。研究人员构造了三种数值通量，旨在确保在一般曲线网格（curvilinear
研究人员开发了针对可压缩欧拉方程（compressible Euler equations）的保结构数值方法，采用位温（potential temperature, θ）作为预报变量。研究人员构造了三种数值通量，旨在确保在一般曲线网格（curvilinear meshes）上的间断伽辽金（discontinuous Galerkin, DG）框架内守恒熵（entropy）和总能量（total energy）。此外，研究人员引入了对动能守恒（kinetic energy preservation, KEP）性质以及在存在重力势项（gravitational potential term, ?）时总能量守恒的推广。为此，研究人员采用了通量差分（flux-differencing）方法对源项（source term）进行离散化，将其视为非保守积（non-conservative product）。研究人员针对曲线网格上的两种公式（总能量和位温）展示了不同恒定背景状态下的平衡格式（well-balanced schemes）。最后，研究人员通过将位温公式与传统欧拉方程公式在一系列经典大气场景中进行比较，验证了这些方法。
**论文解读文章**
**研究背景与动机**
大气流动模拟中，可压缩欧拉方程（compressible Euler equations）的数值求解是核心挑战之一。传统间断伽辽金（discontinuous Galerkin, DG）方法虽能精确捕捉复杂波动，但在处理间断或欠解析特征时需额外稳定化措施，如滤波、过积分（over-integration）或人工粘性，这些方法会降低精度且需参数调优。熵稳定（entropy-stable, ES）DG方案通过构造精心设计的二点通量（two-point fluxes）实现非线性稳定性，无需额外参数。然而，现有研究多集中于以总能量（total energy）为状态变量的公式，而大气模型中广泛采用位温（potential temperature, θ）作为预报变量，因其热力学方程简化为纯输运方程，并利于隐式-显式（IMEX）时间积分。目前针对位温公式的保结构方法研究尚不充分，尤其在静力平衡（hydrostatic equilibrium）保持、曲网格上的平衡格式以及动能-势能守恒（KPEP）等性质方面存在空白。因此，需开发针对位温公式的保结构高阶方法，以简化大气模型实现并提升长期模拟的稳定性与精度。
**研究内容与结论**
本研究针对可压缩欧拉方程，以位温为预报变量，发展了一系列保结构数值方法。研究人员构造了三种新的二点数值通量，分别保证热力学熵守恒（entropy-conservative, EC）、总能量守恒（total energy-conservative, TEC）或两者同时守恒（ETEC）。在存在重力势（geopotential, ?）时，通过通量差分（flux-differencing）方法将源项离散为非保守积（non-conservative product），推广了动能-势能守恒（KPEP）性质并建立了总能量守恒条件。此外，针对等温（isothermal）和恒定位温两种背景状态，在曲线网格上设计了平衡格式（well-balanced schemes），并扩展至三维DG谱元法（DGSEM）。数值实验证实，新通量在长期模拟中保持熵或总能量达舍入误差量级，非保守源项离散相比点式离散在垂直速度分量上误差降低2-4个数量级，且平衡格式对曲线网格上的高阶收敛至关重要。该论文发表在《Journal of Computational Physics》。
**主要关键技术方法**
1. **通量差分框架下的二点数值通量构造**：基于Tadmor熵守恒条件，推导出EC、TEC和ETEC三种通量，其中密度通量保留自由度，可选取对数平均（logarithmic mean）或Stolarsky平均以提高鲁棒性。
2. **非保守积的源项离散化**：将重力势源项写为反对称形式，采用通量差分方法统一处理体积项和表面项，确保总能量守恒和动能-势能守恒（KPEP）。
3. **曲线网格上的平衡格式**：针对等温背景（采用对数平均密度通量）和恒定位温背景（采用Stolarsky平均密度通量），设计非保守通量使离散静力平衡精确成立，并利用自由流保持（free-stream preservation）性质推广至任意曲线坐标。
4. **DGSEM离散化**：将上述通量集成到基于Lobatto-Gauss-Legendre节点的DG谱元法中，利用SBP（summation-by-parts）性质实现体积项和表面项的精确守恒。
**研究结果**
**2. 总能量和熵守恒通量**：推导了位温公式下二点数值通量的TEC和EC条件，获得TEC通量（29）、EC通量（30）和ETEC通量（31）。TEC通量中密度通量具有自由度，EC通量要求密度通量耦合位温通量，ETEC通量则通过压力影响密度通量。
**3. 二点通量的保结构性质**：证明了TEC和ETEC通量满足压力平衡保持（PEP）性质，且EC通量仅在密度通量采用对数平均时才具备PEP；通过定理3.4指出，同时满足EC、TEC、KEP和PEP的唯一通量是ETEC（31），但压力项会出现在密度通量中；在恒定压力条件下，TEC和EC通量可退化为KEP形式；分析了压力正性保持条件，表明采用对数平均的位温通量可保证压力非负。
**4. 重力势存在下的守恒性质**：提出了动能-势能守恒（KPEP）的通用条件：密度通量需取为??{{v}}且源项为??[[?]]；分别针对总能量和位温公式，推导了总能量守恒（TEC）的离散形式；构造了等温背景（采用对数平均）和恒定位温背景（采用Stolarsky平均）下的平衡格式，并证明在静力平衡状态下离散残差为零。
**5. 熵守恒DGSEM离散**：将FV框架下的性质推广至DGSEM，证明了非保守积可写为反对称形式以实现通量差分；引理5.2-5.4表明，在DGSEM中采用相应的非保守通量和保守通量可保持TEC和平衡性。
**6. 三维曲线网格扩展**：将通量差分公式推广至三维DGSEM，引入度量项（contravariant basis vectors）和自由流保持条件；定理6.1-6.5证明，在曲线网格上，采用??{{V}}作为密度通量、??[[?]]作为非保守通量，并配合TEC或KEP通量，可实现TEC和KPEP；平衡格式在曲线网格上仍成立，依赖于自由流保持性质。
**7. 数值结果**：密度波测试验证了EC、TEC和ETEC通量的熵和总能量守恒至舍入误差；Taylor-Green涡测试表明ETEC和EC通量在长期模拟中保持熵守恒；曲线网格上的平衡测试显示，等温背景和恒定位温背景下的速度误差在双精度下保持机器精度（500,000时间步后仍可维持）；惯性重力波测试表明，非保守源项离散相比点式离散在垂直速度误差上降低2-4个数量级，且高阶收敛更稳定；线性静力和非静力山地波测试中，非保守公式的归一化动量通量更接近理论值，振荡更少；Sch?r山地测试中两种公式结果一致；斜压不稳定性测试中，点式源项离散无条件不稳定，而非保守公式可稳定运行10天。
**结论总结**
本研究推导了三种新的位温公式可压缩欧拉方程数值通量，分别保证熵守恒（EC）、总能量守恒（TEC）或两者同时守恒（ETEC）。EC和TEC通量在密度通量中保留自由度，对数平均提供了最鲁棒的公式；EC通量同时具备PEP，TEC通量在恒定压力下额外满足EC条件。引入动能-势能守恒（KPEP）的通用定义，并通过非保守源项离散推导了总能量守恒（TEC）条件。开发了恒定位温背景下的平衡格式，并将所有性质推广至任意曲线坐标下的DGSEM。数值实验表明，新通量鲁棒且精确，与总能量公式的熵守恒Ranocha通量表现一致；两种公式（总能量和位温）在测试案例中无明显优劣差异；非保守源项离散相比点式方法具有更高的鲁棒性和精度。
