约束非合作博弈与Euler-Lagrange系统下的固定时间分布式纳什均衡搜索算法

《Journal of the Franklin Institute》：Fixed-time distributed Nash equilibrium seeking algorithm for constrained non-cooperative games with Euler-Lagrange systems

　　

本文研究了由非线性Euler-Lagrange动力学支配的参与者的约束非合作博弈的固定时间分布式纳什均衡搜索问题。研究人员提出了一种基于领导者-跟随者一致性协议、滑模理论（sliding mode theory）与双层设计框架的分布式纳什均衡搜索算法。研究人员证明了所提分布式算法在固定时间内收敛到约束博弈的纳什均衡，该固定时间与参与者的初始条件无关，并显式给出了所提纳什均衡搜索算法收敛时间上界。所提分布式算法的有效性通过两个数值实验得到验证，包括一个由两连杆机械臂组成的网络与一个发电博弈。

研究背景方面，非合作博弈中纳什均衡（Nash equilibrium, NE）指任一参与者单方面改变自身行动无法降低自身代价的行动剖面，分布式算法因仅需邻节点信息交换而适用于大规模网络博弈。现有文献中，约束非合作博弈的分布式NE搜索多针对一阶动力学，少数涉及Euler-Lagrange（EL）动力学的工作采用原始对偶或投影法处理约束且仅为渐近或指数收敛；有限/固定时间收敛研究主要集中于一阶或二阶无约束博弈，EL动力学下带耦合不等式约束的固定时间分布式NE搜索尚属空白。鉴于EL系统（如机械臂、发电单元）在工程控制中普遍存在，且固定时间收敛具备收敛时间与初值无关、上界可显式给出的优势，研究人员开展了此项研究。论文发表于《Journal of the Franklin Institute》。

关键技术方法上，研究人员构建虚拟层与实际物理层双层框架：虚拟层为各参与者设计一阶虚拟动力学，采用领导者-跟随者一致性协议（leader-following consensus protocol）实现对其余参与者行动与梯度的固定时间估计，并基于投影梯度（projected gradient）与带符号函数的固定时间项更新虚拟行动；物理层针对EL方程引入滑模面（sliding surface）与基于滑模理论（sliding mode theory）的跟踪协议，使实际广义位置在固定时间内跟踪虚拟行动。理论证明依托固定时间稳定性引理（Lemma 1）与强单调映射变分不等式等价性，样本来源为数值实验中的两连杆机械臂网络与发电博弈模型。

研究结果部分，第一节预备知识与问题建模（Preliminaries and problem formulation）给出图论、固定时间稳定定义、EL动力学方程与带局部盒式约束和共享耦合不等式约束的可行集B，明确代价函数强凸强单调、通信图无向连通、干扰有界等假设，定义约束博弈NE并确立研究目标。

第二节主要结果（Main results）中，2.1虚拟参与者固定时间分布式NE搜索算法设计了一阶虚拟动力学及估计器（式7-13），Lemma 2证虚拟行动有界，Theorem 1证在参数满足条件时估计器与行动均以固定时间收敛至NE，显式给出收敛时间上界T_N（式20）；2.2跟踪协议针对EL系统定义滑模面h_i（式50）与控制力矩u_i（式51），Theorem 2证实际EL参与者行动在固定时间T_E=T_N+T₄内收敛至NE，T₄为滑模面收敛时间。

第三节数值实验（Numerical experiments）通过两连杆机械臂网络与发电博弈验证算法在固定时间内收敛且优于渐近方法，并体现对初值与干扰的鲁棒性。

讨论与结论翻译部分，研究人员指出：该文首次给出EL动力学下带共享/局部约束的非合作博弈固定时间分布式NE搜索算法，收敛时间上界与初值无关且可显式计算；双层框架将约束NE搜索与非线性动力学控制解耦，虚拟层投影梯度结合固定时间项、物理层滑模跟踪协议共同保障整体固定时间收敛；结果填补了有限/固定时间NE搜索在EL约束博弈中的空白，为机械臂协同、电力市场等需快收敛与强鲁棒性的分布式决策场景提供了理论工具。结论确认所提算法在固定时间到达唯一NE，时间上界由式（20）与（52）显式给出，数值实验佐证有效性。