基于斐波那契系数多项式的高精度Galerkin方法用于修正反常时间分数阶次扩散方程

《Fractal and Fractional》：Highly Accurate Galerkin Approach for Modified Anomalous Time-Fractional Sub-Diffusion Equations Based on Fibonacci Coefficient Polynomials

　　

研究人员开发了一种谱Galerkin算法用于数值处理修正反常时间分数阶次扩散方程（MATFSDEs）。该算法基于Fibonacci系数多项式构建，由此形成两个时空试验族。这些族经过选择，使得在原始问题的适当变换后，齐次初始边界条件被自动纳入。然后Galerkin公式将模型简化为一个有限代数矩阵系统，其条目可以显式求值。为了支持该构造，研究人员获得了所选多项式的反演、矩、线性化恒等式，并用于以封闭形式表达所需矩阵。研究了展开的收敛性，并导出了显式误差界。数值实验证明了该方案与文献中现有方法相比的准确性、适用性和竞争力。

在分数阶微分方程（FDEs）用于描述遗传效应、空间或时间非局部性及反常输运现象的背景下，修正反常时间分数阶次扩散方程（MATFSDEs）作为一类重要模型，其解析解通常难以获得，因此高精度数值方法的发展至关重要。现有方法如有限差分和谱方法虽有贡献，但在精度、计算效率或对复杂边界条件的适应性方面仍存在改进空间。本研究基于此，旨在开发一种基于Fibonacci系数多项式（FCPs）的谱Galerkin方法，用于有效求解MATFSDEs，并通过理论分析和数值实验验证其性能。论文发表在《Fractal and Fractional》。

研究人员首先将非齐次初始边界值问题通过变换转化为齐次形式，然后基于FCPs构造了两个时空试验族，使得齐次条件自动满足。接着，通过Galerkin正交性条件，将原模型离散为有限代数矩阵系统，其矩阵条目利用新推导的FCPs反演、矩、线性化公式及定积分恒等式以闭式形式求得。此外，研究人员进行了收敛性分析，导出了显式误差界和稳定性估计。最后，通过两个数值算例与文献中现有方法对比，验证了方案的精度和效率。

在结果部分，各章节的研究内容及结论如下：

**4. Galerkin Method for MATFSDEs**：通过变换（4.1节）将非齐次问题转化为齐次问题，使得基函数能自动满足边界条件；在4.2节中选择两组基于FCPs的试验函数，并推导了其标准内积和分数阶内积的闭式表达式；在4.3节中建立了有限维Galerkin系统，得到形如式（78）的代数矩阵方程，其系数矩阵由定理3中各项积分显式给出，从而避免了数值积分。结论：该方法无需空间或时间网格划分，直接通过全局基函数获得近似解。

**5. Convergence and Error Analysis**：通过引理4和5给出了FCPs及其导数的上界估计；定理5证明了展开系数的绝对收敛性；定理6导出了截断误差的上界，表明误差随基函数数量的增加而衰减；定理7证明了方法的稳定性，即误差受控于近似阶数。结论：该方法在理论上具有收敛性和稳定性，误差界显式表达。

**6. Numerical Results**：例1和例2分别测试了不同参数下的求解精度，并与文献[53]等方法比较，以L_∞和L₂误差度量。结果表明，在少量基函数下即可获得高精度解，且计算时间较短。例如，表1显示在ν=0.001, β=0.5时，本研究方法的L_∞误差远小于对比方法。图2-7展示了近似解、绝对误差及误差随时间的变化。结论：所提方案在精度和效率上具有竞争力。

在总结讨论部分，研究人员指出，本研究提出了基于Fibonacci系数多项式的Galerkin方法用于修正反常时间分数阶次扩散方程。通过变换将非齐次模型转化为齐次问题，并利用两个定制的多项式族构造近似解。推导了多项式的辅助恒等式，用于显式获得Galerkin矩阵条目。收敛性和稳定性分析支持了理论可靠性。数值实例表明，在少量基函数下即可获得高精度近似，且与现有方法相比具有优势。未来研究可考虑推广或修改的FCP族，并应用于更多分数阶模型。