用于固体材料裂纹扩展的非局部能量编码物理信息神经网络

《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》：Nonlocal energy-encoded physics-informed neural networks for crack propagation in solid materials

　　摘要：强形式物理信息神经网络在直接应用于裂纹扩展问题时存在困难，因为不连续性和局部断裂场可能导致微分算子出现奇点或定义不明确。包括周动力学、周动力学微分算子以及非局部算子方法在内的非局部方法为裂纹的起始、扩展和聚合提供了天然框架，但传统的非局部离散化方法可能存在零能量模式问题。本研究基于非常规状态基周动力学提出了非局部能量编码物理信息神经网络框架。该框架的核心特点在于损失函数由非常规状态基周动力学的非局部总势能构成，从而将周动力学中的键合退化与裂纹演化过程嵌入到变分神经网络最小化过程中。首先将非常规状态基周动力学公式转化为无网格Galerkin形式，建立适用于总势能节点积分的非局部应变-位移关系，随后通过机制分析解释了为何神经网络参数化能够通过限制可行的节点尺度位移扰动来缓解零能量模式问题。基准测试结果及裂纹扩展案例表明，所提方法无需引入额外的零能量稳定项即可预测固体材料中的位移场与裂纹形态。

引言：从实验观察到数学物理建模，再到科学计算，这一系列方法构成了人类理解自然规律的基础。随着计算能力的不断提升，科学计算已成为研究人员模拟和解释实验现象的重要工具。科学计算的核心在于偏微分方程，这些方程是众多物理过程的基本模型。因此，开发高效准确的偏微分方程求解方法始终是一个重要挑战。在岩石工程中，地质材料本质上属于不连续介质，其缺陷、节理和断层等特征会显著影响其强度、变形能力及破坏行为。裂纹的起始、扩展和聚合过程对控制地质材料的力学响应以及岩土工程的整体稳定性起着关键作用。为阐明地质材料中裂纹扩展与聚合的机制，过去几十年来开展了大量实验研究（Bieniawski, 1967; Bobet and Einstein, 1998; Jiefan et al., 1990; Lajtai, 1974）与理论研究（Einstein and Dershowitz, 1990; Karihaloo, 1979; Schreyer, 2007）。由于材料具有明显的几何非线性和物质非线性，解析解往往难以求得，这就需要借助数值方法来获得控制方程的近似解。此外，裂纹表面存在的位移不连续性给基于连续介质力学的传统有限元方法带来了巨大挑战，尤其是在模拟裂纹时会出现位移导数的奇点问题。鉴于连续介质力学在处理裂纹扩展等不连续问题上的局限性，Silling（2000）提出了基于非局部相互作用概念的周动力学理论。与依赖连续性和空间导数假设的经典连续介质力学不同，周动力学用积分形式替代微分方程，从而避免了裂纹等不连续处位移导数出现的奇点问题。在周动力学基础之上，又发展出了多种其他非局部方法，包括周动力学微分算子和非局部算子方法，进一步丰富了用于模拟断裂和不连续主导现象的工具箱。尽管上述传统数值方法经过数十年的发展，在理论和应用方面都已十分成熟，但近年来人工智能的飞速发展促使各学科的研究人员开始探索利用深度学习来解决特定领域的问题。目前研究最为活跃的领域之一就是将深度学习技术应用于偏微分方程的求解。这种新兴方法有望带来与传统数值算法截然不同的新求解思路（Han et al., 2018; Lu et al., 2021; Raissi, 2018; Raissi et al., 2019; Yang and Perdikaris, 2019; Zhu et al., 2019）。在各类方法中，物理信息神经网络因其能够将物理定律直接融入神经网络的损失函数，已成为最具影响力且应用最广泛的框架之一，受到了学术界的广泛关注与高度评价（Chen et al., 2021; Cuomo et al., 2022; Moeineddin et al., 2023; Nuugulu et al., 2024; Yuan et al., 2022）。与传统深度学习应用——如图像分类（Hong et al., 2020）、计算机视觉（Voulodimos et al., 2018）以及材料设计（Minh et al., 2020）——通常需要大量数据集进行训练不同，物理信息神经网络能够直接将物理定律纳入模型构建。其核心思想是通过施加物理约束来引导网络学习偏微分方程的解，从而使模型即便在数据有限的情况下也能捕捉复杂的物理现象。这种训练范式使得物理信息神经网络能够将数据驱动的学习与先验的物理知识相结合，为将深度学习作为偏微分方程的数值求解工具奠定了基础。物理信息神经网络的出现引发了人们对基于深度学习的微分方程求解方法的极大兴趣。与传统数值算法相比，物理信息神经网络具有更为简洁、灵活且易于解释的优势，因此越来越受到研究人员的青睐，并被广泛应用于地球物理学（Karimpouli and Tahmasebi, 2020; Shen, 2023）、材料科学（Almajid and Abu-Al-Saud, 2022; Baek et al., 2022; Zhang et al., 2022）以及工程力学（Li et al., 2021; Mao et al., 2020; Papados; Sun et al., 2020; Zobeiry and Humfeld, 2021）等多个领域。然而，强形式物理信息神经网络在涉及奇点、不连续性或高梯度响应的固体力学问题中仍面临诸多困难。在裂纹模拟中，裂纹尖端场和位移跳变会进一步降低逐点残差最小化的稳定性和收敛性，这些问题尤为突出。为提升模型的鲁棒性，人们开发了弱形式和基于能量的神经网络公式，包括深度Ritz方法、深度能量方法以及变分物理信息神经网络。这些方法用积分或变分形式替代了对控制方程的逐点施加，这与许多固体力学公式更为契合。不过，传统的局部能量基公式通常仅根据局部位移梯度来评估应变能。当出现裂纹面时，裂纹两侧的位移场可能不连续，且在不连续附近局部梯度可能变为奇点或无定义状态。因此，通常需要额外的裂纹描述方法，如裂纹追踪、富集函数、相场正则化或重新网格化等。为解决这一问题，本研究基于非常规状态基周动力学开发了一种非局部能量编码物理信息神经网络框架，其主要贡献在于构建了一种非局部变分神经网络框架，将非常规状态基周动力学的总势能以及周动力学中的键合退化机制融入到裂纹模拟的物理信息神经网络损失函数中。对于以不连续性为主导的裂纹问题而言，这一设计具有重要意义。在该框架中，应变能是根据非局部范围内材料点之间的有限范围相互作用来评估的，而非仅依据局部空间梯度。这样一来，裂纹演化过程就与神经网络的能量最小化过程直接耦合在一起。本研究的主要贡献可总结如下：首先，将非常规状态基周动力学公式转化为无网格Galerkin形式，得到了适用于构建总势能损失的非局部应变-位移关系；其次，将周动力学中的键合退化机制融入到基于能量的损失函数中，使得在无需显式进行裂纹面追踪的情况下即可模拟裂纹的萌生、扩展和聚合过程；第三，从机制角度分析了神经网络参数化的作用，解释了所观察到的零能量模式得到缓解的现象；最后，通过基准测试案例和裂纹扩展示例，验证了所提方法在位移场精度、数值稳定性以及裂纹预测能力方面的表现。本文的其余结构如下：第2节概述了基于非常规状态基周动力学的非局部能量公式及其无网格Galerkin表述方式；第3节介绍了NE-PINNs框架，包括非局部能量损失函数、键合退化裂纹模型以及混合优化策略；第4节通过一个基准测试案例验证了零能量模式缓解机制以及位移场精度；第5节展示了裂纹扩展案例，并分析了背后的裂纹形成机制；第6节对整个研究工作进行了总结。

基于非常规状态基周动力学的非局部能量公式：本节阐述了构建所提出的NE-PINNs中所使用的非局部能量泛函所需的理论基础，旨在建立三个组成部分之间的关联：非局部变形梯度重构、无网格Galerkin应变-位移关系以及总势能泛函。

非局部能量编码物理信息神经网络：在本节中，对NE-PINNs的网络架构进行了重新设计，以提高所提方法的通用性。通过引入损伤方向向量，输入维度从二维空间坐标扩展到了四维，这样裂纹两侧的材料点在输入空间中不再重叠，从而避免了连续型神经网络强制对位移跳变进行平均处理。同时，还采用了傅里叶特征映射技术来提供……

一个基准测试案例：本节通过一个基准测试案例，验证了所提方法的一些基本特性，以及神经网络在缓解无网格方法中常见的零能量模式现象方面的有效性。如图4所示，一块平面应力矩形板在其中心位置有一条裂纹，该板的上下边界均受到位移载荷作用。这条倾角为45度的斜裂纹长度为2a = 0.2毫米，而矩形板的边长为……

裂纹扩展案例：非局部方法的一个主要优势在于，可以通过材料点之间相互作用的退化来表征裂纹的萌生与扩展过程。在所提出的NE-PINNs中，这一机制被融入到了非局部能量损失函数中：一旦某个键合满足拉伸或剪切破坏准则，它对变形梯度重构和总势能的贡献就会被剔除。因此，裂纹路径不应仅仅被视为一种几何上的损伤……

结论：本文提出了一种基于非常规状态基周动力学的非局部能量编码物理信息神经网络框架，用于模拟固体材料中的裂纹扩展问题。所提方法将非局部总势能作为神经网络的损失函数，从而在统一的变分神经网络框架中将非局部变形梯度重构、能量最小化以及周动力学中的键合退化过程有机结合在一起。主要结论如下：(1) 将非常规状态基周动力学公式转化为无网格形式后……

附录A：非常规状态基周动力学：周动力学（Silling, 2000）由于其非局部建模理念以及独特的损伤表示方法，在模拟裂纹的萌生与扩展过程方面具有显著优势。在本研究中，我们以非常规状态基周动力学模型作为理论基础，因为它融合了应力和应变的经典概念，更便于计算势能。在材料点xi处，非常规状态基周动力学的运动方程为……

附录B：非常规状态基周动力学无网格Galerkin形式的代数推导：以下代数步骤详细阐述了如何将应变-位移矩阵与离散形式的非常规状态基周动力学平衡方程联系起来。从公式(4)和(5)可以看出，应变矩阵B的秩为3 × (2m+2)，而位移向量Ui包含2m+2个自由度。将应变矩阵B代入Galerkin公式的最终表达式中，并应用节点积分方案后，就可以得到基于非常规状态基周动力学的Galerkin方法……

CRediT作者贡献说明：Xiaoping Zhou：撰写——审稿与编辑、监督、资金获取、概念构思。Jianxiang Ma：撰写——初稿、可视化、验证、软件开发、概念构思。Xiaoping Zhou | Jianxiang Ma