利用微分平坦性的闭式非迭代次优控制方法在有限时域问题中的应用及其在角度约束引导中的体现

《Aerospace Science and Technology》：Closed-Form Non-Iterative Suboptimal Control Exploiting Differential Flatness for Finite-Horizon Problems with Application to Angle-Constrained Guidance

　　摘要：本文提出了一种基于平坦性的显式框架，用于解决具有差分平坦特性的非线性系统在受到严格终端约束条件下的有限时域次优控制问题。通过利用系统的平坦性特性，该框架将边界值问题转化为平坦输出空间中的问题，并在系数冻结的近似下，通过欧拉-拉格朗日方法推导出封闭形式的控制律。终端约束条件可直接在轨迹参数化过程中得到满足，从而无需进行迭代非线性优化。该框架以三维角度约束拦截问题作为典型航空航天应用案例进行了验证，同时给出了局部终端收敛性分析，明确了在静止目标的情况下，冲击角误差如何在终端归航区域内趋于零的条件。进一步分析表明，所提出的控制律在小角度近似下可退化为经典的偏置比例导航制导律，从而与现有成熟的制导理论保持一致。通过与伪谱控制、广义模型预测静态规划以及有限时间状态依赖里卡蒂方程方法的对比，结果表明该框架在满足终端约束的同时，计算时间大幅减少，为实时有限时域控制差分平坦系统提供了高效解决方案。

引言：在现代航空航天制导与控制领域中，如何实时生成轨迹并确保严格满足终端约束条件是一项核心挑战。诸如航天器交会、自主着陆以及角度约束拦截等应用场景要求系统状态在规定的最终时间内精确达到预定的终端条件，包括位置和冲击角，且几乎不允许出现约束违反的情况。这类问题自然可被表述为有限时域最优控制问题，即系统需在固定时间间隔内被引导至预定终端状态，同时满足时间区间两端的边界条件。除了满足约束条件外，由于这类应用具有时效性强和需在飞行器上实时处理的特点，对计算效率有着极高要求——控制律必须在有限的 onboard 资源条件下实时计算得出。正是计算效率、严格终端约束执行以及有限时域最优控制之间的矛盾，使得现有方法难以同时实现这些目标，这也促使了本文的研究工作。

直接最优控制方法是航空航天系统中轨迹生成最常用的技术手段。其中，伪谱最优控制方法因其通过在特定积分节点上进行全局多项式配置，将连续最优控制问题转化为低维非线性规划问题，仅需较少的离散化点即可获得高精度解，因而显得尤为有效[1]。序列凸规划与模型预测控制框架则进一步通过凸化处理及滚动时域策略来处理非线性约束问题[2][3][4]。尽管这些方法具有较高的准确性和通用性，但它们存在一个根本缺陷：即在每个制导周期都需要反复在线求解非线性或凸优化问题，这不仅带来了可观的计算开销，还对初始条件敏感，且求解时间具有不确定性[5]。正是由于这些特点，直接控制方法并不适合在计算资源有限的条件下进行实时 onboard 实现，尤其是在那些对执行速度和确定性有极高要求的航空航天应用中。

间接最优控制方法则通过庞特里亚金最大值原理推导出最优性的必要条件，从而得到耦合的状态与协态动力学方程，其解可为最优控制结构提供分析上的洞察[6]。虽然这类方法对于某些问题类别能够得到封闭形式解，但由于其对协态变量初始值极为敏感，且协态变量缺乏物理意义，同时还依赖于同伦法、平滑策略等辅助收敛机制，因此其实际应用仍然受到限制[6][7][8]。正因如此，间接方法主要应用于离线轨迹设计，不适合实时 onboard 实现。

为提高受终端约束的轨迹优化问题的计算效率，模型预测静态规划及其衍生方法被提出作为直接优化的结构化替代方案[9]。这类方法将最优控制问题转化为降阶静态规划框架，通过引入基于灵敏度的结构化更新规则，显著提升了计算速度。例如，广义准谱模型预测静态规划框架利用谱基函数对控制规律进行参数化处理，将最优控制问题转化为降阶静态规划形式，从而提升了具有严格终端约束问题的计算效率[9][10]。然而，尽管具有这些优势，基于模型预测静态规划的方法仍需对控制参数进行迭代更新，并实时计算灵敏度矩阵，同时还需要准确的初始猜测才能保证收敛[10]。因此，尽管这类方法在高效生成受终端约束的轨迹方面取得了重要进展，但它们并未提供适用于确定性实时实现的非迭代解。

状态依赖里卡蒂方程方法通过将系统动力学分解为状态依赖的系数形式，并在每个时间步求解参数化的代数里卡蒂方程，为非线性最优控制提供了一种结构化解决方案，从而避免了迭代非线性规划，可得到近乎封闭形式的控制律[11]。该方法避免了直接控制方法中的非线性规划问题，且提供了一种适用于广泛非线性系统类别的系统化设计流程[12][13][14]。此外，状态依赖里卡蒂方程本质上属于无限时域调控框架；若要将其扩展到有限时域问题，就需要引入诸如与剩余时间相关的状态加权矩阵之类的额外修改，而这又会带来调参敏感性。针对有限时域问题的扩展方案为有限时间状态依赖里卡蒂方程框架，该框架可导出用代数里卡蒂方程和李雅普诺夫方程表示的封闭形式解，已被具体应用于有限时域冲击角制导以及三维角度约束拦截问题中[16][17]。虽然这些方法都遵循状态依赖系数近似理念，且在提升计算效率的制导技术发展方面具有重要意义，但它们仍然存在一个根本性的在线计算负担：在每个制导周期中，随着状态依赖系数矩阵的变化，必须先求解代数里卡蒂方程，然后再求解李雅普诺夫方程、计算矩阵指数并求取矩阵逆，之后才能得到控制指令[16]。此外，终端约束仅能通过选择终端惩罚矩阵来近似实现，无法保证严格满足硬终端约束条件。

伪谱方法虽然可以通过在线数值优化来实现高精度的严格终端约束满足，而基于状态依赖里卡蒂方程的方法则可通过在线求解里卡蒂方程和李雅普诺夫方程来获得结构化的解析控制律，但只能实现近似约束满足。目前尚不存在一种框架能够同时实现封闭形式解、严格满足硬终端约束条件，以及在有限时域设置下完全非迭代的实时实现。

差分平坦性是一种系统结构特性，它允许将系统状态和控制输入以平坦输出及其导数的代数形式表示出来，从而无需对系统动力学进行数值积分。近期研究表明，利用平坦性特性可以显著简化最优控制问题的结构，进而实现高效轨迹生成[18][19]，这使得基于平坦性的最优控制成为一种具有实用价值的研究方向。然而，这些公式仍然依赖于某种程度的变分参数化或基于特征值的计算方法，这些方法在一定程度上仍需采用迭代或数值手段，且无法直接为有限时域问题提供能够确保严格满足终端约束条件的完全封闭形式控制律。

基于上述考虑，本文提出了一种显式平坦输出依赖控制框架，该框架利用非线性系统的差分平坦特性来解决有限时域次优控制问题，且无需进行迭代非线性优化即可实现严格终端约束的满足。通过将最优控制问题转化为平坦输出空间中的问题，并采用状态依赖系数近似理念，该框架可在系数冻结的假设下，通过欧拉-拉格朗日方法解析地得到平坦输出乃至控制输入的封闭形式解。由于解是直接以封闭形式获得的，因此无需在每个时间点都在线求解里卡蒂方程和李雅普诺夫方程，这为该框架带来了相较于现有方法的明显计算优势。终端约束则可直接在轨迹参数化过程中对平坦输出施加。据作者所知，这是首个在系数冻结近似条件及所得边界值问题可解性前提下，同时实现有限时域差分平坦非线性系统次优控制的封闭形式解、非迭代求解以及严格终端约束满足的框架。

该框架被应用于角度约束制导这一具有高度挑战性的应用领域，这一领域恰好涵盖了上述所有要求：有限时域问题建模、对冲击角和位置的严格终端约束，以及在计算资源有限的条件下进行严格的实时 onboard 实现。这一问题类别一直备受研究关注，近期的研究成果涵盖了带有加速度约束的非线性最优控制公式[20]、基于伪谱法的冲击角控制方法[21]、带有视野约束的预定时间三维制导方案[22]，以及全方位三维交战几何结构设计[23]，这些都体现了该技术在航空航天应用中的持续重要性。正因如此，角度约束制导成为验证所提出的EFODC框架的理想且具有实际意义的测试平台。通过蒙特卡洛仿真，将该框架与伪谱控制框架[1]、广义模型预测静态规划方法以及[16]中的有限时间状态依赖里卡蒂方程方法进行了性能比较，证明了该框架在计算效率方面的优势。

本文的主要贡献如下：
•针对受严格终端约束的非线性差分平坦系统，提出了一种封闭形式的有限时域次优控制框架——EFODC。该框架在系数冻结的近似下，通过欧拉-拉格朗日方法推导出封闭形式解，可直接在轨迹参数化过程中实现终端约束的满足，从而无需进行迭代非线性优化或在线求解里卡蒂方程和李雅普诺夫方程。
•将该框架应用于三维角度约束制导问题，得到了无需线性化、平面解耦或剩余时间估计即可实现冲击角和位置严格终端约束控制的制导律。进一步分析表明，所提出的控制律在小角度近似下可退化为经典的BPNG控制律，且对于静止目标，可通过辅助变量方法在非奇异终端归航区域内证明其具有局部终端收敛性。
•通过500种交战场景的蒙特卡洛对比实验，将该框架与伪谱控制、广义模型预测静态规划以及有限时间状态依赖里卡蒂方程方法进行了性能比较，结果表明该框架在满足终端约束的同时，计算时间大幅减少，证明了其适用于实时 onboard 实现。

本文的其余部分安排如下：第3节详细阐述EFODC的理论基础；第4节介绍使用EFODC解决的角度约束制导问题；第5节讨论所提控制律与经典BPNG控制律之间的对比；第6节呈现仿真结果。

问题描述：本文研究的非线性输入仿射系统的动态模型如下：
x˙=f(x)+B(x)u
其中x∈Rn为系统状态向量，u∈Rm为控制向量。函数f(x):Rn→Rn在其定义域内是连续的。矩阵值函数B(x):Rn→Rn×m满足对所有x都有B(x)?≠?0的条件。

假设1：非线性动态函数f(x)可以用状态依赖系数形式表示为f(x)=A(x)x，其中A(x):Rn→Rn×n并非唯一确定的函数。将方程(2)代入方程(1)后可得x˙=A(x)x+B(x)u。

问题描述1：寻求一种计算效率高的解决方案。

显式平坦输出依赖控制理论：本节提出了一种用于解决问题描述1的控制方法。该方法可为控制输入提供次优的封闭形式解。为了基于该理论推导控制表达式，首先假设系统具有平坦性特征。为便于说明，我们先给出一些用于推导所提控制理论所需的平坦性定义。如果一个非线性输入仿射系统满足某种条件，则称其为差分平坦系统。

使用所提EFODC框架进行角度约束制导：本节给出了角度约束问题下横向加速度指令的封闭形式表达式。考虑如图1所示的拦截器与目标之间的三维交战场景。惯性坐标系{xI, yI, zI}固定在拦截器的初始位置，而{xm, ym, zm}和{xt, yt, zt}分别表示导弹和目标的位置。导弹和目标以速度Vm和Vt运动，其运动方向分别由仰角-方位角对(γm, ψm)和(γt, ψt)确定。拦截器能够生成...

经典BPNG作为所提EFODC框架下IAG控制律的特例：本节建立了基于EFODC框架的IAG控制律与经典BPNG控制律之间的关系。此对比旨在说明，在简化假设条件下，所提出的EFODC框架是如何体现其特殊性的，而非为这一理想化模型提出新的制导律。为进行此项分析，考虑了一种简化的恒速拦截模型，该模型用于与具有理想点质量动力学的静止目标进行交战，其运动规律由以下运动方程描述[25]：γ仿真研究与讨论在本节中，通过三维撞击角度受限的拦截场景的数值仿真，对所提出的EFODC框架的性能进行了评估。这些仿真考察了该方法满足终端角度约束的能力、在不同交战条件下的鲁棒性，以及与现有最优控制方法相比的计算效率。为评估所提方法，考虑了两种拦截器速度模型。结论本文提出了一种新的EFODC框架，用于受严格终端约束的不同阶平坦非线性系统的有限视野次优控制。通过利用系统的分阶平坦性，将该边界值问题重新表述为平坦输出空间中的问题，并在冻结系数近似下通过变分法得到了平坦输出和控制输入的闭式表达式。所提框架的一个关键特点是其能够强制执行严格约束。CRediT作者贡献声明Promod Pashupathy：写作——审稿与编辑，写作——初稿撰写，验证，方法论，概念设计。Arnab Maity：验证，监督，资源协调，项目管理，研究工作。利益冲突声明作者声明不存在任何可能影响本文所述工作的已知财务利益或个人关系。Promod Pashupathy|Arnab Maity印度马哈拉施特拉邦孟买，印度理工学院孟买分校航空航天工程系，邮编400076